Основы вычислительной математики

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«УТВЕРЖДАЮ»:

Проректор по учебной работе

_______________//

«____»___________2011 г.

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Учебно-методический комплекс

Рабочая программа для студентов заочной формы обучения

специальность 080801.65 –

«Прикладная информатика в экономике»

«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:

Автор работы________________________/ /

« »________2011 г.

Рассмотрено на заседании кафедры информационных систем

___________г. протокол №____

Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.

«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:

Объем ____стр.

Зав. кафедрой ______________________//

« »________2011 г.

Рассмотрено на заседании УМК Института математики, естественных наук и информационных технологий ___________г., протокол №_____

Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.

«СОГЛАСОВАНО»:

Председатель УМК__________________//

« »________2011 г.

«СОГЛАСОВАНО»:

Начальник УМУ ____________________//

« »________2011 г.

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт математики, естественных наук и информационных технологий

Кафедра информационных систем

МООР П. К.

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Учебно-методический комплекс.

Рабочая программа для студентов очной формы обучения,

специальности 080801.65 – «Прикладная информатика в экономике»

Тюменский государственный университет

2011

Моор вычислительной математики. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов заочной формы обучения специальности 080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)». Тюмень, 2011, 8 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.

Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Основы вычислительной математики [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. umk. utmn. ru, свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой информационных систем. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой

информационных систем, д. т.н.,

профессор

© Тюменский государственный университет, 2011.

© , 2011.

1. Пояснительная записка

1.1 Цели и задачи дисциплины

Дисциплина "Основы вычислительной математики" имеет целью ознакомить с основами вычислительной математики.

Задачи дисциплины:

-  обучить методам решения вычислительных задач и разработки алгоритмов и программ их решения;

-  выработать навыки применения численных методов для решения конкретных задач;

1.2 Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате изучения дисциплины студенты должны:

·  знать: методы решения основных задач вычислительной математики: приближения функций, методов решения уравнений и систем уравнений, методов численного интегрирования, методов решения дифференциальных уравнений;

·  уметь: применять теоретические знания к решению задач вычислительной математики, разрабатывать алгоритмы и программы;

·  иметь представление: о методах приближенных вычислений, основных задачах вычислительной математики;

·  Владеть навыками: работы в области решении задач вычислительной математики.

1.  Структура и трудоемкость дисциплины

Таблица 1.

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
2
Аудиторные занятия (всего)	8	8
В том числе:	-	-
Лекции	4	4
Лабораторные работы (ЛР)	4	4
Самостоятельная работа (всего)	55	55
Контрольные работы		+
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)		зачет
Общая трудоемкость	63	63

2.  Тематический план

Таблица 2.

№	Тема	Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.	Итого часов по теме
Лекции	Семинарские (практические) занятия	Самостоятельная работа
1	2	4	5	7	8
	Модуль 1. Основы вычислительной математики. Вычислительные методы для решения алгебраических задач
1.	Введение в вычислительную математику	0,5	0,5	5	6
2.	Методы решения уравнений и систем	0,5	0,5	5	6
3.	Методы решения систем линейных алгебраических уравнений	0,5	0,5	5	6
4.	Приближение функций	0,5	0,5	10	11
	Всего	2	2	25	29
	Модуль 2. Вычислительные методы для задач математического анализа
1.	Численное интегрирование	0,5	0,5	10	11
2.	Экстремум функций	0,5	0,5	10	11
3.	Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений	1	1	10	12
	Всего	2	2	30	34
	Итого часов:	8	8	55	63

3.  Содержание дисциплины

Модуль 1. Основы вычислительной математики. Вычислительные методы для решения алгебраических задач.

Тема 1. Введение в вычислительную математику. Математические модели и численные методы. Меры близости: метрика и норма. Погрешность.

Тема 2. Методы решения нелинейных уравнений и систем. Методы решения уравнений: дихотомии, простых итераций, Ньютона. Методы решения систем.

Тема 3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений и систем. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений: Гаусса с выбором главного элемента, простых итераций, Зейделя. Метод прогонки.

Тема 4. Приближение функций. Задачи приближения функций: аппроксимация, интерполирование, экстраполирование. Линейное интерполирование. Интерполирование многочленами. Интерполирование сплайнами. Аппроксимация методом наименьших квадратов.

Модуль 2. Вычислительные методы для задач математического анализа.

Тема 1. Численное интегрирование. Постановка задачи. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона, Эйлера.

Тема 2. Экстремум функций. Постановка задачи. Минимум функции одного перемен-ного. Метод золотого сечения. Минимум функции многих переменных. Метод скорейше-го спуска.

Тема 3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Поста-новка задачи Коши. Метод Рунге-Кутта. Постановка краевой задачи. Метод прогонки.

5.  Темы практических занятий

1.  Методы решения уравнений. Метод дихотомии, хорд, Ньютона.

