Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Московский институт электроники и математики

Департамент прикладной математики

Рабочая программа дисциплины

Компьютерный практикум по математике-1

для образовательной программы «Прикладная математика»

направления подготовки 01.03.04 «Прикладная математика»

уровень бакалавр

Автор программы:

, д. ф.м. н., профессор, *****@***ru

Одобрена на заседании департамента прикладной математики

«___»____________ 2015 г.

Руководитель департамента ________ [подпись]

Рекомендована Академическим советом образовательной программы

«___»____________ 2015 г., № протокола_________________

Утверждена «___»____________ 2015 г.

Академический руководитель образовательной программы

_________________ [подпись]

Москва, 2015

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов специальности 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра по прикладной математике, изучающих дисциплину " Компьютерный практикум по математике-1 ".

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Программа разработана в соответствии с:

·  ФГОС для направления 01.03.04 «Прикладная математика»;

·  Образовательной программой [Введите шифр и название направления подготовки/ специальности, название образовательной программы].

·  Рабочим учебным планом университета по направления 01.03.04 «Прикладная математика», утвержденным в 2015г.

2  Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Компьютерный практикум по математике-1» являются

·  выработка у студентов навыков решения конкретных задач линейной алгебры и математического анализа, используя пакеты Excel и Mathematica;

·  формирование умения иллюстрировать математические формулировки примерами, используя возможности символьного вычисления;

·  изучение и практическое освоение современных компьютерных технологий;

·  подготовка к проведению прикладных математических исследований.

3  Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

·  знать основные универсальные программные средства компьютерной системы «Mathematica», предназначенные для решения задач линейной алгебры и математического анализа, и критерии оценки эффективности различных компьютерных технологий;

·  уметь выбирать программные средства и профессионально использовать их для решения задач линейной алгебры и математического анализа;

·  иметь навыки (приобрести опыт) нахождения адекватных и эффективных путей решения математических задач с помощью компьютерных технологий.

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция

Код по ФГОС/ НИУ

Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)

Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции

Способен учиться, приобретать новые знания, умения, в том числе в области, отличной от профессиональной

УК-1

Формируется на протяжении всего учебного процесса

Способен решать проблемы в профессиональной деятельности на основе анализа и синтеза

УК-3

Формируется на протяжении всего учебного процесса

Способен работать с информацией: находить, оценивать и использовать информацию из различных источников, необходимую для решения научных и профессиональных задач (в том числе на основе системного подхода)

УК-5

Формируется в процессе выполнения самостоятельных работ и в процессе аудиторной работы

Способен сформулировать инженерную задачу, формализовав ее на основе знаний математического аппарата и проведенного системного анализа

ПК-2

Формируется в процессе выполнения самостоятельных работ и в процессе аудиторной работы

Способен проектировать и разрабатывать компоненты программного обеспечения на основе современных парадигм, технологий и языков программирования;

ПК-3

Формируется в процессе выполнения самостоятельных работ и в процессе аудиторной работы

Способен применять знание фундаментальной математики и естественно-научных дисциплин при разработке математических моделей и методов для объектов, процессов и систем в инженерной практике

ПК-10

Формируется в процессе выполнения самостоятельных работ и в процессе аудиторной работы

Способен использовать и развивать методы математического моделирования и применять аналитические и научные пакеты прикладных программ

ПК-11

Формируется в процессе выполнения самостоятельных работ и в процессе аудиторной работы

4  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Дисциплина " Компьютерный практикум по математике-1" обеспечивает компьютерную подготовку слушателей по двум фундаментальным математическим дисциплинам - математическому анализу и линейной алгебре, являющихся мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники. Практические занятия с использованием пакета «Математика» позволяют приобрести навыки решения и графической иллюстрации решения многих задач математического анализа и линейной алгебры. Содержание дисциплины имеет многочисленные приложения и является одним из фундаментов будущей практической и научной деятельности специалиста.

Предложенные в курсе методы находят широкое применение в курсах дифференциальные уравнения, теории вероятностей и математической статистики, физики и других науках.

