Київський національний університет імені Тараса Шевченка
механіко-математичний факультет
ПРОГРАМА
комплексного державного іспиту з комп‘ютерної механіки
освітньо-кваліфікаційного рівня “магістр” з галузі знань 0402 - фізико-математичні науки за напрямом 040202 – механіка зі спеціальністі 8.04020203 - комп'ютерна механіка
2014/2015 навчальний рік
А. Студент повинен формулювати та активно володіти поняттями
Диференціальні рівняння в частинних похідних
1. Додатний та додатно визначений оператори.
2. Енергетична норма та енергетичний функціонал додатно визначеного оператора?
3. Нерівність Фрідріхса.
4. Нерівність Пуанкаре.
5. Теорема про існування мінімуму енергетичного функціоналу на енергетичному просторі.
Векторний аналіз та теорія поля
1. Основні операції з векторами. Триграник Серре-Френе.
2. Скалярне поле. Похідна за напрямком, градієнт, лінія рівня.
3. Векторне поле. Означення лінії течії, потенціалу, дивергенції, потоку, вихору.
4. Гідромеханічне тлумачення аналітичних функцій на площині.
5. Символічний метод запису векторних операцій першого порядку. Його властивості. Які операції дають у добутку лапсасіан?
Методи комп'ютерного аналізу нелінійних систем
1. Методи дослідження автономних нелінійних систем. Методи малого параметру. Метод збурень.
2. Методи дослідження автономних нелінійних систем. Методи малого параметру. Метод Крилова–Ліндстедта.
3. Методи дослідження автономних нелінійних систем. Методи малого параметру. Метод усереднення.
4. Методи дослідження автономних нелінійних систем. Методи малої амплітуди. Метод малої амплітуди для систем Ляпунова.
5. Методи дослідження автономних нелінійних систем. Метод малої амплітуди у формі метода Крилова–Ліндстедта.
6. Методи дослідження автономних нелінійних систем. Метод гармонічного балансу.
Некласичні математичні моделі механіки деформівного твердого тіла
1. Коріолісова дисперсія гармонічних хвиль в необмеженому пружному середовищі, яке рівномірно обертається. Поширення плоских гармонічних біжучих хвиль в напрямку осі обертання середовища та у перпендикулярному напрямку. Дисперсійне рівняння та дисперсійні співвідношення. Диспергуючі квази-поздовжні та квази-поперечні хвилі. Кругова та еліптична поляризація.
2. Коріолісова дисперсія гармонічних хвиль в пружному півпросторі. Поширення гармонічних хвиль вглибину пружного півпростору, який рівномірно обертається, і перебуває під дією розподіленого навантаження на границі.
3. Електропружні зв’язані гармонічні хвилі зсуву в п’єзокерамічному шарі з поздовжньою поляризацією, який обертається рівномірно. Розв’язок задачі у вигляді суперпозиції диспергуючих електромеханічно зв’язаних та незв’язаних хвиль зсуву.
4. Гармонічна біжуча хвиля Релея на вільній поверхні пружного півпростору, який рівномірно обертається: постановка задачі, загальний розв’язок, характеристичне рівняння та його аналіз, визначник Релея, асимптотичні формули у випадку малих кутових швидкостей обертання.
Теорія актюаторів
1. Постановка задачі про поперечні коливання тонких п’єзокерамічних пластин з товщинною поляризацією. Формулювання основних граничних умов.
2. Постановка задачі згинних коливань біморфних п’єзоелементів.
3. Гіпотези деформування тонких п’єзооболонок обертання, аналогічні гіпотезам теорії оболонок типу Кірхгофа-Лява.
4. Ультразвукові двигуни та принцип їх дії.
5. Постановка задачі про контакт зі зчепленням між біжучою хвилею та жорсткою смугою.
Комп'ютерне моделювання поширення пружних хвиль
1. Модель ідеальної стисливої рідини.
