Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета "Высшая школа экономики"
Факультет Электроники и телекоммуникаций
Программа дисциплины
«Теория вероятностей и математическая статистика»
для направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»
подготовки бакалавра
Автор программы: , *****@***ru
Одобрена на заседании кафедры Высшей математики МИЭМ «___»____________ 20 г
Зав. кафедрой
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель [Введите ]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите ] ________________________ [подпись]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
2 Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика».
Программа разработана в соответствии с
- ФГОС ВПО по направлению 210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра; Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» подготовки бакалавра, утвержденным в 2012 г.
3 Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» являются: изучение основ теории вероятностей и математической статистики и применение полученных знаний для решения конкретных практических задач.
Задачи дисциплины:
-- освоить основные постановки задач, определения и теоремы теории вероятностей и математической статистики;
-- обучить основным методам аналитического решения задач теории вероятностей и математической статистики;
-- дать навыки решения статистических задач с помощью ЭВМ;
-- дать навыки статистического исследования различных явлений и процессов.
4 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен
знать:
· основные постановки задач теории вероятностей и математической статистики;
· основные определения и теоремы теории вероятностей;
· методы построения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределений;
· методику проверки статистических гипотез;
уметь:
· вычислять вероятности случайных событий;
· вычислять числовые характеристики случайных величин;
· строить точечные и интервальные оценки неизвестных параметров распределений;
· проверять статистические гипотезы;
владеть:
основными методами аналитического решения вероятностных и статистических задач и соответствующим математическим аппаратом.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
А) общекультурные компетенции (ОК):
владеть культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
уметь логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-2);
использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-9);
Б) профессиональные (ПК):
способность понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны; владеть основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации (ПК-1);
иметь навыки самостоятельной работы на компьютере и в компьютерных сетях; осуществлять компьютерное моделирование устройств, систем и процессов с использованием универсальных пакетов прикладных компьютерных программ (ПК-2);
знать метрологические принципы и владеть навыками инструментальных измерений, используемых в области инфокоммуникационных технологий и систем связи (ПК-4);
в сервисно-эксплуатационной деятельности:
уметь организовать и осуществить проверку технического состояния и оценить остаток ресурса сооружений, оборудования и средств связи, применить современные методы их обслуживания и ремонта; осуществлять поиск и устранение неисправностей, повысить надежность и готовность сетей; уметь составить заявку на оборудование, измерительные устройства и запасные части, подготовить техническую документацию на ремонт и восстановление работоспособности оборудования, средств, систем и сетей связи (ПК-10);
в расчетно-проектной деятельности:
готовность к изучению научно-технической информации, отечественного и зарубежного опыта по тематике инвестиционного (или иного) проекта; уметь собирать и анализировать информацию для формирования исходных данных для проектирования средств и сетей связи и их элементов (ПК-13);
в экспериментально-исследовательской деятельности:
способность применять современные теоретические и экспериментальные методы исследования с целью создания новых перспективных средств электросвязи и информатики; организовывать и проводить их испытания с целью оценки соответствия требованиям технических регламентов, международных и национальных стандартов и иных нормативных документов (ПК-17);
способность спланировать и провести необходимые экспериментальные исследования, по их результатам построить адекватную модель, использовать ее в дальнейшем при решении задач создания и эксплуатации инфокоммуникационного оборудования (ПК-18);
5 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
· «Математический анализ»
· «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
· «Физика»
· «Специальные главы математики»
· «Основы математического моделирования»
· «Метрология, стандартизация и сертификация в инфокоммуникациях»
· «Основы управления техническими системами»
· «Основы информационной безопасности и криптографии».
6 Тематический план учебной дисциплины
№ | Название раздела | Всего часов | Аудиторные часы | Самостоятельная работа | ||
Лекции | Семинары | Практические занятия | ||||
1 | Вероятностное пространство. Определение и свойства вероятности. | 12 | 2 | 2 | 8 | |
2 | Условная вероятность. Независимость событий. Схема Бернулли. | 10 | 1 | 1 | 8 | |
3 | Случайные величины. Функция распределения. | 18 | 4 | 4 | 10 | |
4 | Многомерные случайные величины. | 8 | 1 | 1 | 6 | |
5 | Числовые характеристики случайных величин. | 14 | 2 | 2 | 10 | |
6 | Предельные теоремы теории вероятностей. | 12 | 2 | 2 | 8 | |
7 | Основные понятия математической статистики. | 6 | 1 | 1 | 4 | |
8. | Оценки неизвестных параметров. | 16 | 3 | 3 | 10 | |
9. | Проверка статистических гипотез. | 12 | 2 | 2 | 8 |
7 Формы контроля знаний студентов
Тип контроля | Форма контроля | 1 семестр | Параметры |
Текущий (неделя) | Контрольная работа | * | письменная работа 80 минут; с использованием Excel |
Домашнее задание | * | На семестр | |
Промежуточный | Экзамен | Устный экзамен | |
Итоговый | Экзамен |
7.1 Критерии оценки знаний, навыков
1. Контрольная работа и домашнее задание.
