XIII Международная олимпиада «Эрудит. Осень - зима 2015»
Математика
Задания
Максимальное количество баллов – 30 баллов
Задача 1
Для украшения школы к 1 сентябрю были куплены воздушные шары пяти цветов: красные, жёлтые, синие, белые и зелёные. На гирлянду над входом в школу израсходовали по 20 красных, с
иних и белых шаров. Остальными украсили актовый зал. Сколько всего было куплено шаров, если известно, что шаров каждого цвета было куплено одинаковое количество, а после того, как украсили вход в школу, красных, синих и белых шаров осталось столько же, сколько жёлтых и зелёных шаров вместе взятых?
Решение задачи 1
Возьмём за «х» - сколько куплено шаров каждого цвета
2х - это сколько было желтых и зеленых шаров изначально
3(х-20) - это сколько осталось красных, синих и белых после украшения входа в школу
Составим уравнение:
3(х-20)=2х
Решаем это уравнение:
3х-2х = 60
х=60
60 шаров каждого цвета было куплено
60*5 = 300 – всего шаров было куплено
Ответ: 60 шаров каждого цвета было куплено, всего 300 штук.
Задача 2
На торжественной линейке самыми нарядными были 45 первоклассников. Каждому первокласснику подарили поздравительную открытку, ручку и карандаш. Сколько рублей ушло на покупку подарка для первоклассников и сколько стоит ручка, открытка и карандаш в отдельности, если известно:
1) за одну открытку, ручку, и девять карандашей заплатили 36 рублей;
2) две ручки стоят столько же, сколько одна открытка и четыре карандаша вместе взятые;
3) цена каждого предмета – число натуральное?
Решение задачи 2
О-открытка, Р-ручка, К - карандаш.
О+Р+9К=36, допустим, что карандаш стоит 1 рубль,
О+Р=27(рублей)
Допустим, что карандаш стоит 2 рубля,
О+Р+9·2=36, О+Р=18(рублей)
Допустим, что карандаш стоит 3 рубля,
О+Р+9·3=36
О+Р=9 рублей
Допустить, что карандаш стоит 4 рубля невозможно, в таком случае карандаш и ручка достались нам бесплатно.
Запишем второе равенство.
2Р=О+4К, перепишем : 2Р-О=4К
Запишем 3 системы уравнений:
1. О+Р=27 2. О+Р=18 3. О+Р=9
2Р-О=4 при К=1 2Р-О=8 при К=2 2Р-О=12 при К=3
3Р=31 3Р=26 3Р =21
из этих систем только последняя делится нацело. Ручка стоит 3 рубля.
Из третьей системы: О+Р=9, О=9-Р=6 рублей
К=3 рубля
Всего учеников 45: 45·(3+3+6)=45·12=540 (рублей)
Ответ: на покупку подарка первоклассников ушло 540 рублей, ручка стоит 2 рубля, открытка стоит 6 рублей, карандаш стоит 3 рубля.
Задача 3
Ученики четвертых классов подготовили праздничный концерт для первоклассников. На празднике было много песен, танцев и веселых конкурсов.
Сколько четвероклассников не принимало участие в концерте, если известно, что 32 четвероклассника пели в хоре, 27 четвероклассников танцевали, 22 четвероклассника принимали участие в конкурсах, 10 ребят из хора – танцевали, 6 ребят из хора принимали участие в конкурсах, 8 танцоров принимали участие в конкурсах, 3 танцора принимали участие в конкурсах и пели в хоре?
Сколько четвероклассников принимали участие только в конкурсах? Всего в четвертых классах учится 75 учеников.
Решение задачи 3
Найдем сколько учеников принимали участие только в хоре:
32-10-3=19 – только пели
Найдем сколько учеников принимали участие только в танцах:
27-10-8=7 – только танцевали
Найдем сколько учеников принимали участие только в конкурсах:
22-6-8=8 – принимали участие только в конкурсах
Найдем сколько учеников было задействовано в концерте, сложим количество всех детей которые только пели, танцевали и участвовали в конкурсах и которые принимали участие не в одном выступлении:
19+7+8+10+6+8=50 – дети, которые были задействованы в концерте
3 – уже были учтены в 8 детях, которые и танцевали и пели
75-50=25 – дети, которые не принимали участие в концерте.
Ответ: не принимали участие в концерте 25 детей, только в конкурсах принимали участие 8 детей.
Задача 4
В конце праздничного вечера первоклассникам предложили решить очень сложную задачу. На сцену вышли три мальчика. У каждого в руках была коробка, а на голове - колпак.
Первый мальчик с красной коробкой и в красном колпаке сказал: «Подарок в красной коробке». Второй мальчик в синем колпаке и с синей коробкой сказал: «Первый мальчик солгал. Подарок в синей коробке». Третий мальчик в зеленом колпаке с зеленой коробкой сказал: «Первый мальчик солгал. Второй мальчик оба раза солгал. Подарок в зеленой коробке».
«Отгадайте, в какой коробке находится подарок, и имя каждого мальчика, если известно, что Гриша всегда лжет, Витя всегда говорит правду, а Саша чередует правду и ложь, начиная либо с правды, либо со лжи», – сказал ведущий.
Помогите первоклассникам справиться с заданием, ответ обоснуйте.
Решение задачи 4
Подарок в зеленой коробке и мальчика зовут Витя, он все время говорил правду, что первый и второй мальчик солгали и подарок в его коробке. Первый мальчик всегда лжет, его зовут Гриша (красная коробка), второй мальчик с синей коробкой его зовут Саша первый раз сказал правду, что Гриша лжет, второй раз солгал, что подарок в его коробке.
Задача 5
На хозяйственной части школьного двора стояли большие весы. Они показывали вес предметов тяжелее 60 килограммов. Четыре подружки Маша, Таня, Света и Лена решили узнать свой вес. Но весы показывали вес только тогда, когда на них вставали или три или все четыре девочки. В результате они выяснили, что Маша, Таня и Света вместе весят 82 кг; Маша, Таня и Лена – 84 кг; Маша, Лена и Света – 80 кг; Лена, Таня и Света – 81 кг.
Сколько килограммов весит каждая девочка?
Решение задачи 5
Из условия видно, что каждая девочка взвешивалась три раза. Значит мы можем найти вес 4 девочек одновременно.
84+81+82+80=327 кг - вес за все взвешивания
327:3-109 кг весят все девочки
С=109-84=25 кг
М=109-81=28 кг
Т=109-80=29 кг
Л=109-82=27 кг
Ответ: Маша весит – 28кг, Таня весит – 29кг, Света весит – 25кг и Лена весит – 27кг.
Задача 6
В семье Светлановых четыре ученицы. Аня учится в первом классе, Ира - во втором, Таня – в третьем и Катя – в четвертом классе. На 1 сентября мама купила девочкам торт с вишенками и поделила его на четыре равные по форме части так, что первокласснице достался кусочек с одной вишенкой, второкласснице – с двумя вишенками, третьекласснице – с тремя вишенками, а четверокласснице с четырьмя вишенками. 
Покажите, как мама разрезала торт.
Решение задачи 6