2. Енергетичні характеристики пружних хвиль.
3. Принцип суперпозиції.
4. Неоднорідна хвиля.
5. Радіаційне демпфірування.
Комп'ютерне дослідження полів у хвилеводних структурах
1. Фазова і групова швидкості нормальних хвиль рідинного хвилеводу.
2. Засоби збудження поверхневих і об’ємних хвиль.
3. Поздовжні і поперечні хвилі у твердому тілі. Поляризація поперечної хвилі.
4. Хвилі у твердому півпросторі, що збуджуються просторовою гармонікою.
5. P, SH та SV хвилі.
Математичне моделювання механічних систем і процесів
1. Математична модель поздовжних коливань п’єзокерамічного стержня з поперечною поляризацією з суцільним покриттям лицевих бічних граней.
2. Математична модель поздовжних поздовжних коливань п’єзокерамічного стержня з поздовжньою поляризацією з електродами на торцях.
3. Математична модель радіальних коливань тонкого п’єзокерамічного диску.
4. Математична модель радіальних коливань тонкої п’єзокерамічної кільцевої пластини.
Аналітично-чисельні методи в динамічних задачах теорії тріщин
1. Точність скінченно-різницевої схеми для початково-граничних задач.
2. Скінченно-елементні апроксимації вищих порядків.
3. Класифікація методів граничних елементів.
Cучасні методи обробки та передачі інформації
1. Поняття нормалізації відношень реляційної БД. Перша, друга та третя нормальні форми Тодда.
2. Зв’язки ”один до одного”, ”один до багатьох”, ”багато до багатьох”.
3. Цілісність доменів.
Обчислювальні та аналітичні методи в гідромеханіці
1. Особливості дискретизації області, диференціальних рівнянь та крайових умов для диференціальних рівнянь в частинних похідних еліптичного типу.
2. Формулювання основних теорем методу сіток: теорема про розв’язність сіткової системи рівнянь еліптичного типу та теорема Лакса про еквівалентність.
3. Прямі методи розв’язання стаціонарних задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних еліптичного типу.
4. Методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних параболічного типу.
5. Особливості розв’язання лінійних багатовимірних диференціальних рівнянь в частинних похідних параболічного типу.
6. Методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних гіперболічного типу.
7. Методи розв’язання одновимірного транспортного рівняння (нестаціонарного рівняння конвекції-дифузії).
8. Методи розв’язання нев’язкого рівняння Бюргерса.
9. Методи розв’язання повного (в’язкого) рівняння Бюргерса.
10. Особливості розв’язання повного двовимірного рівняння Бюргерса.
Сучасні підходи до комп’ютерного моделювання в механіці суцільних середовищ
1. Математичні моделі теплогідравліки двофазних потоків
2. Методи моделювання теплогідравлічних систем засобами коду CATHARE
Варіаційні методи в обчислювальній механіці.
1. Процедура методу Рітца.
2. Процедура методу Гальоркіна.
3. Схема використання методу скінчених елементів.
4. Варіаційний принцип Гамільтона-Остроградського в задачах МСС.
5. Ідеї методу модальної декомпозиції в задачах про коливання континуальних систем
Моделі і методи дослідження фізично нелінійних середовищ
1. Метод пружних розв’язків.
2. Основні положення теорії малих пружнопластичних деформацій.
Спеціалізовані системи комп’ютерного моделювання в механіці
1. Розв’язання звичайних диференційних рівнянь в системі MathCAD.
2. Розв’язання нелінійних рівнянь в системі MathCAD.
Комп’ютерне моделювання руху рідини в резервуарах
1. Особливості задачі моделювання руху рідини в резервуарі при наявності вільної поверхні.
2. Числові та числово-аналітичні перетворення основних рівнянь.
3. Методи побудови розрахункових сіток.
4. Загальні зауваження відносно стійкості методів при числовому розв’язанні рівнянь примежового шару.