5  Тематический план учебной дисциплины

№

Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Построение различных графиков в Excel. Нахождение корней уравнения и решение СЛАУ в пакете Excel

20

10

10

2

Введение в систему записи в ячейки, типы данных. Выражения, их преобразования и вычисления в пакете Mathematica

16

8

8

3

Визуализация вычислений и возможности графического представления 2D и 3D в пакете Mathematica. Параметрическое представление, линии уровня.

32

16

16

4

Представление данных. Создание векторов и матриц. Работа со списками. Математические операции над векторами и матрицами

18

8

8

5

Символьные преобразования в пакете Mathematica

16

8

8

6

Последовательности и пределы

12

6

6

7

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в пакете Mathematica

16

8

8

8

Решение СЛАУ в пакете Mathematica.

16

8

8

9

Дифференцирование и интегрирование в пакете Mathematica. Операторы из подпакета Vector Analysis Package. Контурный интеграл.

16

8

8

10

Технология разложения функций в ряд Тейлора и компьютерные технологии оценки погрешности степенных рядов

16

8

8

11

Собственные числа и векторы матриц. Характеристический полином.

16

8

8

12

Компьютерные технологии решения задач интерполяции

24

12

12

Итого:

216

108

108

6  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля

Форма контроля

1 год

Параметры **

1

2

3

4

Текущий

(неделя)

Контрольная работа

Домашнее задание

Самостоятельная работа

Проверка выполнения на занятиях

Итоговый

Экзамен

Устный экзамен с защитой не выполненной самостоятельной работы

6.1  Критерии оценки знаний, навыков

Самостоятельная работа состоит в решении стандартных задач по материалам курсов математический анализ и линейная алгебра, требующих технических навыков. Ошибки технического характера не допускаются т. к. студент может промежуточные вычисления проверять в пакете «Математика». Выборочная проверка выполнения самостоятельной работы оценивается по 10-ти балльной шкале и затем к концу четвертого модуля выставляется накопленная оценка как среднеарифметическая полученных ранее оценок.

На экзамене проверяется умение студента: 1) формулировать и иллюстрировать теоремы из курсов математический анализ и линейная алгебра; 2) обосновать правильность выполнения самостоятельной работы (индивидуальной для каждого студента) и проиллюстрировать результаты графическими средствами пакета «Математика». При доказательстве теорем допустимо пользоваться соображениями и понятиями, выходящими за рамки курса. При этом, однако, студент должен продемонстрировать знание соответствующих определений и методов.

Оценки по экзамену и всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7  Содержание дисциплины

Раздел представляется в удобной форме (список, таблица). Изложение строится по разделам и темам.

Раздел 1 Построение различных графиков в Excel. Нахождение корней уравнения и решение СЛАУ в пакете Excel.

2D графики заданных непрерывных функций: форматирование данных (запись функций и диапазона рассмотрения); выбор макета графика; подписи, осей, заголовки, масштабы по осям, легенда; маркеры, линии (размеры, цвета), заливка.

Графики дискретных последовательностей , -целое.

Диаграммы массивов данных по категориям (например, гистограммы, аппроксимирующие плотности распределения в статистике)

Пересечение графиков и корни уравнения. Уточнение области пересечения графиков (возможно изменение масштабов) или локализация корней.

Вычисление корней уравнения: два встроенных в Excel инструмента: «Подбор параметра» и «Поиск решения».

Раздел 2. Введение в пакет Mathematica.

Запуск программы, работа, справка, выход. Введение в систему записи в ячейки, типы данных. Форматирование ячеек. Форматы Text и Input. Текст, заключенный в скобки (“Text”), не обрабатывается и представляет собой комментарий. Ячейки In[n] и Out[n], оператор ввода Shift+Enter. Смысл знаков %n и ; во входной ячейке. Возможность присвоение имени любому результату и выражению, позволяющая использовать его для ссылок. Панель меню в Wolfram Mathematica 8.0: File, Edit, Insert, Format, Cell, Graphics, Evaluation, Palettes, Window, Help.

