XIII Международная олимпиада «Эрудит. Осень - зима 2015»
Математика
. 4 класс. МБОУ «СОШ №22» г. Читы
РЕШЕНИЯ
Задача 1
Для украшения школы к 1 сентября были куплены воздушные шары пяти цветов: красные, жёлтые, синие, белые и зелёные. На гирлянду над входом в школу израсходовали по 20 красных, с
иних и белых шаров. Остальными украсили актовый зал. Сколько всего было куплено шаров, если известно, что шаров каждого цвета было куплено одинаковое количество, а после того, как украсили вход в школу, красных, синих и белых шаров осталось столько же, сколько жёлтых и зелёных шаров вместе взятых?
Решение:
Пусть Ккш = Кжш = Ксш = Кбш = Кзш = х шаров, где К-количество купленных красных, желтых, синих, белых и зеленых шаров соответственно. Тогда всего куплено 5х шаров. Если 20 красных шаров израсходовали на гирлянду, то (х-20) красных шаров осталось, аналогично с синими и белыми шарами. Зная, что красных, синих и белых шаров осталось столько же, сколько жёлтых и зелёных шаров вместе взятых, составим уравнение 2х=3(х-20). Тогда 2х=3х-60 и х=60. Значит, было куплено по 60 шаров каждого цвета, а всего куплено 60*5=300 шаров.
Ответ: всего было куплено 300 шаров.
Задача 2
На торжественной линейке самыми нарядными были 45 первоклассников. Каждому первокласснику подарили поздравительную открытку, ручку и карандаш. Сколько рублей ушло на покупку подарка для первоклассников и сколько стоит ручка, открытка и карандаш в отдельности, если известно:
1) за одну открытку, ручку, и девять карандашей заплатили 36 рублей;
2) две ручки стоят столько же, сколько одна открытка и четыре карандаша вместе взятые;
3) цена каждого предмета – число натуральное?
Решение:
По условию задачи О + Р + 9К = 36 руб. и 2Р = О + 4К, тогда О = 2Р - 4К. Подставив в первое уравнение, получаем 2Р - 4К + Р + 9К = 36 руб. или
3Р + 5К = 36 руб. Зная, что цена каждого предмета число натуральное, используем подбор:
Цена одного карандаша (руб) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Цена пяти карандашей (руб) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
Цена трёх ручек (руб) | 31 | 26 | 21 | 16 | 11 | 6 |
Цена одной ручки (руб) | 10,3 | 8,7 | 7 | 5,3 | 2,2 | 2 |
Примечание | не уд. условию задачи | не уд. условию задачи | натуральное число | не уд. условию задачи | не уд. условию задачи | натуральное число |
Если карандаш стоит 3 рубля, а ручка – 7 рублей, тогда открытка стоит
О = 2*7 – 4*3 = 14 – 12 = 2 рубля.
Если карандаш стоит 6 рублей, а ручка – 2 рубля, тогда уравнение О = 2Р - 4К не имеет решения в рамках натуральных чисел.
Зная, что на линейке было 45 первоклассников, вычислим стоимость подарков
45(3 + 7+ 2) = 45*12 = 540 рублей.
Ответ: на покупку подарков ушло 540 руб.; цена карандаша 3 руб., ручки – 7 руб., открытки – 2 руб
Задача 3
Ученики четвертых классов подготовили праздничный концерт для первоклассников. На празднике было много песен, танцев и веселых конкурсов.
Сколько четвероклассников не принимало участие в концерте, если известно, что 32 четвероклассника пели в хоре, 27 четвероклассников танцевали, 22 четвероклассника принимали участие в конкурсах, 10 ребят из хора – танцевали, 6 ребят из хора принимали участие в конкурсах, 8 танцоров принимали участие в конкурсах, 3 танцора принимали участие в конкурсах и пели в хоре?
Сколько четвероклассников принимали участие только в конкурсах? Всего в четвертых классах учится 75 учеников.
Решение:
Представим условие задачи на диаграмме (рис.1). Наглядно видно, что только в конкурсах принимали участие 5 четвероклассников.
|
32+5+8+6 = 51 учеников (всего участвовало в концерте)
75 – 51 = 24 ученика
Ответ: 24 четвероклассника не принимали участия в концерте; только в конкурсах приняло участие 5 учеников.
