Задачи и ответы (стр. 2 )

Задача Б-1-1. Двухбуквенные палиндромы.	Указание к решению. Для выбора каждой из первых трёх букв есть две возможности. Последние две буквы определяются по соображениям симметрии.
Задача Б-2-1. Чередуются, повторяясь.	Указание к решению. Возможны два вида чередования: начиная с гласной или согласной буквы. Для выбора каждой из двух гласных есть 9 вариантов, для выбора каждой из двух согласных – 21.
Задача Б-3-1. Чередуются, не повторяясь.	Указание к решению. Возможны два вида чередования: начиная с согласной или гласной буквы. В первом случае для выбора первой согласной есть 21 вариант, для выбора второй 20, для выбора третьей 19 и т. д..

Задача Б-3-2. Чередующиеся палиндромы.	Указание к решению. Возможны два вида чередования: начиная с согласной или гласной буквы. Достаточно рассмотреть комбинации первых трёх букв, так как остальные определяются по соображениям симметрии.
Задача Б-3-3. ТРОНДХЕЙМ.	Указание к решению. Возможны три вида слов: 1) из 4 согласных; 2) из 3 согласных и гласной; 3) из 2 согласных и 2 гласных.
Задача Б-5-1. РОКОКО.	Указание к решению. Выберем три места из шести для букв «о». Перебёрём все варианты расстановки двух согласных на три места.

ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ

Задача 2-1. Двузначное число не меняется.	Указание к решению. При перестановке цифр двузначное число не изменится, если его цифры равны.
Задача 2-2. Двузначное число уменьшается в 10 раз.	Указание к решению. Из условия следует, что число должно быть кратно 10. С другой стороны, каждое число, кратное 10, при вычёркивании цифры единиц уменьшается в 10 раз.
Задача 2-3. Двузначное число увеличивается в 11 раз.	Указание к решению. Обозначим двузначное число как 10a + b. Тогда условие можно записать в виде 100 + 10a + b = 11(10a + b). Отсюда 10a + b = 11.

Задача 2-4. Двузначное число увеличивается в 5 раз.	Указание к решению. Обозначим двузначное число как 10a + b. Тогда условие можно записать в виде 100 + 10a + b = 5(10a + b). Отсюда 10a + b = 25.
Задача 2-5. Двузначное число увеличивается в 6 раз.	Указание к решению. Обозначим двузначное число как 10a + b. Тогда условие можно записать в виде 400 + 10a + b = 6(10a + b). Отсюда 10a + b = 80.
Задача 2-6. Двузначное число увеличивается в 26 раз.	Указание к решению. Обозначим двузначное число как 10a + b. Тогда условие можно записать в виде 400 + 10a + b = 6(10a + b). Отсюда 10a + b = 16.

Задача 3-1. Трёхзначное число увеличивается в 9 раз.	Указание к решению. Обозначим трёхзначное число как 100a + 10b + с. Тогда условие можно записать в виде 9(100a + 10b + с) = 1000 + 100a + 10b + с. Отсюда 100a + 10b + с = 125.
Задача 3-2. Трёхзначное число увеличивается в 5 раз.	Указание к решению. Обозначим трёхзначное число как 100a + 10b + с. Тогда условие можно записать в виде 5(100a + 10b + с) = 1000 + 100a + 10b + с. Отсюда 100a + 10b + с = 250.
Задача 3-3. Трёхзначное число увеличивается в 21 раз.	Указание к решению. Обозначим трёхзначное число как 100a + 10b + с. Тогда условие можно записать в виде 21(100a + 10b + с) = 6000 + 100a + 10b + с. Отсюда 100a + 10b + с = 300.

Задача 3-4. Трёхзначное число увеличивается в 41 раз.	Указание к решению. Обозначим трёхзначное число как 100a + 10b + с. Тогда условие можно записать в виде 41(100a + 10b + с) = 6000 + 100a + 10b + с. Отсюда 100a + 10b + с = 150.
Задача 3-5. Трёхзначное число уменьшается в 100 раз.	Указание к решению. Из условия следует, что число должно быть кратно 100. С другой стороны, каждое число, кратное 100, при вычёркивании последних двух цифр уменьшается в 100 раз.
Задача 3-6. Трёхзначное число уменьшается в 5 раз.	Указание к решению. Обозначим трёхзначное число как 100a + 10b + с. Тогда условие можно записать в виде 5(10b + с) = 100a + 10b + с. Отсюда 4(10b + с) = 100a. 10b + с = 25a.