Конкретные разделы из указанного списка литературы указывается после каждой лекции.

Раздел 3 Выражения, их преобразования и вычисления в пакете Mathematica.

Сохранение значения введенных обозначений в течение всего сеанса работы с пакетом Mathematica. Удаление значения присвоенной переменной с помощью команды Clear[] или -. Перед новой задачей Clear[“Global’*”]. Раздел Help в основном меню.

Основные операции и функции. Векторы v={x, y,z}, матрицы m{{a, b},{c, d}} списки, таблицы. Выделение элементов вектора v[[i]] и матрицы m[[i, j]]. Представление матрицы в привычной форме – MatrixForm[m] в префиксной форме или в постфиксной форме m//MatrixForm. Задание дискретных функций одного или двух переменных с помощью функций Table[expr,{i, min, max, step }] и Table[expr,{i, imin, imax, step}, {j, jmin, jmax, step}]

Конкретные разделы из указанного списка литературы указывается после каждой лекции.

Раздел 4 Символьные преобразования в пакете Mathematica.

Возможности встроенный функций Expand[expr], Expand[expr, Trig->True], Expand[expr, x], ComplexExpand[expr], ComplexExpand[expr,{x1,x2}];

Factor[poly],TrigFactor[expr]; Simplify[expr], Simplify[expr, assum]; Together[expr]; Coefficient[expr, form]; оператор подстановки /. ; Sum[expr, {i, imin, imax, step}],

NSum[expr, {i, imin, imax, step}].

Операция дифференцирования: D[f, x], D[f,{x, n}].Конкретные разделы из указанного списка литературы указывается после каждой лекции.

Раздел 5 Решение алгебраических и трансцендентных уравнений и неравенств, пределы в пакете Mathematica

Встроенные функции: Solve[lhs==rhs, var], Solve[{lhs1==rhs1, lhs2==rhs2},{var1,var2}],

Solve[lhs==rhs, var, dom], Solve[lhs>rhs, var, dom], Solve[lhs>=rhs, var, dom];

Reduce[lhs==rhs, var], Reduce [lhs>rhs, var, dom], Reduce [lhs>=rhs, var, dom];

Roots[lhs==rhs, var], Eliminate[{syst},{vars}];

NSolve[lhs==rhs, var, dom], NSolve[lhs>rhs, var, dom], NSolve[lhs>=rhs, var, dom];

FindRoot[f,{x, x0}], FindRoot[{f1,f2,{x, x0},{y, y0}], FindRoot[f,{x, x0,x1}]

Раздел 6 Вычисление пределов

Встроенные функции: Limit[expr, x->xo], Limit[expr, x->xo, Direction->1],

Limit[expr, x->xo, Direction->-1], Limit[expr, x->xo, Direction->1,Assumption->parameter>0].

Раздел 7. Визуализация вычислений и возможности 2D графического представления в пакете Mathematica

Вопросы, на которые необходимо ответить при построении графика функции . На эти вопросы можно получить ответы как до построения графиков с помощью специализированного математического пакета, так и после построения. В последнем случае это является дополнительной проверкой правильности построения графика.

Вопросы.

Определить область существования функции и исследовать поведение функции в граничных точках этой области. Выяснить симметрию графика и его периодичность. Найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности. Определить нули функции и области постоянства знака. Найти точки экстремума и выяснить промежутки возрастания и убывания функции. Определить точки перегиба и установить промежутки вогнутости определенного знака графика функции. Найти асимптоты в случае их существования. Указать те или иные особенности графика.

Для ответов на приведенные вопросы используются знания разделов 4-6.

Встроенная функция построения графика: Plot[f,{x, xmim, xmax},Options]

Необходимые опции для узнаваемости графиков: AxesLabel->{“x”,”y”},AxesOrigin->{0,0},PlotLabel->”Plot of y(x)”.