5. Методи лінеаризації рівнянь примежового шару: коефіцієнти, що запізнюються, проста ітераційна заміна коефіцієнтів, лінеаризація за Ньютоном при ітеративному обчисленні коефіцієнтів, екстраполяція коефіцієнтів.
6. Рівняння Нав’є-Стокса в наближенні тонкого шару.
7. Особливості врахування градієнту тиску у повздовжньому напрямку у випадку параболізованих рівнянь Нав’є-Стокса для дозвукових течій.
Компютерне моделювання в механіці зв’язаних полів.
1. Метод дискретної ортогоналізації.
2. Метод квазілінеаризації.
3. Метод Ньюмарка.
Б. Студент має вміти доводити такі теореми загальних курсів
Диференціальні рівняння в частинних похідних
1. Теорема про еквівалентність операторного рівняння із додатно визначеним оператором та задачі про мінімум енергетичного функціоналу.
2. Задача Діріхле для рівняння Пуассона: класична постановка задачі, оператор задачі. Довести, що оператор задачі є додатно визначеним.
3. ІІІ крайова задача для рівняння Пуассона: класична постановка задачі, оператор задачі. Довести, що оператор задачі є додатно визначеним.
4. Задача Неймана для рівняння Пуассона: класична постановка задачі, оператор задачі. Довести, що оператор задачі є додатно визначеним.
5. Задача про прогин пластини (для бігармонічного оператора) із жорстко закріпленою межею: класична постановка задачі, оператор задачі. Довести, що оператор задачі є додатно визначеним.
Векторний аналіз та теорія поля
1. Формула Гауса-Остроградського.
2. Формула Стокса.
3. Виведення всіх можливих операцій другого порядку через операції першого порядку.
4. Вираз для градієнта в криволінійних координатах через коефіцієнти Ламе.
5. Вираз для ротора в криволінійних координатах через коефіцієнти Ламе.
Методи комп'ютерного аналізу нелінійних систем
1. Методи дослідження автономних нелінійних систем. Метод Бубнова–Гальоркіна.
2. Наближені аналітичні методи дослідження неавтономних нелінійних систем. Метод Крилова–Боголюбова–Митропольського. Загальний випадок для основного резонансу.
3. Наближені аналітичні методи дослідження неавтономних нелінійних систем. Метод Малкіна для резонансного випадку.
4. Нелінійні коливання систем з розподіленими параметрами. Коливання стержня у нелінійно пружному зовнішньому середовищі.
5. Нелінійні коливання систем з розподіленими параметрами. Коливання балки на нелінійно пружній основі.
Некласичні математичні моделі механіки деформівного твердого тіла
1. Теорія пружності при скінчених переміщеннях. Кінематика. Деформації елементарного об’єму середовища. Вирази для базисних векторів та компонентів деформацій через похідні від скінчених переміщень.
2. Теорія напружень Трефця: розрахунок внутрішніх сил у деформованому стані за елементами площі граней в недеформованому стані тіла. Представлення векторів напружень у декартових координатах через базисні вектори скінченої деформації.
3. Просторовий рух пружного тіла. Інтегральні теореми про рух центра мас та про зміну моменту кількості руху пружного тіла, що здійснює скінчені переміщення у просторі під дією незрівноваженої системи зовнішніх поверхневих та об’ємних сил.
4. Узагальнене векторне рівняння Ламе просторового руху пружного тіла. Проекції рівнянь Ньютона у відносній системі відліку. Теорема Коріоліса. Перетворення сил інерції.
5. Теорема про зміну моменту кількості руху у відносній системі відліку та узагальнене векторне рівняння Ейлера просторового руху пружного тіла. Головні та відцентрові моменти інерції рухомого у просторі пружного тіла.
Теорія актюаторів
1. Постановка та загальний розв’язок задачі про згинні коливання круглої п’єзокерамічної пластини з товщинною поляризацією під дією нормального навантаження.