Задача 3-7. Трёхзначное число уменьшается в 6 раз.	Указание к решению. Обозначим трёхзначное число как 100a + 10b + с. Тогда условие можно записать в виде 6(10b + с) = 100a + 10b + с. Отсюда 5(10b + с) = 100a. 10b + с = 20a.
Задача 3-8. Трёхзначное число уменьшается в 11 раз.	Указание к решению. Обозначим трёхзначное число как 100a + 10b + с. Тогда условие можно записать в виде 11(10b + с) = 100a + 10b + с. Отсюда 10(10b + с) = 100a. 10b + с = 10a.
Задача 3-9. Трёхзначное число уменьшается в 21 раз.	Указание к решению. Обозначим трёхзначное число как 100a + 10b + с. Тогда условие можно записать в виде 21(10b + с) = 100a + 10b + с. Отсюда 20(10b + с) = 100a. 10b + с = 5a.

Задача 3-10. Трёхзначное число уменьшается в 26 раз.	Указание к решению. Обозначим трёхзначное число как 100a + 10b + с. Тогда условие можно записать в виде 26(10b + с) = 100a + 10b + с. Отсюда 25(10b + с) = 100a. 10b + с = 4a.
Задача 3-11. Трёхзначное число при вычёркивании второй цифры уменьшается в 10 раз.	Указание к решению. Обозначим трёхзначное число как 100a + 10b + с. Тогда условие можно записать в виде 10(10a + с) = 100a + 10b + с. Отсюда 10с = 10b + с.
Задача 4-1. Четырёхзначное число уменьшается в 6 раз.	Указание к решению. Обозначим четырёхзначное число как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда условие можно записать в виде 6(100b + 10с + d) = 1000a + 100b + 10с + d. Отсюда 5(100b + 10с + d) = 1000a. 100b + 10с + d = 200a.

Задача 4-2. Четырёхзначное число уменьшается в 5 раз.	Указание к решению. Обозначим четырёхзначное число как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда условие можно записать в виде 5(100b + 10с + d) = 1000a + 100b + 10с + d. Отсюда 4(100b + 10с + d) = 1000a. 100b + 10с + d = 250a.
Задача 4-3. Четырёхзначное число уменьшается в 9 раз.	Указание к решению. Обозначим четырёхзначное число как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда условие можно записать в виде 9(100b + 10с + d) = 1000a + 100b + 10с + d. Отсюда 8(100b + 10с + d) = 1000a. 100b + 10с + d = 125a.
Задача 4-4. Четырёхзначное число уменьшается в 11 раз.	Указание к решению. Обозначим четырёхзначное число как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда условие можно записать в виде 11(100b + 10с + d) = 1000a + 100b + 10с + d. Отсюда 10(100b + 10с + d) = 1000a. 100b + 10с + d = 100a.

Задача 4-5. Четырёхзначное число уменьшается в 21 раз.	Указание к решению. Обозначим четырёхзначное число как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда условие можно записать в виде 21(100b + 10с + d) = 1000a + 100b + 10с + d. Отсюда 20(100b + 10с + d) = 1000a. 100b + 10с + d = 50a.
Задача 4-6. Четырёхзначное число уменьшается в 51 раз.	Указание к решению. Обозначим четырёхзначное число как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда условие можно записать в виде 51(100b + 10с + d) = 1000a + 100b + 10с + d. Отсюда 50(100b + 10с + d) = 1000a. 100b + 10с + d = 20a.
Задача 4-7. Четырёхзначное число увеличивается в 3 раза.	Указание к решению. Обозначим четырёхзначное число как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда условие можно записать в виде 3(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000 + 1000a + 100b + 10с + d. Отсюда 2(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000.

Задача 4-8. Четырёхзначное число увеличивается в 5 раз.	Указание к решению. Обозначим четырёхзначное число как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда условие можно записать в виде 5(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000 + 1000a + 100b + 10с + d. Отсюда 4(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000.
Задача 4-9. Четырёхзначное число увеличивается в 6 раз.	Указание к решению. Обозначим четырёхзначное число как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда условие можно записать в виде 6(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000 + 1000a + 100b + 10с + d. Отсюда 5(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000.
Задача 4-10. Четырёхзначное число увеличивается в 9 раз.	Указание к решению. Обозначим четырёхзначное число как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда условие можно записать в виде 9(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000 + 1000a + 100b + 10с + d. Отсюда 8(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000.

Задача 4-11. Четырёхзначное число увеличивается в 5 раз.

Указание к решению. Обозначим четырёхзначное число как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда условие можно записать в виде 11(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000 + 1000a + 100b + 10с + d. Отсюда 10(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000.

АРИФМЕТИКА ОСТАТКОВ