При построении двух графиков на одном рисунке необходимо до построения ввести в отдельной входной ячейке потребовать подключения дополнительного ресурса командой:

Needs[“PlotLegends’”] и лишь затем ввести в следующей входной ячейке

Plot[{f1,f2},{x, xmim, xmax},Options]. При этом дополнительно к вышеупомянутым опциям добавить опцию PlotLegend->{“f1”,”f2”}.

Анализ предлагаемых функций и построение их графиков и графиков производных.

Построение дискретного графика (как это делалось в пакете Excel) с помощью встроенной функции ListPlot[], где в качестве аргумента фигурирует Table[expr,{i, min, max, step }]

Раздел 8. Решение СЛАУ в пакете математика.

Определитель матрицы Det[], обратная матрица Inverse[], ранг матрицы MatrixRank[].

Диагональная матрица DiagonalMatrix[list] , единичная матрица IdentityMatrix[n], транспонированная матрица Transpose[].

Критерий совместности СЛАУ. Решение СЛАУ методом Гаусса и методом обратной матрицы. Линейная зависимость векторов.

Скалярное произведение векторов {a, b,c}.{x, y,z} или Dot[{a, b,c},{x, y,z}]. Произведение матрицы m на вектор x: m. x или Dot[{{a1,b1,c1},{a2,b2,c2},{a3,b3,c3}},{x, y,z}]. Векторное произведение векторов Cross[{},{}]. Евклидова норма вектора Norm[{x, y,z}]. Норма комплексного числа Norm[a+ib].

Встроенные функции: LinearSolve[m, b] для решения СЛАУ m. x==b. Матрицы и векторы вводятся согласно правилам, изложенным в разделе 3.

8  Образовательные технологии

На практических занятиях разбор задач, иллюстрирующих материал курсов «Математический анализ» и «Линейная алгебра», с применением пакета «Математика»

9  Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1  Тематика заданий текущего контроля

Возможная структура задания для самостоятельной работы «Построение 2D графиков »

Самостоятельная работа по Компьютерному практикуму по математике – 1,

1 модуль, октябрь 2015.

Гр БПМ 15?

Студент (фамилия, имя) в именительном падеже.

Создание персональной кодовой таблицы

согласно соответствию буквы русского алфавита целому числу

А 1

Б 2

В 3

Г 4

Д 5

Е 6

Ё 7

Ж 8

З 9

И 10

Й 11

К 12

Л 13

М 14

Н 15

О 16

П 17

Р 18

С 19

Т 20

У 21

Ф 22

Х 23

Ц 24

Ч 25

Ш 26

Щ 27

Ъ 28

Ы 29

Ь 30

Э 31

Ю 32

Я 33

-

-

Пример (для каждого свой)

Ч

е

т

в

е

р

и

к

о

в

В

и

к

т

о

р

25

6

20

3

6

18

11

12

16

3

3

11

12

20

16

18

Вычислить числа : S1= сумма всех цифр фамилии, S2= сумма всех цифр имени.

25,6,20,3,6,18,11,12,16,3; 3,11,12,20,16,18 числа через запятую из персонального кода.

S1=

S2=

№= номер по списку группы

Выделенный жирным шрифтом текст выше этой строчки должен быть перенесен в текстовом режиме в начало контрольной работы в пакете Mathematica.

Задание 1

Каждый студент использует для этого задания функции согласно его номеру в списке группы (список 38 функций прилагается) и функции . Поясняющий пример. Если величина S1=72, то 0.S1=0.72, если величина S1=122, то 0.S1=0.122.

1.1 Для функции

и ее производной

нарисовать графики функции и ее производной в одинаковом масштабе по оси . В общем случае масштабы значений функции и ее производной при одних и тех же аргументов могут сильно различаться, поэтому удобнее рисовать графики функции и ее производной отдельно один под другим. Графики должны иметь название, подписи осей и пересечение осей в начале координат (соответствующая последнему требованию опция в аргументе функции имеет вид).

Поскольку функция теряет непрерывность в точках обращения в ноль знаменателя: - корни уравнения , то целесообразно рассмотреть отдельно области .