2. Розподіл компонент електричного поля за товщиною біморфної п’єзокерамічної пластини.
3. Вирази для компонент тензора напружень та інтегральних характеристик біморфної п’єзокерамічної пластини.
4. Рівняння осесиметричних коливань тонких п’єзокерамічних оболонок.
5. Постановка задачі про гладкий контакт між біжучою хвилею та жорсткою смугою.
Комп'ютерне моделювання поширення пружних хвиль
1. Падіння плоскої хвилі на межу поділу двох середовищ. Похиле падіння. Аналіз нормального падіння.
2. Падіння хвилі на рухому межу.
3. Поле пульсуючої сфери.
4. Характеристика напрямленості. Приклад: пара монополів.
5. Взаємодія джерел хвиль на прикладі пари точкових джерел.
Комп'ютерне дослідження полів у хвилеводних структурах
1. Енергетичне визначення групової швидкості.
2. Кінематичне визначення групової швидкості.
3. Створення гармонічного поля у хвилеводі при заданні розподілу тиску в деякому перерізі хвилеводу.
4. Поверхнева хвиля Релея. Кінематика руху частинок середовища у хвилі Релея.
5. Нормальні хвилі плоско-паралельного хвилеводу з жорсткими межами.
Математичне моделювання механічних систем і процесів
1. Поздовжні коливання призматичного п’єзокерамічного стержня з поперечною поляризацією з розрізними електродами при синфазному та протифазному електричному збудженні.
2. Поздовжні коливання складеного циліндричного п’єзокерамічного стержня з поздовжньою поляризацією при навантаженні електричним полем на внутрішніх електродах, заглиблених поблизу торців.
3. Радіальні коливання тонкого п’єзокерамічного диску з концентричними розрізами електродів при синфазному та протифазному збудженні.
4. Енергетичне визначення динамічного КЕМЗ на поздовжніх коливаннях п’єзокерамічного стержня, поляризованого вздовж осі.
Аналітично-чисельні методи в динамічних задачах теорії тріщин
1. Інтегральне представлення розв’язку та граничне інтегральне рівняння в задачі теорії потенціалу.
2. Скінченно-елементна схема (по білінійним прямокутним елементам) двовимірної статичної задачі теорії пружності.
3. Застосування методу часткової дискретизації для початково-граничної задачі для двовимірного хвильового рівняння.
Cучасні методи обробки та передачі інформації
1. Структура та складові елементи СУБД. Інструменти для роботи з БД. Механізм СУБД.
2. Атрибути та домени.
3. Декомпозиція реляційної моделі без втрат. Ключі кандидати та первинні ключі.
Сучасні методи компютерного аналізу граничних задач
1. Простий явний метод розв’язку одновимірного нестаціонарного рівняння теплопровідності в різних системах відліку. Граничні умови. Умова симетрії. Стійкість простого явного методу.
2. Простий неявний метод розв’язку одновимірного нестаціонарного рівняння теплопровідності в різних системах відліку. Граничні умови. Умова симетрії. Стійкість простого неявного методу.
3. Неявний метод напрямків, що чергуються, для розв’язку багатовимірного нестаціонарного рівняння теплопровідності. Граничні умови. Умова симетрії. Стійкість неявного методу напрямків, що чергуються.
4. Нелінійні системи рівнянь математичної фізики. Дискретні аналоги рівняння конвективно-дифузійної теплопровідності. Властивість консервативності. Властивість транспортатівності дискретних аналогів нелінійних рівнянь.
5. Ітераційний метод послідовної верхньої релаксації розв’язку багатовимірного стаціонарного рівняння теплопровідності. Граничні умови. Збіжність методу послідовної верхньої релаксації.
6. Основні підходи до дискретизації похідних. Розвинення в ряди Тейлора. Звичайно-різницеве наближення першої і другої похідних. Поліноміальне представлення похідних. Мішані похідні. Зміна розмірів сітки.