При оценке контрольной работы и домашнего задания применяется дифференцированный подход по пятибалльной системе в соответствии со знаниями и навыками, проявленными студентом во время их выполнения.
2. Экзамен.
Сдача студентом экзамена оценивается по пятибалльной системе в соответствии со знаниями и навыками, проявленными студентом на экзамене.
8 Содержание дисциплины
№ п/п | Наименование раздела дисциплины | Содержание раздела |
1. | Вероятностное пространство. Определение и свойства вероятности. | События, операции над событиями. Пространство элементарных исходов. Определение вероятности: классическое, геометрическое, статистическое, аксиоматическое. Свойства вероятности. Формула сложения вероятностей. |
2. | Условная вероятность. Независимость событий. Схема Бернулли. | Определение условной вероятности. Формула умножения вероятностей. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема независимых испытаний Бернулли. |
3. | Случайные величины. Функция распределения. | Понятие случайной величины. Функция распределения. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Распределения: биномиальное, геометрическое, Пуассона. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Распределения: равномерное, экспоненциальное, нормальное. Функции от случайных величин. |
4. | Многомерные случайные величины. | Совместная функция распределения. Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины. Условные распределения. Независимые случайные величины. Распределение суммы двух случайных величин. |
5. | Числовые характеристики случайных величин. | Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Моменты высших порядков. Асимметрия, эксцесс, мода, медиана, квантиль. Ковариация. Коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость. |
6. | Предельные теоремы теории вероятностей. | Теорема Пуассона. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. |
7. | Основные понятия математической статистики. | Задачи математической статистики. Генеральная совокупность. Выборка. Вариационный ряд. Понятие оценки. Свойства оценок. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот. Критерий Колмогорова. |
8. | Оценки неизвестных параметров. | Точечные оценки. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия. Другие методы получения точечных оценок. Доверительные интервалы. |
9. | Проверка статистических гипотез. | Статистические гипотезы. Критерии. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Мощность критерия. Основной принцип проверки статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона (c2). |
9 Образовательные технологии
Рекомендуемые образовательные технологии:
– чтение лекций;
– проведение практических занятий;
– выполнение студентами контрольной работы и домашнего задания;
– проведение экзамена.
Аудиторные занятия проводятся в форме лекций, практических занятий. Во время проведения практических занятий используются активные и интерактивные формы (обсуждение отдельных разделов дисциплины и методов решения задач, предложенных преподавателем).
Для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации по дисциплине могут использоваться: устный опрос; письменные работы (ПР) в виде контрольных работ (КР) и домашнего задания (ДЗ); экзамен. Оценка на экзамене может быть выставлена с учетом всех перечисленных форм контроля и промежуточной аттестации.
Самостоятельной работой студентов является выполнение домашних заданий, проработка материалов лекций, подготовка к контрольной работе, подготовка к экзамену. Для успешного освоения дисциплины рекомендуется перед каждым практическим или семинарским занятием повторить теоретический материал соответствующей лекции, а после активной работы на занятии - выполнить полученные задания и изучить соответствующий раздел указанной в программе курса литературы.
10 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1. Тематика заданий текущего контроля
Для текущей и промежуточной аттестации студентов выполняется 2 письменные работы: 1 контрольная работа и 1 домашнее задание.
Тематика контрольной работы.
Математическая статистика. Эмпирическая функция распределения, гистограмма и полигон частот. Точечные оценки. Доверительные интервалы. Проверка статистических гипотез.
Примерный вариант контрольной работы.
1. По данному распределению выборки построить эмпирическую функцию распределения, гистограмму и полигон:
xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
ni | 15 | 25 | 10 | 20 | 10 | 20 |
принимает значения: 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью 1-р: а) методом моментов и б) методом максимального правдоподобия. Найти доверительный интервал надежности 1-α=0,95 для неизвестного математического ожидания при неизвестной дисперсии по выборке Х
=0,464, Х
=0,137, Х
=2,455, Х
=-0,323. Распределение нормальное. Какова точность этого интервала? Как изменится точность, если дисперсия известна и равна 1,5? 4. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза об экспоненциальном распределении генеральной совокупности с результатами наблюдений, представленными в таблице:
интервалы | 0-0,2 | 0,2-0,4 | 0,4-0,6 | 0,6-0,8 | 0,8-1,0 | 1,0-1,6 | 1,6-2,0 | 2,0-2,8 | 2,8-3,0 | 3,0-4,6 |
n | 22 | 12 | 10 | 11 | 12 | 10 | 10 | 5 | 3 | 5 |
При выполнении контрольной работы студентам рекомендуется использовать СТАТИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ и МАСТЕР ДИАГРАММ Excel.
Тематика домашних заданий.
Операции над событиями. Вычисление вероятностей случайных событий. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Схема Бернулли. Дискретные случайные величины. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Двумерные случайные величины. Распределение суммы двух случайных величин. Предельные теоремы теории вероятностей.
Примерный вариант домашнего задания ( на семестр).
Операции над событиями.