Числа должны быть выбраны такими, чтобы вне интервала поведение функции было вполне очевидным. В качестве первой итерации для этих чисел можно выбрать удвоенное значение аргументов для левой и правой точек разрыва функции .

Для каждого из указанных интервалов значений аргументов построить пару графиков для функции и ее производной:

1.2 Вычислить действительные корни , которые должны в выходной ячейке быть представлены в виде списка .

Выделить текстовую ячейку и записать в ней словами, какому значению корня соответствует локальный минимум или локальный максимум или точка перегиба исходной функции .

1.3 Вычислить пределы функции и ее производной при :

1.4. Если какие-то корни производной будут лежать вне выбранного начального интервала , то выбранный начальный интервал следует расширить таким образом, чтобы в него попали все корни производной. И для новых интервалов построить три пары новых графиков с номерами 21, 22, 23. После этого поведение функции вне окончательного интервала становиться очевидным (почему?).

Задание 2

Выбрать функцию в зависимости от четности или нечетности чисел и персонального кода по следующему правилу:

i

j

S1

неч

1

чет

2

S2

неч

1

чет

2

Определить период выбранных функций и построить график этих функций на сегменте . Требования к оформлению графиков те же, что и в задании 1.

Список функций для первого задания. Выбирается по номеру из списка группы

Комментарий. Если при определении функции используется равенство f[x]=…, то для построения графика используется Plot[Evaluate[f[x]],{x, xmin, xmax}].

Если при определении функции используется равенство f[x_]=…, то для построения графика используется Plot[f[x],{x, xmin, xmax}].

На какие вопросы необходимо ответить при построении графика функции . На эти вопросы можно получить ответы как до построения графиков с помощью специализированного математического пакета, так и после построения. В последнем случае это является дополнительной проверкой правильности построения графика.

Вопросы.

1.Определить область существования функции и исследовать поведение функции в граничных точках этой области.

2.Выяснить симметрию графика и его периодичность.

3.Найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности.

4.Определить нули функции и области постоянства знака.

5.Найти точки экстремума и выяснить промежутки возрастания и убывания функции.

6.Определить точки перегиба и установить промежутки вогнутости определенного знака графика функции.

7.Найти асимптоты в случае их существования.

8.Указать те или иные особенности графика.

9.2  Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Примеры Экзаменационных вопросов

10  Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:

Накопленные () и результирующие () оценки по четырем модулям рассчитываются следующим образом.

В конце 4 модуле первого курса подсчитывается среднеарифметическая оценка активности работы в аудитории и результаты выборочной проверки самостоятельной работы :

;

По окончанию 4 модуля первого курса проводится экзамен, состоящий из двух задач (требующих компьютерных вычислений) и защиты одной из тех задач для самостоятельной работы работы, которая оказалось не сделанной в результате выборочной проверки:

.

Способ округления - в пользу студента.

11  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1  Базовый учебник

[1] Воробьев в систему символьных, графических и численных расчетов «Математика». М.:Диалог-МИФИ. 2005.

11.2  Основная литература

[2] Mathematica 5/6/7. Полное руководство. - М.: ДМК Пресс, 2010. - 624 с

[3] , Тумаков дифференциальных уравнений. в пакете Mathematica Учебное пособие КАЗАНЬ 2014

11.3  Дополнительная литература

[4] Mathematica для студента.-СПб.: БХП – Петербург, 2007.-368 с

[5] . Численные методы и система Mathematica: Учебное пособие для специальности Прикладная математика и информатика - Мурманск: 2009.-249 с.

[6] Mangano S. Mathematica Cookbook. O’Reilly 2010, 827p.

Интернет ресурсы

http://atomas. ru/mat/Book_Mat/ ; http://clubmt. ru/Book_Mat/GL10/Index9.htm ; http://megadmin. ru/math/Book_Matematica/GL4/Index8.htm

11.4  Программные средства

Пакет «Математика» 8.0 или 9.0

11.5  Дистанционная поддержка дисциплины

Не предусмотрено

12  Материально-техническое обеспечение дисциплины

Использование дисплейного класса