Задачи и ответы (стр. 1 )

ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ

ЗАДАЧИ НА КАРТАХ

Задача 1-1. Сколько дам, столько и червей.	Указание к решению. В наборе обязательно есть дама червей. Для выбора дам есть 2 варианта. Для выбора двух оставшихся карт червовой масти остаётся 8 карт (кроме дамы червей).
*Задача 1-2. Десяток и чёрных больше половины.	Указание к решению. Комбинации можно разделить на 4 группы: 1) в наборе четыре десятки и одна чёрная карта; 2) в наборе три десятки, из них две чёрных, одна красная, а две остальные карты имеют разный цвет; 3) в наборе три десятки, из них две чёрных, одна красная, а две остальные карты чёрные; 4) в наборе три десятки, из них одна чёрная, две красные, а две остальные карты чёрные.
Задача 1-3. Всего по две.	Указание к решению. Выбор масти для тузов можно сделать тремя способами. При этом выбор масти для королей можно сделать двумя способами (нельзя использовать те же масти, что для тузов). Для дам остаются неиспользованные масти.

Задача 2-1. Одна из двух красная.	Указание к решению. Комбинации можно разделить на 2 группы: 1) в наборе четыре одна красная и одна чёрная карта; 2) в наборе две красных карты.
Задача 2-2. Есть чёрные, есть красные.	Указание к решению. Найти искомое число можно вычитанием из общего числа наборов число наборов, в которых есть только красные или только чёрные карты.
Задача 3-1. Одна из двух красная, другая пиковая.	Указание к решению. Для выбора пиковой масти есть 9 вариантов, для выбора красной 18.

Задача 3-2. Туз бубен и дама.	Указание к решению. Для выбора дамы есть 4 варианта. Для выбора оставшейся карты есть 31 вариант (кроме туза бубен и дам).
Задача 3-3. Три туза.	Указание к решению. Три туза можно выбрать 4 способами, а для выбора двух оставшихся можно взять любые две, кроме тузов.
Задача 3-4. Всех мастей по одной.	Указание к решению. Карту каждой масти можно выбрать 9 способами.

Задача 4-1. Все чёрные.	Указание к решению. Все пять карт выбираются из 18 возможных карт чёрного цвета.
Задача 4-2. Все бубны.	Указание к решению. Все пять карт выбираются из 9 возможных карт бубновой масти.
Задача 4-3. Все красные и валет бубен.	Указание к решению. Все пять карт выбираются из 17 возможных карт красной масти (исключая валет бубен).

Задача 4-4. Дама и король червей.	Указание к решению. Все пять карт выбираются из 28 возможных карт (исключая королей и дам).
Задача 4-5. Ни одной пики.	Указание к решению. Все четыре карты выбираются из 27 возможных карт (исключая карты пиковой масти).
Задача 4-6. Ни одной картинки.	Указание к решению. Все пять карт выбираются из 20 возможных карт (исключая «картинки»).

Задача 4-7. Нет туза.	Указание к решению. Все пять карт выбираются из 32 возможных карт (исключая тузов).
Задача 5-1. Три бубны, остальные чёрные.	Указание к решению. Три карты бубновой масти выбираются из 9 возможных, а оставшиеся две чёрных из 18 возможных.
Задача 5-2. Нет пик, остальных поровну.	Указание к решению. Две карты одной масти выбираем из 9 возможных карт, а три пары карт одной масти комбинируются между собой.

Задача 6-1. Есть все картинки.	Указание к решению. Все комбинации разобьём на два вида: 1) у которых пятая карта не является картинкой; 2) у которых пятая карта является картинкой.
Задача 6-2. Красных больше половины.	Указание к решению. Все комбинации разобьём на три вида: 1) у которых три красных карты; 2) у которых четыре красных карты; 3) у которых пять красных карт.
Задача 6-3. Королей больше чем дам.	Указание к решению. Все комбинации разобьём на три вида: 1) у которых три дамы и два короля; 2) у которых три дамы и один король; 3) у которых четыре дамы и один король.

Задача 6-4. Две чёрных и два туза.

Указание к решению. Все комбинации разобьём на три вида: 1) у которых два чёрных туза; 2) у которых один чёрный и один красный туз; 3 у которых два красных туза.