Из таблицы случайных чисел наудачу взято число. Событие А – взятое число четное, событие В – число оканчивается нулем. Что означают события: АВ,
, 
, А+В? Рабочий изготовил 5 деталей. Пусть событие Аi, i=1,…,5, заключается в том, что i–ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, состоящее в том, что все детали хорошие. Классическое определение вероятности.
Из 15 билетов выигрышными являются 3. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых 5 билетов 2 выигрышных.4. Игральная кость бросается 2 раза. Найти вероятность того, что сумма очков не менее 10.
Формула сложения и умножения вероятностей.
Формула полной вероятности.
Схема Бернулли
По каналу связи передаются независимо два сообщения. Вероятность передачи без искажений первого сообщения равна 0,95, второго – 0,92. Найти вероятность того, что хотя бы одно из сообщений будет искажено. В спортивной секции 80% студентов младших курсов и 20% старшекурсников. Среди спортсменов младших курсов разрядники составляют 20%, а среди старшекурсников – 90%. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен окажется разрядником. Чему равна вероятность выигрыша у равносильного соперника не менее 4 партий из 8?Дискретные случайные величины.
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения, представленным в таблице:xi | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
pi | 5/16 | c2 | 3/8 | c/16 | c/16 |
1.Найти константу с. Ответ обосновать.
2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.
3.Найти дисперсию случайной величины Х.
4.Построить график функции распределения случайной величины Х.
5.Найти вероятность Р{-1 £ X £ 4}.
Непрерывные случайные величины.
Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
1.Найти константу с.
2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.
3.Найти дисперсию случайной величины Х.
4.Построить графики плотности распределения и функции распределения случайной величины Х.
5. Найти P{X>0}, P{-2<X<1,5}.
Многомерные случайные величины.
10. Найти функцию распределения случайной величины Z=2X+Y, где X-дискретная случайная величина, принимающая два значения: 1 с вероятностью 0,7 и -1 c вероятностью 0,3, а Y имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1; X и Y- независимы. Вычислить вероятность Р(Z<0).
Указание: воспользоваться формулой полной вероятности.
11. Непрерывная двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами (-2;-1), (4;-1), (-2;1). Найти двумерную плотность совместного распределения и плотности распределения случайных величин X и Y. Вычислить коэффициент корреляции.
Предельные теоремы теории вероятностей.
Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг. Всхожесть семян данного растения равна 0,9.Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время Т не меньше двух.9.2. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.
Примерный список вопросов для подготовки к экзамену.
Теория вероятностей.
Предмет теории вероятностей. События, операции над событиями. Пространство элементарных исходов. Основные формулы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания. Определение вероятности: классическое, геометрическое, статистическое, аксиоматическое. Свойства вероятности. Формула сложения вероятностей. Определение условной вероятности. Формула умножения вероятностей. Независимость событий. Попарная независимость и независимость в совокупности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема независимых испытаний Бернулли. Понятие случайной величины. Примеры. Функция распределения. Свойства функции распределения. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое распределение, распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Равномерное, экспоненциальное, нормальное распределение. Функции от случайных величин. Многомерные случайные величины. Совместная функция распределения. Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины. Условные распределения. Независимые случайные величины. Распределение суммы двух случайных величин. Формула свертки. Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание случайной величины, имеющей распределение: биномиальное, геометрическое, Пуассона, равномерное, экспоненциальное, нормальное. Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Дисперсия случайной величины, имеющей распределение: биномиальное, геометрическое, Пуассона, равномерное, экспоненциальное, нормальное. Моменты высших порядков. Ковариация. Коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость. Теорема Пуассона. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.Математическая статистика.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
Гмурман вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2000 — 479 с.
10.2. Основная литература
Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высшая школа, 2000 — 400 с.
10.3. Дополнительная литература
, Свирид вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи. – Минск: Новое знание, 2002 – 250 с. , Печинкин вероятностей. Математическая статистика. — М.: Гардарика,1998. —327 с. , Бричикова вероятностей. Справочное пособие к решению задач. – Минск: ТетраСистемс, 1999 - 287 стр.4. Золотаревская вероятностей. Задачи с решениями. — М: Едиториал УРСС, 2003 — 165 с.
, , Турундаевский вероятностей и математическая статистика. — М.: Bысшая школа, 1991 — 400 с. Ширяев . – М.: Наука, 1989 – 640 с.Источник в Интернете: Википедия http://ru. wikipedia. org/
10.4.Справочники, словари, энциклопедии
Математический энциклопедический словарь. Под ред. . – М.: Советская энциклопедия, 1988
10.5.Программные средства
Для успешного освоения дисциплины, студент использует следующие программные средства:
· Microsoft Excel.
10.6.Дистанционная поддержка дисциплины
Для обеспечения интерактивного и непрерывного учебного процесса в качестве образовательных технологий широко используются коммуникационные средства, предоставляемые сетью «Интернет», в частности, осуществляется информационный обмен посредством электронной почты.
12 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Специализированный компьютерный класс для проведения контрольной работы.