Задача 4
В конце праздничного вечера первоклассникам предложили решить очень сложную задачу. На сцену вышли три мальчика. У каждого в руках была коробка, а на голове - колпак.
Первый мальчик с красной коробкой и в красном колпаке сказал: «Подарок в красной коробке». Второй мальчик в синем колпаке и с синей коробкой сказал: «Первый мальчик солгал. Подарок в синей коробке». Третий мальчик в зеленом колпаке с зеленой коробкой сказал: «Первый мальчик солгал. Второй мальчик оба раза солгал. Подарок в зеленой коробке».
«Отгадайте, в какой коробке находится подарок, и имя каждого мальчика, если известно, что Гриша всегда лжет, Витя всегда говорит правду, а Саша чередует правду и ложь, начиная либо с правды, либо со лжи», – сказал ведущий.
Помогите первоклассникам справиться с заданием, ответ обоснуйте.
Решение:
Предположим, что третьего мальчика зовут Саша и значит, он чередует правду и ложь, начиная либо с правды, либо со лжи. Пусть сначала он сказал ложь («первый мальчик солгал», тогда первый мальчик не лгал и подарок в красной коробке), а потом сказал правду («второй мальчик оба раза солгал», тогда первый мальчик не лгал, подарка в синей коробке нет), потом опять сказал ложь («подарок в зеленой коробке», т. е. подарка в зеленой коробке нет). Таким образом, предположение верно. Значит подарок в красной коробке, первый мальчик сказал правду и его зовут Витя. Тогда второго мальчика с синей коробкой зовут Гриша.
Ответ: подарок в красной коробке; первого мальчика зовут Витя, второго – Гриша, третьего – Саша
Задача 5
На хозяйственной части школьного двора стояли большие весы. Они показывали вес предметов тяжелее 60 килограммов. Четыре подружки Маша, Таня, Света и Лена решили узнать свой вес. Но весы показывали вес только тогда, когда на них вставали или три или все четыре девочки. В результате они выяснили, что Маша, Таня и Света вместе весят 82 кг; Маша, Таня и Лена – 84 кг; Маша, Лена и Света – 80 кг; Лена, Таня и Света – 81 кг.
Сколько килограммов весит каждая девочка?
Решение:
По условию задачи
1) М + Т + С = 82 кг, М + Т + Л = 84 кг, тогда М + Т = 82 – С, М + Т = 84 – Л, значит 82 – С = 84 – Л и
(С = Л - 2) Света меньше Лены на 2 кг
2) М + Л + С = 80, М + Т + С = 82 кг, тогда М + С = 80 – Л, М + С = 82 – Т, значит 80 – Л = 82 – Т и
(Т = Л + 2) Таня больше Лены на 2 кг
3) М + Т + С = 82 кг, Л + Т + С = 81 кг, тогда Т + С = 82 – М, Т + С = 81 – Л, значит 82 – М = 81 – Л и
(М = Л + 1) Маша больше Лены на 1 кг
Полученные равенства подставим в выражение М + Т + С = 82 кг, получаем
(Л + 1)+ (Л + 2)+ (Л - 2) = 82 кг, тогда 3Л = 81 кг и Лена весит 27 кг.
Значит Света весит 25 кг, Таня – 29 кг, Маша – 28 кг.
Ответ: Лена весит 27 кг, Света – 25 кг, Таня – 29 кг, Маша – 28 кг.
Задача 6
В семье Светлановых четыре ученицы. Аня учится в первом классе, Ира - во втором, Таня – в третьем и Катя – в четвертом классе. На 1 сентября мама купила девочкам торт с вишенками и поделила его на четыре равные по форме части так, что первокласснице достался кусочек с одной вишенкой, второкласснице – с двумя вишенками, третьекласснице – с тремя вишенками, а четверокласснице с четырьмя вишенками. 
Покажите, как мама разрезала торт.
Ответ:
® | ® | ||
® | ® | ® | |
® | ® | ® | |
® | ® |
