XII Международная олимпиада «Эрудит»
Математика
2 тур
Одна из лучших работ участников олимпиады
Албурина Анжела, Красноярский край, г. Норильск, МБОУ «Гимназия №5», учитель а
Задание №1
Это обычная задача на стратегию. Сначала узнаем, сколько было чисел 53-9=44, 44 числа всего на доске.
Выиграет 1-ый игрок, стратегия:
· 1-ый игрок сотрёт 1 число, чтобы осталось 43 числа т. к. нужно число, делящееся на 7 с остатком 1 чтобы к конце осталось 1 число 2-му игроку.
· Далее 1-й игрок в ответ на ход 2-го игрока должен стирать столько чисел, чтобы за оба хода (за ход 2-го игрока и свой ход) было стерто вместе 7 чисел. Это можно сделать всегда:
Стер 2-й игрок | Стер 1-й игрок | Стерли вместе |
1 число | 6 чисел | 7 чисел |
2 числа | 5 чисел | 7 чисел |
5 чисел | 2 числа | 7 чисел |
6 чисел | 1 число | 7 чисел |
· Таким образом, перед предпоследним ходом 2-го игрока, ему останется 8 чисел и 1-ый игрок по любому сможет свести игру к своему выигрышу
Ответ: выиграет 1-ый игрок.
Задание №2
Представим что число марок Сергея X, а число марок Ивана Y. Из условия задачи можно записать следующие неравенства:
1) 14 < X+Y
2) 2X < Y+18
3) 2Y < X
Будем действовать по свойству числового неравенства:
если a < b, а c < d, то a+c < b+d.
Мы применим его для 2-го и 3-го неравенств:
2X+2Y < Y+18+X, теперь представим это неравенство в виде весов и уберем с каждой чаши Х+ Y.
Получаем: X+Y<18
Сделаем двойное неравенство: 14<X+Y<18, значит, сумма марок Сергея и Ивана может быть X+Y=15,16,17.
Теперь будем подбирать возможные варианты.
Пусть Y=1, X=14
2 · X < Y+18, 2 ·14 < 1+18, 28 < 19 – неверно
Если Y=1, а X=15 или 16 то так же не будет подходить т. к. Y будет оставаться таким же, а X будет становиться больше.
Пусть Y=2, X=13
2 · X < Y+18, 2 · 13 < 2+18 , 26 < 20 – неверно
Если Y=2, а X=14 или 15 то так же не будет подходить т. к. Y будет оставаться таким же, а X будет становиться больше.
Пусть Y=3, X=12
2 ·X < Y+18, 2·12 < 3+18 , 24 < 21 – неверно
Если Y=3, а X=13 или 14, то так же не будет подходить т. к. Y будет оставаться таким же, а X будет становиться больше.
Пусть Y=4, X=11
2 · X < Y+18, 2· 11 < 4+18 , 22 < 22 – неверно
Если Y=4, а X=12 или 13, то так же не будет подходить т. к. Y будет оставаться таким же, а X будет становиться больше.
Пусть Y=5, X=11 ( *X не может быть 10 не подходит под 3 условие)
2·X < Y+18, 2·11 < 5+18 , 22 < 23 – верно
Если Y=5, а X=12, то так же не будет подходить т. к. Y будет оставаться таким же, а X будет становиться больше.
При Y=6, Х=9,10,11 не подходят под 3 условие.
Значит, вариантов больше нет.
Ответ: у Ивана 5 марок, у Сергея 11.
Задание №3
Имеются гирьки весом 1,4,7,3 грамма. Предположим, что можно взвесить 61г только гирьками 1г, 4г и 7г.
Число гирек весом 1г пусть будет X
Число гирек весом 4г пусть будет Y
Число гирек весом 7г пусть будет Z
3г брать не будем.
Тогда X+Y+Z=17, так как гирек всего 17 штук.
Получится уравнение:
1· X + 4· Y + 7·Z = 61
Разобьём 4г и 7г так, чтобы присутствовало число, делящееся на 3
1·X+(1·Y+3·Y)+(6·Z+1·Z)=61
(X+Y+Z)+3·Y+6·Z=61
Заменим X+Y+Z на 17 в уравнении.
17+3·Y+6·Z=61
Уберем из обеих частей 17, получим:
3·Y+6·Z=44
Слева теперь число, делящееся на 3, а справа нет, значит, наше предположение неверно и нельзя взвесить 61г только гирьками 1г, 4г и 7г. Надо обязательно использовать гирьку в 3г.
Ответ: Тимофей Ильич использовал гирьку в 3 грамма.
Задание №4
Сделаем 4 таблицы
Палевый | Чёрный | Коричневый | Рыжий | |
Атос | - | - | + | - |
Гром | - | + | - | - |
Джим | - | - | - | + |
Рекс | + | - | - | - |
2 года | 3 года | 5 лет | 6 лет | |
Атос | - | + | - | - |
Гром | - | - | + | - |
Джим | + | - | - | - |
Рекс | - | - | - | + |
Атос | Гром | Джим | Рекс | |
Артём | - | + | - | - |
Павел | - | - | - | + |
Сергей | - | - | + | - |
Тарас | + | - | - | - |
2 года | 3 года | 5 лет | 6 лет | |
Артём | - | - | + | - |
Павел | - | - | - | + |
Сергей | + | - | - | - |
Тарас | - | + | - | - |
Отменим самое очевидное: что у Сергея не Атос, Джим не палевый, Рекс не черный, а Атос коричневый.
Если число лет чёрной собаки Артёма не делится на 3, то его собаке либо 2 года либо 5 лет, если у Артёма чёрная собака то у него не Рекс и не Атос. Раз у Сергея самый молодой пёс то собаке Сергея 2 года, значит собаке Артёма 5 лет. Посмотрим на третье условие задачи - у Тараса точно не Джим, посмотрим на шестое условие - у Павла точно не Атос, значит Атос у Тараса.
Если собака Павла старше Атоса, значит Атосу 3 года (см. таблицу), а собаке Павла 6 лет. Если собака Тараса на 1 год старше Джима то Джиму 2 года, а если Джиму 2 года то Джим собака Сергея, значит у Артёма Гром, а у Павла Рекс. Если Рекс собака Павла тогда Рексу 6 лет, а Грому 5 лет. Если у Артёма чёрная собака а у Артёма Гром, значит Гром чёрный, значит Джим рыжий, а Рекс палевый.
Ответ: Атос - собака Тараса, коричневый, 3 года; Гром - собака Артёма, чёрный, 5лет; Джим - собака Сергея, рыжий, 2 года; Рекс - собака Павла, палевый, 6 лет.
Задание №5
Сначала продавец купил товар за оптовую цену(100%) Потом повысил цену этого товара на сколько-то процентов - это уже новая цена с прибылью, которую хотел получить продавец.
100% + Х% - новая цена (новые 100%).
Потом снизил новую цену на 5% (100%-5% = 95%) и при этом продавец получил прибыль 14% от той оптовой цены, за которую купил товар, то есть реально продал товар за 114% от первоначальной цены.
Получается что 114% - это 95% от цены с прибылью. Решим задачу как задачу на нахождение целого по его проценту.
114% - это 95% от цены с прибылью.
95% = 0,95
114 : 0,95 = 11400 : 95 =120% - цена, за которую продавец хотел продать товар.
Получается что:
100% + Х% = 100% + 20% - цена с прибылью.
Ответ: продавец сначала хотел получить прибыль 20%.
Задание №6
Имеется фигура.
В этой фигуре 144 квадратика, получается, что сторона квадрата должна быть 12.
Разрежем фигуру:
