Задачи и ответы (стр. 3 )

Задача 1-1. Остаток от деления 120 на 11.	Указание к решению. 120 = 110 + 10.
Задача 1-2. Остаток от деления 2008 на 13.	Указание к решению. Число 1300 + 650 кратно 13.
Задача 1-3. Остаток от деления 7*99999-2 на 7.	Указание к решению. Уменьшаемое кратно 7.

Задача 1-4. Остаток от деления 6*7777+5 на 3.	Указание к решению. Первое слагаемое делится на 3.
Задача 1-5. Остаток от деления 4*88+3 на 2*88.	Указание к решению. Число 4 * 88 кратно числу 2 * 88.
Задача 1-6. Остаток от деления 220 на 3.	Указание к решению. Найдите остатки от деления на 3 нескольких первых степеней числа 2.

Задача 1-7. Остаток от деления 6*7777+5 на 3.	Указание к решению. Найдите остатки от деления на 3 нескольких первых степеней числа 5.
Задача 1-8. Остаток от деления 58 + 224 на 3.	Указание к решению. Найдите остатки от деления на 3 каждого из двух слагаемых.
Задача 1-9. Остаток от деления 316 на 4.	Указание к решению. Найдите остатки от деления на 4 нескольких первых степеней числа 3.

Задача 1-10. Остаток от деления 56 на 4.	Указание к решению. Найдите остатки от деления на 4 нескольких первых степеней числа 5.
Задача 1-11. Остаток от деления 58 + 312 на 4.	Указание к решению. Найдите остатки от деления на 4 каждого из двух слагаемых.
Задача 1-12. Остаток от деления 418 на 5.	Указание к решению. Найдите остатки от деления на 5 нескольких первых степеней числа 4.

Задача 1-13. Остаток от деления 216 на 5.	Указание к решению. Найдите остатки от деления на 5 нескольких первых степеней числа 2.
Задача 1-14. Остаток от деления 77 на 10.	Указание к решению. Найдите последнюю цифру для нескольких первых степеней числа 7.
Задача 1-15. Остаток от деления 116 + 146 на 10.	Указание к решению. Найдите последнюю цифру каждого из слагаемых.

КОЛИЧЕСТВО РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ.

Задача 1.	Указание к решению. Нетрудно заметить, что эта задача эквивалентна задаче о разбиении 25 шаров по 5 коробкам, когда в каждой коробке есть хотя бы один шар. Эта задача в свою очередь эквивалентна задаче о расстановке между 25 шарами 4 перегородок. Перегородок 4, возможных мест для них 25, значит ответ С(24,4)
Задача 2.	Указание к решению. Эта задача эквивалентна задаче о разбиении 20 шаров по 5 коробкам, когда допустимы пустые коробки. Эта задача в свою очередь эквивалентна задаче о расстановке 20 шаров и 4 перегородок. Из 24 предметов 4 должны быть перегородками, значит, ответ С(24,4)
Задача 3.	Указание к решению. Эта задача сводится к задаче, аналогичной одной из двух предыдущих, при помощи замены переменных. Например, положив , получаем уравнение y1 + y2 + y3 + y4 = 33, где- натуральные числа.

Задача 4.	Указание к решению. Эта задача решается при помощи аналогичной замены: . Получаем уравнение y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 = 11, где - натуральные числа.
Задача 5.	Указание к решению. Давайте заметим, что если целое число больше четырех, то оно не превосходит пяти. Значит, эта задача может решаться аналогично двум предыдущим. Однако гораздо проще заметить, что среди три числа 5 и одно число 6.
Задача 6.	Указание к решению. После замены получаем уравнение y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = 19.