2.  Методы решения систем уравнений. Метода Гаусса, Зейделя.

3.  Интерполирование функций. Полином Лагранжа.

4.  Интерполирование функций. Кубические сплайны.

5.  Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

6.  Численное интегрирование. Метода прямоугольников, трапеций Симпсона.

7.  Поиск экстремума функции. Метод золотого сечения.

8.  Решение задач для ОДУ

Практические задания выполняются с использованием среды разработки Microsoft Visual Studio.

Задание 1.

1. Разработать программные модули для решения уравнения методами:

-  дихотомии; хорд; Ньютона; простых итераций.

2. Найти все корни уравнения

x2*sin(5*x) –x-0,5 = 0,

расположенные на отрезке [0;2] методом дихотомии с точностью 0,00001.

3. Для корня, расположенного на отрезке [0;1] найти корень точностью 0,00001 всеми перечисленными выше методами и сравнить количество необходимых итераций.

Задание 2.

1. Разработать программные модули для решения систем линейных уравнений методами:

-  Гаусса с выбором главного элемента;

-  прогонки;

-  Зейделя.

Проверить работу программ на тестовых примерах.

Задание 3.

1. Разработать модуль для вычисления значения функции, заданной таблицей, в некоторой точке при интерполировании многочленом Лагранжа в форме Ньютона. Заданы значения функции в 4 точках:

x	y	Построить для заданных значений интерполяционный многочлен в форме Ньютона и вычислить его значение для х=4. Какой степени будет этот многочлен?
0	1
1	3
2	2
3	4

Задание 4.

1. Разработать модуль для вычисления значения функции, заданной таблицей, в некоторой точке при интерполировании кубическим сплайном. Заданы значения функции в 4 точках:

x	y	Построить интерполирующий сплайн и вычислить его значения для точек x= 0.5, 1.5, 2.5.
0	1
1	3
2	2
3	4

Задание 5.

1. Разработать модуль для вычисления значения функции, заданной таблицей, в некоторой точке при аппроксимации по методу наименьших квадратов. Заданы значения функции в 4 точках:

x	y	Построить аппроксимирующий многочлен степени 1 по методу наименьших квадратов и вычислить его значение для заданных значений и x=4;
0	1
1	3
2	2
3	4

Для заданий 3-5 построить графики полученных функций.

Задание 6.

1. Разработать программные модули для вычисления определенного интеграла

с точностью 0,00001 методами

-  прямоугольников;

-  трапеций;

-  Симпсона.

Сравнить количество необходимых разбиений отрезка для этих методов.

Задание 7.

1. Разработать программный модуль для нахождения минимума функции

x2*sin(5*x) –x-0,5 = 0,

расположенного на отрезке [0,5;1,5], методом золотого сечения с точностью 0,00001.

Задание 8.

1. Разработать программный модуль для нахождения решения задачи Коши для дифференциального уравнения

для x=2 методом Эйлера с шагом 0,2 и 0,1. Сравнить полученные результаты.

6.  Самостоятельная работа

Самостоятельная работа студентов включает проработку и закрепление изученного материала, выполнение заданий в соответствии с темами практических занятий.

7.  Примерная тематика курсовых работ

Не планируются

8.  Вопросы к экзамену

1. Математические модели и численные методы. Меры близости: метрика и норма. Погрешность.

2. Методы решения нелинейных уравнений и систем. Методы решения уравнений: дихотомии, простых итераций, Ньютона.

3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).. Гаусса с выбором главного элемента.

4. Методы решения систем (СЛАУ). Зейделя.

5. Методы решения систем (СЛАУ). Метод прогонки.

6. Приближение функций. Задачи приближения функций: аппроксимация, интерполирование, экстраполирование. Линейное интерполирование.

7. Интерполирование многочленами.

8. Интерполирование сплайнами.

9. Аппроксимация методом наименьших квадратов.

10. Численное интегрирование. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона, Эйлера.

11. Экстремум функций. Минимум функции одной переменной. Метод золотого сечения.

12. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задачи Коши.

13. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта.

14. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка краевой задачи. Метод прогонки.

9.  Литература

Основная литература:

1. Вержбицкий, В. М.. Основы численных методов: учеб. для студ. вузов, обуч. по напр. подгот. диплом. спец. "Прикл. мат."/ . - 3-е изд., стер.. - Москва: Высшая школа, 2009. - 840 с. (80)

Дополнительная литература:

1.  Демидович, вычислительной математики: учеб. пособие/ , . - 2-е изд., стереотип.. - Санкт-Петербург: Лань, 2009. - 672 с. (10)

2.  Гаврилова, Ню М. Вычислительная математика: учеб. пособие по спец. "Мат. обеспечение и администр. информ. систем" - Тюмень: Изд-во ТюмГУ. Ч. 1. - 2008. - 112 с. (100).

10.  Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

В процессе изучения дисциплины используются мультимедийные и технические средства обучения, Интернет-технологии.