Если X — непрерывная случайная величина, то при увеличении
числа наблюдений п число скачков функции F* (х) увеличивается,
самые скачки уменьшаются и график функции F* (х)
|
В принципе построение статистической функции распределения уже решает задачу описания экспериментального материала. Однако при большом числе опытов и построение F* (х) описанным выше способом весьма трудоемко. Кроме того, часто бывает удобно — в смысле наглядности — пользоваться другими характеристиками статистических распределений, аналогичными не функции распределения F(x), а плотности ƒ(x). С такими способами описания статистических данных мы познакомимся в следующем параграфе.
2.3. Статистический ряд. Гистограмма
При большом числе наблюдений (порядка сотен) простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой записи статистического материала — она становится слишком громоздкой и мало наглядной. Для придания ему большей компактности и наглядности статистический материал должен быть подвергнут дополнительной обработке — строится так называемый «статистический ряд».
Предположим, что в нашем распоряжении результаты наблюдений над непрерывной случайной величиной X, оформленные в виде простой статистической совокупности. Разделим весь диапазон наблюденных значений X на интервалы или «разряды» и подсчитаем количество значений mt, приходящееся на каждый J-й разряд. Это число разделим на общее число наблюдений п и найдем частоту, соответствующую данному разряду:
Сумма частот всех разрядов, очевидно, должна быть равна единице.
Построим таблицу, в которой приведены разряды в порядке их расположения вдоль оси абсцисс и соответствующие частоты. Эта таблица называется статистическим рядом:
Ii | X1; X2 | X2; X3 | . . . . | Xi; Xi+1 | . . . . | Xk; Xk+1 |
P *i | P *1 | P *2 | . . . . . . . . .. . . | P *i | . . . . | P *k |
Здесь Ii, — обозначение i-го разряда; x[t xi+l— его границы; p*t — соответствующая частота; k — число разрядов.
Пример 1. Произведено 500 измерений боковой ошибки наводки при 'стрельбе с самолета по наземной цели. Результаты измерений (в тысячных долях радиана) сведены в статистический ряд:
Ii | — 4;-3 | -3;-2 | -2; -1 | -1;0 | 0; 1 | 1;2 | 2;3 | 3;4 |
mi | 6 | 25 | 72 | 133 | 120 | 88 | 46 | 10 |
P* i | 0,012 | 0,050 | 0,144 | 0,266 | 0,240 | 0,176 | 0,092 | 0,020 |
' Здесь Ii обозначены интервалы значений ошибки наводки mi; — число наблюдений в данном интервале,
P* i = mi/n - соответствующие частоты.
При группировке наблюденных значений случайной величины по разрядам возникает вопрос о том, к какому разряду отнести значение, находящееся в точности на Границе двух разрядов. В этих Случаях можно рекомендовать (чисто условно) считать данное зна-; чение принадлежащим в равной мере к обоим разрядам и "прибавлять к числам mt того и другого разряда по 1/2.
Число разрядов, на которые следует группировать статистический j 'Материал, не должно быть слишком большим (тогда ряд распределения становится невыразительным, и частоты в нем обнаруживают незакономерные колебания); с другой стороны, оно не должно быть слишком малым (при малом числе разрядов свойства распределения описываются статистическим рядом слишком грубо). Практика показывает, что в большинстве случаев рационально выбирать число разрядов порядка 10 — 20. Чем богаче и однороднее статистический Материал, тем большее число разрядов можно выбирать при составлении статистического ряда. Длины разрядов могут быть как одинаковыми, так и различными. Проще, разумеется, брать их одинаковыми. Однако при оформлении данных о случайных величинах, распределенных крайне неравномерно, иногда бывает удобно выбирать в области наибольшей плотности распределения разряды более узкие, чем в области малой плотности.
Статистический ряд часто оформляется графически в виде так называемой гистограммы. Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются разряды, и на каждом из разрядов как их основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда. Для построения гистограммы нужно частоту каждого разряда разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине
разрядов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь ее равна единице.
В качестве примера можно привести гистограмму для ошибки наводки, построенную по данным статистического ряда, рассмотренного в примере 1 (рис. 7.3.1).
Очевидно, при увеличении числа опытов можно выбирать все более и более мелкие разряды; при этом гистограмма будет все более приближаться к некоторой кривой, ограничивающей площадь,
равную единице. Нетрудно убедиться, что эта кривая представляет собой график плотности распределения величины X.
Пользуясь данными статистического ряда, можно приближенно построить и статистическую функцию распределения величины X, Построение точной статистической функции распределения с несколькими сотнями скачков во всех наблюденных значениях X слишком трудоемко и себя не оправдывает. Для практики обычно достаточно построить статистическую функцию распределения по нескольким точкам. В качестве этих точек удобно взять границы X1, X2, ... разрядов, которые фигурируют в статистическом ряде. Тогда, очевидно,
F*(x1)=0
F*(x2) = 
F*(x3) = Pi + Pi
• • • • (7.3.2)
Соединяя полученные точки ломаной линией или плавной кривой, получим приближенный график статистической функции распреде- |
Пример 2. Построить приближенно статистическую функцию распределения ошибки наводки по данным статистического ряда примера 1.
|
Решение. Применяя формулы (7.3.2), имеем:
F*(-4) = 0; F* (- 3) = 0,012; F* (-2) = 0,01 2 + 0,050 = 0,062;
F*(-l) = 0,206; F* (0) = 0,472; F*(l)= 0,712; F* (2) = 0,888;
F*(3) = 0,980; F* (4) = 1,000.
Приближенный график статистической функции распределения дан на рис. 7.3.2.
7.4. Числовые характеристики статистического распределения
В главе 5 мы ввели в рассмотрение различные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты различных порядков. Эти числовые характеристики играют большую роль в теории вероятностей. Аналогичные числовые характеристики существуют и для статистических распределений. Каждой числовой характеристике случайной величины X соответствует ее статистическая аналогия. Для основной характеристики положения — математического ожидания случайной величины — такой аналогией является среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины:
М*[Х] = (7.4,1)
где xt — значение случайной величины, наблюденное в 1-й опыте п — число опытов.
Эту характеристику мы будем в дальнейшем называть статистическим средним случайной величины.
Согласно закону больших чисел, при неограниченном увеличении числа опытов статистическое среднее приближается, (сходится по вероятности) к математическому ожиданию. При достаточно большом п статистическое среднее может быть принято приближенно равным математическому ожиданию. При ограниченном числе опытов статистическое среднее является случайной величиной, которая, тем не менее, связана с математическим ожиданием и может дать о нем известное представление.
Подобные статистические аналогии существуют для всех числовых характеристик. Условимся в дальнейшем эти статистические аналогии обозначать теми же буквами, что и соответствующие числовые характеристики, но снабжать их значком *.
Рассмотрим, например, дисперсию случайной величины. Она представляет собой математическое ожидание случайной величины
.Х2 = (Х — mх)2:
D[X] = M[X*] = M[(X — mx)2}. (7.4.2)
Если в этом выражении заменить математическое ожидание его статистической аналогией — средним арифметическим, мы получим статистическую дисперсию случайной величины X:
(7.4.3)
где т*х — М*[Х] — статистическое среднее.
Аналогично определяются статистические начальные и центральные моменты любых порядков:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