Задача 7.	Указание к решению. Количество решений этого уравнения – это количество решений уравнения без ограничения на минус количество решений уравнения при условии > 12.
Задача 8.	Указание к решению. Из количества решений уравнения без дополнительных ограничений на переменные надо вычесть количество решений уравнения, где одна из переменных хотя бы 10. Количество способов выбрать эту переменную – С(5,1) умножается на количество решений где фиксированная переменная хотя бы 10. Но, считая таким образом, мы два раза вычли те решения, у которых две переменные хотя бы 10. Значит, их надо добавить обратно. На этом формула заканчивается, потому что решений, где хотя бы три переменные слишком большие, не бывает.
Задача 9.	Указание к решению. Из количества решений уравнения без дополнительных ограничений на переменные надо вычесть количество решений уравнения, в которых какая-то из переменных больше соответствующей константы. При этом те решения, у которых две переменные больше своих констант, вычтутся два раза. Значит, их надо прибавить обратно.

ИНДЕКСАЦИЯ СЛОВ

Задача 1. Номер слова (буквы могут повторяться).

Указание к решению. Каждому 5-буквенному слову в данном алфавите соответствует не более чем пятизначное число в троичной системе счисления. Соотвестствие достигается заменой буквы а на 0, б на 1 в на 2. Слову аббав таким образом соответствует троичное число 1102, которое при переводе в десятичную систему превращается в 1´33+1´32+0´31+2´30=38. Это тридцать девятое число, если считать от нуля, который соотвествует слову ааааа.

Задача 2. Индексация палиндромов

Указание к решению. Палиндром целиком определяется своей первой половиной, в данном случае — ваб. Каждому трехбуквенному слову в данном алфавите соответствует не более чем трехзначное число в 4-чной системе счисления. Соотвестствие достигается заменой буквы а на 0, б на 1 в на 2, г на 3. Слову ваб таким образом соответствует 4-чное число 201, которое при переводе в десятичную систему превращается в 2´42+0´41+1´40 = 33. Это тридцать девятое число, если считать от нуля, который соотвествует слову ааа.

Задача 3. Гласные и согласные чередуются.

Указание к решеню. Все слова, которые начинаются на гласную о, идут по алфавиту позже слова молоко. Среди оставшихся слово молоко занимает такое же место, как слово млк в алфавите из букв м, л, к. Каждому трехбуквенному слову в данном алфавите соответствует не более чем трехзначное число в троичной системе счисления. Соответствие достигается заменой буквы м на 0, л на 1, к на 2. Слову млк таким образом соответствует троичное число 210, которое при переводе в десятичную систему превращается в 2´32+1´31+0´30=21. Это двадцать второе число, если считать от нуля, который соответствует слову ккк.

Задача 4. После каждой гласной идет согласная.

Указание к решению. Все слова, предшествующие слову абзац, начинаются на аб. Слов, начинающихся на аба среди них , начинающихся на абб -(из всех таких слов вычитаем кончающиеся на а); кроме того есть еще слова абзаб и абзаз. Таким образом, слово абзац имеет номер 9+12+2+1=24.

Задача 5. Согласных меньше, чем гласных.

Указание к решению. Согласных в рассматриваемых словах либо 1, либо нет вообще. Слову аура предшествуют 4 слова начинающихся на аа без согласных, 3´2´2 = 12 слов на аа с одной согласной, по 4 слова на аб, аз и ар, 5 слов на ауа, слова ауба, аубу, ауза, аузу. Всего 37 слов, значит, аура - номер 38.

Задача 6. Согласных больше, чем гласных.

Указание к решению. Рассмотрим слова из нашего множества, предшествующие слову арбуз. Первая буква у них обязательно а, кроме нее может быть еще не больше одной. Слов, начинающихся на аа –(3 способа выбрать каждую из оставшихся букв); слов на аб и аз без второй гласной – также по 27; слов на аб и аз со второй гласной – по 2´3´32 (2 способа выбрать гласную, 3 способа выбрать место для нее и 9 способов выбрать остальные две буквы); слов на ара –; слов на арб –(из 25 слов на арб надо вычесть 4 слова, оканчивающиеся на 2 гласные, а также слово арбур, которое идет после слова арбуз). Сложив эти числа, получаем ответ