Обчислювальні та аналітичні методи в гідромеханіці
1. Використання ітераційного та псевдонестаціонарного методів для розв’язання системи двовимірних стаціонарних рівнянь Бюргерса.
2. Особливості використання методу скінченних об’ємів для розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних еліптичного типу.
3. Особливості використання швидкого перетворення Фур’є для розв’язання крайових задач для рівнянь Лапласа та Пуассона.
Сучасні проблеми обчислювальної гідродинаміки.
1. Використання панельного методу для розв’язання крайових задач для плоских нев’язких нестисливих течій.
2. Використання методу сіток для розв’язання крайових задач для одновимірних нестаціонарних нев’язких нестисливих течій.
3. Методи розрахунку сильних стрибків.
4. Особливості використання неявних схем для розв’язання крайових задач для системи нестаціонарних рівнянь Ейлера.
5. Особливості використання багатосіткових методів для розв’язання крайових задач для системи нестаціонарних рівнянь Ейлера.
6. Плоскі примежові шари: явні методи.
7. Плоскі примежові шари: неявні методи Кранка-Ніколсона та чисто неявний метод.
8. Плоскі примежові шари: блочний метод Келера та модифікований блочний метод.
9. Використання перетворення Леві-Ліза та методу Девіса для розв’язання системи рівнянь примежового шару.
Комп'ютерне моделювання руху рідини у резервуарах
1. Тривимірні примежові шари: напівнеявні схеми Кранка-Николсона та зигзаг.
2. Тривимірні примежові шари: неявна маршова схема із розщепленням.
3. Особливості числового розв’язання системи параболізованих рівнянь Нав’є-Стокса для стисливої рідини. Ефективна неявна наближено факторизовано схема без ітерацій.
4. Особливості розв’язання параболізованих рівнянь Нав’є-Стокса для дозвукових течій. SIMPLE - подібні методи.
5. Особливості розв’язання частково параболізованих рівнянь Нав’є-Стокса для дозвукових течій. Використання рознесеної сітки.
6. Використання змінних функція течії - завихреність для розв’язання плоских рівнянь Нав’є-Стокса (нестислива рідина). Особливість завдання крайових умов для завихреності.
7. Рівняння Нав'є-Стокса для стисливої рідини. Явна та неявна схеми Мак-Кормака.
8. Рівняння Нав'є-Стокса для стисливої рідини. Ефективна неявна наближено факторизовано схема без ітерацій Біма-Уормінга.
9. Рівняння Нав’є-Стокса для дозвукових течій (нестислива рідина): схема Чоріна.
10. Рівняння Нав’є-Стокса для дозвукових течій (нестислива рідина): Особливості розв’язання рівняння Пуассона для тиску.
11. Розв’язання повних рівнянь Нав’є-Стокса для дозвукових течій (нестислива рідина): SIMPLE - подібні методи.
Сучасні підходи до комп’ютерного моделювання в механіці суцільних середовищ
1. Вивести вираз для швидкості звуку у гомогенній рівноважній течії двофазної рідини.
Література
1. , , Улітко І. А. Гармонічні хвилі зсуву в пружному шарі, який рівномірно обертається // Вісник Київського ун-тету. Сер.: математика і механіка. – 2004. – № 11-12. – 6 с.
2. , , Шульга . – Киев: Наукова думка, 1989. – 198 с.
3. Грінченко В. Т., Вовк І. В., Маципура акустики. – К.: Наукова думка, 2007. – 640 с.
4. , Мелешко колебания и волны в упругих телах. – К.: Наукова думка, 1981. – 284 с.
5. Улитко В. О., Улітко І. А. Прикладні методи в задачах електропружності. - К.: ВПЦ Київський ун-тет. 2007.
6. , Улитко в механику нестационарых колебаний и волн. - К.: Вища школа, 1989.
