Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных - (стр. 1 )

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ОСНОВЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ -

2.1. Основные задачи Математической статистики

Математические законы теории вероятностей не являются беспредметными абстракциями, лишенными физического содержания; они представляют собой математическое выражение реальных закономер­ностей, фактически существующих в массовых случайных явлениях природы.

До сих пор, говоря о законах распределения случайных величин, мы не затрагивали вопроса о том, откуда берутся, на каком осно­вании устанавливаются эти законы распределения. Ответ на вопрос вполне определенен — в основе всех этих характеристик лежит опыт; каждое исследование случайных явлений, выполняемое методами тео­рии вероятностей, прямо или косвенно опирается на эксперименталь­ные данные. Оперируя такими понятиями, как события и их вероят­ности, случайные величины, их законы распределения и числовые характеристики, теория вероятностей дает возможность теоретиче­ским путем определять вероятности одних событий через вероятности других, законы распределения и числовые характеристики одних случайных величин через законы распределения и числовые характе­ристики других. Такие косвенные методы позволяют значительно экономить время и средства, затрачиваемые на эксперимент, но отнюдь не исключают самого эксперимента. Каждое исследование в области случайных явлений, как бы отвлеченно оно ни было, корнями своими всегда уходит в эксперимент, в опытные данные, в систему наблюдений.

Разработка методов регистрации, описания и анализа статисти­ческих экспериментальных данных, получаемых в результате наблю­дения массовых случайных явлений, составляет предмет специальной науки — математической статистики.

Все задачи математической статистики касаются вопросов обра­ботки наблюдений над массовыми случайными явлениями, но в зави­симости от характера решаемого практического вопроса и от объема

имеющегося экспериментального материала эти задачи могут прини­мать ту или иную форму.

Охарактеризуем вкратце некоторые типичные задачи математи­ческой статистики, часто встречаемые на практике.

1. Задача определения закона распределения

случайной величины (или системы случайных

величин) по статистическим данным

Мы уже указывали, что закономерности, наблюдаемые в массо­вых случайных явлениях, проявляются тем точнее и отчетливее, чем больше объем статистического материала. При обработке обширных по'своему объему статистических данных часто возникает вопрос об" определении законов распределения тех или иных случайных величин. Теоретически при достаточном количестве опытов свойственные этим случайным величинам закономерности будут осуществляться сколь угодно точно. На практике нам всегда приходится иметь дело с огра­ниченным количеством экспериментальных данных; в связи с этим результаты наших наблюдений и их обработки всегда содержат боль­ший или меньший элемент случайности. Возникает вопрос о том, какие черты наблюдаемого явления относятся к постоянным, устойчивым и действительно присущи ему, а какие являются случайными и про­являются в данной серии наблюдений только за счет ограниченного объема экспериментальных данных. Естественно, к методике обра­ботки экспериментальных данных следует предъявить такие требо­вания, чтобы она, по возможности, сохраняла типичные, характерные черты наблюдаемого явления и отбрасывала все несущественное, второстепенное, связанное с недостаточным объемом опытного мате­риала. В связи с этим возникает характерная для математической статистики задача сглаживания или выравнивания стати­стических данных, представления их в наиболее компактном виде с помощью простых аналитических зависимостей.

2. Задача проверки правдоподобия гипотез

Эта задача тесно связана с предыдущей; при решении такого рода задач мы обычно не располагаем настолько обширным стати­стическим материалом, чтобы выявляющиеся в нем статистические закономерности были в достаточной мере свободны от элементов случайности. Статистический материал может с большим или меньшим правдоподобием подтверждать или не подтверждать справедливость той или иной гипотезы. Например, может возникнуть такой вопрос: согласуются ли результаты эксперимента с гипотезой о том, что данная случайная величина подчинена закону распределения F(х)? Другой подобный вопрос: указывает ли наблюденная в опыте тенденция к зависимости между двумя случайными величинами на наличие действительной объективной зависимости между. ними или же она объясняется случайными причинами, связанными с недостаточным объемом наблюдений? Для решения подобных вопросов математиматическая статистика выработала ряд специальных приемов.

7.2. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения

Предположим, что изучается некоторая случайная величина X, закон распределения которой в точности неизвестен, и требуется определить этот закон из опыта или проверить экспериментально гипотезу о том, что величина X подчинена тому или иному закону. С этой целью над случайной величиной X производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов случайная

величина X принимает определенное значение. Совокупность наблю­денных значений величины и представляет собой первичный стати­стический материал, подлежащий обработке, осмыслению и научному анализу. Такая совокупность называется «простой статистической совокупностью» или «простым статистическим рядом». Обычно про­стая статистическая совокупность оформляется в виде таблицы с од­ним входом, в первом столбце которой стоит номер опыта Л а во втором — наблюденное значение случайной величины.

Пример 1. Случайная величина β - угол скольжения самолета в мо­мент сбрасывания бомбы '). Произведено 20 бомбометаний, в каждом из ко­торых зарегистрирован угол скольжения β в тысячных долях радиана. Результаты наблюдений сведены в простой статистический ряд:

i	βi	i	βi	i	βi
1	—20	8	—30	15	—10
2	—60	9	120	16	20
3	—10	10	—100	17	30
4	30	11	—80	18	—80
5	60	12	20	19	60
6	70	13	40	20	70
7	—10	14	—60

Простой статистический ряд представляет собой первичную форму записи статистического материала и может быть обработан различными способами. Одним из способов такой обработки является построение статистической функции распределения случайной величины.

Статистической функцией распределения случайной вели­чины X называется частота события X < х в данном стати­стическом материале:

F*(х) = Р*(Х<х). (7.2.1)

Для того чтобы найти значение статистической функции распре­деления при данном х, достаточно подсчитать число опытов, в ко­торых величина X приняла значение, меньшее чем х, и разделить на общее число п произведенных опытов.

Пример 2. Построить статистическую функцию распределения для случайной величины р, рассмотренной в предыдущем примере2).

') Под углом скольжения подразумевается угол, составленный вектором скорости и плоскостью симметрии самолета.

2) Здесь и во многих случаях далее, при рассмотрении конкретных прак­тических примеров, мы не будем строго придерживаться правила — обозна­чать случайные величины большими буквами, а их возможные значения — соответствующими малыми буквами. Если это не может привести к недора­зумениям, мы в ряде случаев будем обозначать случайную величину и ее возможное значение одной и той же буквой.

Решение. Так как наименьшее наблюденное значение величины равно

—100, то F (—100) = 0. Значение —100 наблюдено один раз, его частота

равна ; следовательно, в точке —100 F* (β) имеет скачок, равный

В промежутке от —100 до — 80 функция F*( β) имеет значение ; в точке

—80 происходит скачок функции F* (β) на так как значение — 80 на­блюдено

дважды, и т. д.

График статистической функции распределения величины представлен на рис. 7.2.1.

Статистическая функция распределения любой случайной вели­чины— прерывной или непрерывной — представляет собой прерывную ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют наблюденным значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. Если каждое отдельное значение случайной величины X было наблюдено только один раз, скачок статистической функции

распределения в каждом наблюденном значении равен , где n —

число наблюдений.

При увеличении числа опытов п, согласно теореме Бернулли, при любом jc частота события X < х приближается (сходится по вероят­ности) к вероятности этого события. Следовательно, при увеличе­нии п статистическая функция распределения F* (х) приближается (сходится по вероятности) к подлинной функции распределения F (х) случайной величины X.