ЗАДАЧИ НА ЧИСЛАХ

Задача Ч-1-1. Каждая - сумма следующих.	Указание к решению. Последние две цифры всегда одинаковы, а первая равна их сумме.
Задача Ч-2-1. Трёхзначные восьмеричные числа.	Указание к решению. Первая цифра может принимать 7 значений (кроме 0), а каждая из двух остальных цифр 8 значений.
Задача Ч-2-2. Цифры разные.	Указание к решению. Первая цифра может принимать 9 значений (кроме 0), вторая также 9 (любая из десяти, кроме той, которая уже использована на первом месте), третья – 8 и т. д.

Задача Ч-2-3. Соседние разные.	Указание к решению. Первая цифра может принимать 8 значений (любая цифра из девяти, кроме 0), вторая также 8 (любая из девяти, кроме той, которая уже использована на первом месте), третья – 8 и т. д.
Задача Ч-4-1. Цифры убывают.	Указание к решению. Поскольку цифры упорядочены и различны, достаточно выбрать любые пять цифр из десяти и построить из них число.
Задача Ч-4-2. Цифры возрастают.	Указание к решению. Поскольку цифры упорядочены и различны, достаточно выбрать любые пять цифр из девяти и построить из них число. Ноль нельзя использовать, так как число не может начинаться с нуля.

Задача Ч-6-1. Первая - больше.	Указание к решению. Все комбинации разобьём на девять видов: 1) начинающиеся с 1 – такое число одно 10000; 2) начинающиеся с 2 – остальные цифры могут принимать два значения 0 или 1; и т. д.
Задача Ч-6-2. Первая - меньше.	Указание к решению. Все комбинации разобьём на восемь видов: 1) начинающиеся с 1 – каждая из остальных цифр может принимать восемь значений от 2 до 9; 2) начинающиеся с 2 – каждая из остальных цифр может принимать семь значений от 3 до 9 и т. д.
*Задача Ч-8-1. Первая - не больше.	Указание к решению. Каждую комбинацию можно закодировать набором из нулей и единиц: Например, комбинация на рисунке кодируется набором: 11001101101100. Единицы – разделители, нули соответствуют отдельным цифрам. До первой единицы стоят нули, соответствующие цифрам «1» (в нашем числе их нет), между первой и второй единицей стоят нули, соответствующие цифрам «2» (их тоже нет), между следующими единицами стоят нули, соответствующие цифрам «3» (их у нас две) и т. д.

*Задача Ч-8-2. Первая - не меньше.	Указание к решению. Каждую комбинацию можно закодировать набором из нулей и единиц: Например, комбинация на рисунке кодируется набором: 10001111111001. Единицы – разделители, нули соответствуют отдельным цифрам. До первой единицы стоят нули, соответствующие цифрам «9» (в нашем числе их нет), между первой и второй единицей стоят нули, соответствующие цифрам «8» (их у нас три) и т. д. При этом набор 00000 числом не является.
*Задача Ч-8-3. Первая равна сумме остальных.	Указание к решению. Построим взаимно однозначное соответствие с другим множеством комбинаций: если заменить первую цифру дополнением до 9, то сумма цифр числа будет равна 9. В нашем примере это число 22041. Такие числа модно закодировать бинарными наборами. Для нашего примера набор 0010011000010. Количество нулей соответствуют цифрам числа.
*Задача Ч-8-4. [1]+[2]= [3]+[4].	Указание к решению. Построим взаимно однозначное соответствие с другим множеством комбинаций: если заменить первые две цифры дополнениями до 9, то сумма цифр числа будет равна 18. В нашем примере это число 7434. Такие числа модно закодировать бинарными наборами. Для нашего примера набор 00100000100010000. Количество нулей соответствуют цифрам числа. Нужно учесть, что цифры не могут быть больше 9.

*Задача Ч-8-5. Счастливые билеты.

Указание к решению. Построим взаимно однозначное соответствие с другим множеством комбинаций: если заменить первые три цифры дополнениями до 9, то сумма цифр числа будет равна 27. В нашем примере это число 724806. Такие числа модно закодировать бинарными наборами. Для нашего примера набор 001000000010000010000000011000000. Количество нулей соответствуют цифрам числа. Нужно учесть, что цифры не могут быть больше 9.

Задача Ч-8-6. Счастливые по-питерски и по-московски.

Указание к решению. Можно доказать, что все счастливые по-питерски билеты, у которых 2-ая и 5-ая одинаковы, счастливы и по-московски. Задача сводится к счастливым билетам из 4 цифр, в которые можно вставить два раза любую из 10 цифр.

ЗАДАЧИ НА СЛОВАХ