7. , Алексейчук ія коливань і стійкості руху. – К.: Вища школа, 2004.
8. Вольмир динамика пластин и оболочек. – М.: Наука, 1972.
9. , Жидков вычислений. Т.1 / М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. – 464с.
10. Самарский в теорию разностных схем / М.: Наука, 1986. – 550с.
11. Хемминг методы / М.: Наука, 1972. – 402с.
12. Самарский в численные методы. М: ”Наука”. 1987. 286 с.
13. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: “Мир”. 1988. 352 с.
14. Вычислительные методы в механике разрушения. Под ред. С. Атлури. М.: ”Мир”. 1990. 387 с.
15. Слепян трещин. Ленинград: ”Судостроение”. 1990. 295 с.
16. , Чеснокова работы в математическом пакете Mathcad. ДНТУ, 2007, 187 с.
17. Васильєв А. Mathcad 13 на примерах. С-Пб, “БХВ-Петербург”, 2006, 518c.
18. Инженерные расчеты в Mathcad 15. Учебный курс. 2011, Мир Книг, С-Пб., 401 с.
19. Нигматулин многофазных сред. - М.:Наука,1987, т.1.-464с.
20. Каденко І. М., , Єрмоленко теплогідравліки реакторних установок: навч. посібник. – К.: ВПЦ «Київський університет», 2010.-359с.
21. Теория тепломассообмена: Учебник для вузов/ , , и др.; под ред. .-М.: Изд-во МГТУ им. , 1997.-683с.
22. Гаазуков методы. Москва-Ижевск, Регулярная и хаотическая динамика, 2006.- 470с.
23. Михлин методы в математической физике, Москва, Наука, 1970.- 512с.
24. В. В, Божидарник, . Елементи теорії пластичності та міцності. Львів, 1999
25. . Пластичность. Москва, Наука, 1964.
26. . Математическая теория пластичности. Москва, МГУ, 1979.
27. Каліон і методи розв’язання крайових задач механіки суцільних середовищ.- К.: ВЦ “Київський університет”.- 1999.- 106 с.
28. Танненхилл Дж., Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Часть I и II.- М.: Мир.- 1990.- 728 с.
29. Kazachkov, I. V., Kalion, V. A. Numerical continuum mechanics.– Stockholm : Royal Institute of Technology. – 2002. – Vol. 1.- 273 р.
30. Каліон гідромеханіка. Модельні задачі.- К.: ВЦ “Київський університет”.- 2011.- 175 с.
31. Танненхилл Дж., Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Часть I и II.- М.: Мир.- 1990.- 728 с.
32. Каліон гідромеханіка. Модельні задачі.- К.: ВЦ “Київський університет”.- 2011.- 175 с. http://www. mechmat. univ. /dload/pos/Kalion_OG_2010_1.pdf.
33. Каліон гідромеханіка. Примежовий шар та нев’язкі течії.- К.: ВЦ “Київський університет”.- 2013.- 207 с.
34. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Часть I и II.- М.: Мир.- 1991.- 1054с.
35. Улітко А. Т., , Ковальчук ітопружність при динамічному навантаженні. –К.: Либідь, 1994.
36. , , Белубекян тонких оболочек и пластин. – М.:Наука, 1977.
37. , Мольченко теории пластин та оболонок з елементами магнітопружності. –К.: 2010.
38. Танненхилл Дж., Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Часть I и II.- М.: Мир.- 1990.- 728 с.
39. Су Kazachkov, I. V., Kalion, V. A. Numerical continuum mechanics.– Stockholm : Royal Institute of Technology. – 2002. – Vol. 1.- 273 р.
40. Каліон гідромеханіка. Модельні задачі.- К.: ВЦ “Київський університет”.- 2011.- 175 с.
Програма затверджена на засіданні вченої ради механіко - математичного факультету
Протокол № 8 від 16 березня 2015 р.
Декан механіко-математичного факультету ій
