XIII Международная олимпиада «Эрудит. Осень - зима 2015»
Математика
Задания
Максимальное количество баллов – 30 баллов
Задача 1
Для украшения школы к 1 сентябрю были куплены воздушные шары пяти цветов: красные, жёлтые, синие, белые и зелёные. На гирлянду над входом в школу израсходовали по 20 красных, с
иних и белых шаров. Остальными украсили актовый зал. Сколько всего было куплено шаров, если известно, что шаров каждого цвета было куплено одинаковое количество, а после того, как украсили вход в школу, красных, синих и белых шаров осталось столько же, сколько жёлтых и зелёных шаров вместе взятых?
Решение:
Предположим, что шаров каждого цвета было куплено х штук, тогда, после изготовления гирлянды осталось по (х-20) белых, красных и синих шаров. (х-20)*3 - всего осталось для украшения зала белых, синих и красных шаров, а 2х – желтые и зеленые шары. Составим и решим уравнение:
(х-20)*3=2х
3х-60=2х
3х-2х=60
Х=60
Значит, было куплено 60 шаров одного цвета, а разновидностей цветов – 5.
60*5=300
Ответ: всего было куплено 300 шаров.
Задача 2
На торжественной линейке самыми нарядными были 45 первоклассников. Каждому первокласснику подарили поздравительную открытку, ручку и карандаш. Сколько рублей ушло на покупку подарка для первоклассников и сколько стоит ручка, открытка и карандаш в отдельности, если известно:
1) за одну открытку, ручку, и девять карандашей заплатили 36 рублей;
2) две ручки стоят столько же, сколько одна открытка и четыре карандаша вместе взятые;
3) цена каждого предмета – число натуральное?
Решение:
О - открытка, Р - ручка, К - карандаш.
Предположим, что карандаш стоит 3 рубля, тогда
О+Р+9*3=36
О+Р=9 рублей
Допустить, что карандаш стоит 4 рубля нельзя, потому что тогда карандаш и ручка ничего бы не стоили (9*4 =36), а этого быть не может.
Так как две ручки стоят столько же, сколько одна открытка и четыре карандаша вместе взятые, то: 2Р=О+4К, перепишем : 2Р-О=4К
О+Р=9
2Р-О=12 (при К=3)
Р=3, О=6
Один набор для первоклассника стоит 3+3+6 = 12рублей
12*45 = 540 руб.
Ответ: на покупку подарков потребовалось 540 рублей, при этом открытка стоит 6 рублей, ручка стоит 3 рубля, карандаш – 3рубля.
Задача 3
Ученики четвертых классов подготовили праздничный концерт для первоклассников. На празднике было много песен, танцев и веселых конкурсов.
Сколько четвероклассников не принимало участие в концерте, если известно, что 32 четвероклассника пели в хоре, 27 четвероклассников танцевали, 22 четвероклассника принимали участие в конкурсах, 10 ребят из хора – танцевали, 6 ребят из хора принимали участие в конкурсах, 8 танцоров принимали участие в конкурсах, 3 танцора принимали участие в конкурсах и пели в хоре?
Сколько четвероклассников принимали участие только в конкурсах? Всего в четвертых классах учится 75 учеников.
Решение:
1) 32-10-3-6 = 13 (четвероклассников только пели в хоре)
2) 27-10-3-8=6 (четвероклассников только танцевали)
3) 22-6-3-8= 5 (четвероклассников только принимали участие в конкурсах)
4) 13+10+3+6+6+8+5 = 51 (четвероклассник принимал участие в концерте)
5) 75 – 51 = 24 (четвероклассника не принимали участия в концерте)
Ответ: 24 четвероклассника не принимали участия в концерте; только в конкурсах участвовали 5 четвероклассников.
Задача 4
В конце праздничного вечера первоклассникам предложили решить очень сложную задачу. На сцену вышли три мальчика. У каждого в руках была коробка, а на голове - колпак.
Первый мальчик с красной коробкой и в красном колпаке сказал: «Подарок в красной коробке». Второй мальчик в синем колпаке и с синей коробкой сказал: «Первый мальчик солгал. Подарок в синей коробке». Третий мальчик в зеленом колпаке с зеленой коробкой сказал: «Первый мальчик солгал. Второй мальчик оба раза солгал. Подарок в зеленой коробке».
«Отгадайте, в какой коробке находится подарок, и имя каждого мальчика, если известно, что Гриша всегда лжет, Витя всегда говорит правду, а Саша чередует правду и ложь, начиная либо с правды, либо со лжи», – сказал ведущий.
Помогите первоклассникам справиться с заданием, ответ обоснуйте.
Ответ:
Первый мальчик красной коробкой и в красном колпаке - это Витя. Значит подарок, действительно, в красной коробке. Ведь Витя говорит только правду.
Второй мальчик в синем колпаке и с синей коробкой - это Гриша солгал два раза, ведь Гриша лжет всегда. Подарок точно не у него.
Саша - мальчик в зеленом колпаке с зеленой коробкой - в первый раз говорит правду, потому что Гриша оба раза солгал. Но подарок не может быть у него, потому что он всегда чередует правду и ложь, а значит в зеленой коробке подарка нет.
Задача 5
На хозяйственной части школьного двора стояли большие весы. Они показывали вес предметов тяжелее 60 килограммов. Четыре подружки Маша, Таня, Света и Лена решили узнать свой вес. Но весы показывали вес только тогда, когда на них вставали или три или все четыре девочки. В результате они выяснили, что Маша, Таня и Света вместе весят 82 кг; Маша, Таня и Лена – 84 кг; Маша, Лена и Света – 80 кг; Лена, Таня и Света – 81 кг.
Сколько килограммов весит каждая девочка?
Решение: Каждая из девочка взвешивалась три раза. Находим вес всех девочек одновременно.
1) 84+81+82+80=327 (кг) – общий вес за все четыре взвешивания
2) 327 : 3=109 (кг) весят все четыре девочки одновременно
3) 109-84=25 (кг) весит Света
4) 109-81=28 (кг) весит Маша
5) 109-80=29 (кг) весит Таня
6) 109-82=27 (кг) весит Лена
Ответ: Света весит 25 кг, Маша весит 28 кг, Таня весит 29 кг, а Лена весит 27 кг.
Задача 6
В семье Светлановых четыре ученицы. Аня учится в первом классе, Ира - во втором, Таня – в третьем и Катя – в четвертом классе. На 1 сентября мама купила девочкам торт с вишенками и поделила его на четыре равные по форме части так, что первокласснице достался кусочек с одной вишенкой, второкласснице – с двумя вишенками, третьекласснице – с тремя вишенками, а четверокласснице с четырьмя вишенками. Покажите, как мама разрезала торт.
Ответ: мама порежет торт в соответствии с красными линиями на рисунке. Каждой из девочек достанется по 4/16 части торта.
Дорогие ребята!
Вам предстоит решить 6 занимательных задач по математике. Максимальное количество баллов за каждую задачу – 5. Их можно получить, если задача решена правильно, приведено полное подробное решение. Если решения задачи нет, а дан только правильный ответ, то, задача будет оценена в 1 балл. Ждем ваших решений.
Желаем успехов!
Уважаемые ребята, родители и координаторы!
Мы будем очень благодарны Вам за оставленный отзыв об олимпиаде.
Нам очень важно знать ваше мнение о заданиях олимпиады «Эрудит. Осень-зима 2015». Какие задания показались легкими? А какие самыми сложными? Что вам не понравилось?
