Гідравліка, гідро - та пневмоприводи (стр. 8 )

. (3.5)

Аналогічно через переріз 3–3 втече та сама кількість :

. (3.6)

Оскільки бокова поверхня елементарної струминки непроникна, то можна записати рівність витрат в усіх перерізах елементарної струминки :

, (3.7)

або

. (3.8)

Звідси

. (3.9)

Рівняння (3.9) є рівнянням суцільності (нерозривності) для елементарної струминки, тобто витрата рідини в усіх перерізах елементарної струминки є постійною.

Аналогічне рівняння можна одержати для всього потоку рідини.

Розглянемо рух рідини в перерізах потоку (рис.3.3). Потік рідини складається з нескінченно великої кількості елементарних струминок.

Рисунок 3.3 – Рух рідини через перерізи потоку

Скористаємося рівнянням (3.9) суцільності для елементарної струминки :

.

Проінтегруємо це рівняння по всій площі перерізу і одержимо витрати всього потоку :

. (3.10)

Оскільки (де – середня швидкість), можна записати

, (3.11)

або

, (3.12)

де – середні швидкості в різних перерізах потоку; – площі живих перерізів.

Вираз (3.12) є рівнянням суцільності, або нерозривності, для потоку.

Звідси маємо, що витрата рідини вздовж потоку є незмінною.

3.3 Рівняння Ейлера руху ідеальної рідини

У потоці ідеальної рідини візьмемо довільну точку А з координатами Розглянемо рух елементарного рідкого тіла у вигляді паралелепіпеда, виділеного біля цієї точки (рис. 3.4).

Тиск у точці А позначимо через р, швидкість руху рідини – через , а її проекції на координатні осі через .

За аналогією з умовами рівноваги рідини на елементарний паралелепіпед будуть діяти сили тиску і масова сила, складові якої, віднесені до одиниці маси, – це прискорення і проекції їх на координатні осі, що дорівнюють Оскільки паралелепіпед рухається, на нього будуть діяти сили інерції.

Згідно з принципом Д’Аламбера тіло, що рухається рівномірно, можна розглядати як тіло, що перебуває у відносному

спокої, якщо до сил, що діють на нього, додати силу інерції,

спрямовану протилежно руху і таку, що дорівнює добутку маси на прискорення.

Таким чином, рідкий паралелепіпед можна розглядати таким, що перебуває у відносному спокої, якщо до діючих масових сил і сил тиску додати силу інерції.

Проекції сил інерції, віднесені до одиниці маси, – це прискорення. На координатні осі вони дорівнюють:

; ;. (3.13)

Знак "–" показує, що сили інерції спрямовані протилежно руху паралелепіпеда.

Раніше отримані диференціальні рівняння рівноваги рідини, що перебуває у стані спокою, мають вигляд (2.10):

; ; . (3.14)

Додавши до цих рівнянь проекції прискорень, одержимо рівняння руху ідеальної рідини :

.

(3.15)

Це диференціальні рівняння руху ідеальної рідини, або диференціальні рівняння Ейлера. Вони відрізняються від відповідних рівнянь рівноваги тим, що у лівій частині мають прискорення руху елементарного об’єму на відповідну вісь.

3.4 Рівняння Бернуллі для ідеальної рідини

Розглянемо елементарну струминку ідеальної рідини, що знаходиться в усталеному русі.

Скористаємося диференціальними рівняннями руху рідини:

.

Помножимо перше рівняння на, друге – на , третє – на і складемо

(3.16)

Оскільки

;;, (3.17)

то

;;. (3.18)

Підставимо ці значення в ліву частину рівняння (3.16) і одержимо

(3.19)

Враховуючи, що повна швидкість через її складові по осях координат буде

, (3.20)

можна записати

. (3.21)

У правій частині рівняння (3.16) вираз є повним диференціалом деякої функції , частинні похідні якої дорівнюють :

. (3.22)

Ця функція називається потенціальною, або силовою.

З урахуванням (3.22) одержимо

. (3.23)

Оскільки ми розглядаємо усталений рух, у якому тиск не залежить від часу , то тричлен у дужках являє собою повний диференціал тиску :

. (3.24)

Отже, остаточно рівняння (3.16) можна записати у вигляді

, (3.25)

або

. (3.26)

Отримане диференціальне рівняння встановлює зв’язок між швидкістю , тиском і силовою функцією .

Проінтегруємо рівняння (3.26) :

. (3.27)

Розглянемо елементарну струминку ідеальної рідини (рис.3.5) і виділимо два перерізи – 1-1 і 2-2.

Рисунок 3.5 – Перерізи елементарної струминки

ідеальної рідини

Для перерізів 1-1 та 2-2 можна записати

. (3.28)

Для часткового випадку, коли на рідину діє лише одна масова сила – сила тяжіння, Тоді функція з урахуванням цього рівняння набирає вигляду

. (3.29)

Розділимо всі члени рівняння (3.29) на (віднесемо до одиниці ваги рідини) :