Тема урока: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Тема урока: Системы уравнений как математические модели реальных    ситуаций.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели урока: 1) образовательная: совершенствование умения решать задачи с помощью систем уравнений в три этапа математического моделирования;

2) воспитательная: интереса к предмету через межпредметные связи с геометрией и историей;

3) развивающая: развитие  устной и письменной речи, внимания и логического мышления, самостоятельности, способности выбирать оптимальный способ решения задачи.

Оборудование: карточки для индивидуальной работы - тексты задач, портреты Фибоначчи, Диофанта, Пифагора.

Ход урока

1.Приветствие учащихся и гостей

2.Сообщение темы и цели урока

Сегодня на уроке мы рассмотрим системы уравнений как математические модели реальных ситуаций на примерах решения конкретных задач. А начнем с задачи возраст которой около 1800 лет (3 век н. э.) Это задача Диофанта. Вы уже слышали это имя, а потому у меня к вам есть несколько вопросов:

Актуализация опорных знаний:

(Диофа́нтовы уравне́ния — алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Термин получил название в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского. также диофантовы уравнения называются неопределенными уравнениями.)

1.Приведите примеры неопределенных уравнений.

2.Каким способом можно решить эти уравнения?

3.Закончите фразу: «Решением уравнения с двумя переменными является…»

4.Является ли решением уравнения х+2у=5 пара чисел: а) (0;1) б) (3;-1) в) (-1;3) ?

5.Найдите решение каждого уравнения: 3х – 4у = 1 и 2х + у = 8. Как найти общее решение?

Является ли решением этой системы уравнений ,

пара чисел: а) х=1, у=6 б)х=3, у=2 ?

1. Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

(пара чисел, которые при постановке в эту систему превращают каждое ее уравнение в верное равенство).

2. Что значит “решить систему уравнений с двумя переменными?

(найти все ее решения или установить, что их нет).

Карточка 1. Является ли пара чисел решением системы.

№ 1	№ 2	№ 3	№ 4

Основная часть урока: 1.Составить математическую модель задачи. 2.Решить задачу.   уравнений, т. е. составлением математической модели задачи. Такое решение состоит из трех этапов:  1.   построение математической модели   (обозначить через x и y          неизвестные величины);  2.   составление системы двух уравнений;  3.   решение системы и нахождение ответа к задаче.          Множество задач можно решить путем составления систем двух  Учитель: перейдем к заявленной задаче Диофанта: В целях рационального использования урочного времени вы получили текст задачи. Внимательно ознакомьтесь с ним. (Задача Диофанта 3 век) Найдите два числа, отношение которых равно 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5. Вопрос: 1) Что известно в задаче? 2) С чего начнем решение? Пусть х – одно число, у – другое число. Тогда =3 и = 5 составим систему уравнений = 5 Преобразуем: х = 3у х2 +у2 =5(х + у) ( 3у)2 + у2 = 15у +5у 10у = 20 у = 2, х = 6 В процессе решения задачи мы составили математическую модель задачи (систему уравнений) и решили задачу. А сейчас перенесемся на 1000лет и посмотрим какие задачи решали в 13 веке: Задача Фибоначчи (13 век). Две башни в равнине находятся на расстоянии 60 локтей одна от другой. Высота одной 50 локтей, другой – 40 локтей. Между башнями находится колодец, одинаково удаленный от вершин обеих башен. Спрашивается: как далеко находится колодец от основания каждой башни? ( Указание: сделайте рисунок и попробуйте составить математическую модель задачи. (локоть – старинная мера длины = 40 см)). Один ученик выполняет у доски. Составим математическую модель задачи: х – расстояние АВ, у – ВС, тогда из условия задачи следует: х + у = 60 х2 + 402 = у2 + 502 ( по теореме Пифагора) Задача решается параллельно: 1) в метрах 2) в локтях х= 60 – у (6о –у)2 + 402 = у2 + 2500 подстановка (60 – у)2 + 1600 = у2 + 2500 3600 -120у + у2 + 1600 = у2 +2500 5200– 2500 = 120у 2700 = 120у у = 22,5 х = 60 – 22,5 = 37,5 Задача №3. Благодаря применению в фермерском хозяйстве новых технологий урожайность гречихи возросла на 4 ц с 1 га. В результате было собрано не 147 ц, как в прошлом году, а на 3 ц больше, хотя под гречиху отвели на 1 га меньше. Какова была урожайность гречихи с одного га в прошлом и текущем году и какая площадь была отведена в эти годы в хозяйстве под гречиху? Совместный разбор условия задачи, установление зависимостей и связей между величинами - составление математической модели задачи: х ц. - урожайность, у га – площадь в прошлом году, первое уравнение х* у = 147 второе уравнение (х + 4)*(у – 1) = 150. Решение учащиеся выполняют самостоятельно, учитель оказывает необходимую помощь. Подведение итогов урока, оценки комментируются. Рефлексия. Закончите предложение: Сегодня на уроке мне понравилось……. Сегодня на уроке я узнал……… Сегодня на уроке я научился……. Какие виды работы мы использовали? Для домашнего задания предлагаю учащимся задачу, ответ соответствует возрасту Диофанта: Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей.