XIII Международная олимпиада «Эрудит. Осень - зима 2015»
Математика
Задания
Максимальное количество баллов – 30 баллов
Сорокин Леонид, 7б класс
Задача № 1 (4 балла)
При подготовке к школе Маша пошла на «Школьный базар». Общими тетрадями в клетку, которые понравились Маше, торговали два продавца, причем тетради были у них по одной и той же цене. Первый продавец, предлагая свой товар, сказал Маше: «Если ты купишь у меня две тетрадки, то я их обе продам на 40% дешевле». Второй продавец предложил одну тетрадь купить по обычной цене, а вторую всего за 20 рублей. Подумав и подсчитав свои деньги, Маша поняла, что если она купит две тетрадки у первого продавца, то заплатит на 5 рублей дешевле, чем у второго. Сколько стоила одна тетрадка сначала?
Решение.
Обозначим стоимость тетради = Х
На 40% дешевле, значит 0,6х
1. 0,6х+0,6х+5руб=х+20руб
2. Перенесем рубли за знак равенства: 0,2х=15руб 20% стоимости тетради составляет 15 рублей
3. Считаем, сколько стоит 100% стоимости тетради: 20%=15 100%=y y =100*15:20=75
4. Тетради стоили по 75 рублей.
5. Проверяем. У первого продавца 75+75=150 минус 40% 150:100*60=90 рублей
6. У второго продавца 75+20=95, что на 5 рублей больше 90 р. У первого.
Задача № 2 (4 балла)
Анализируя результаты ГИА по математике в 9 классе, завуч Анна Ивановна, пришла к такому выводу: «Чтобы средний результат класса был на 1,6 балла выше, нужно, чтобы каждый юноша получил на 4 балла больше». А можно ли узнать, сколько процентов составляют в этом классе девушки?
Решение.
1. Девушки(д)+юноши(ю)=100% количество человек в классе – д+ю, сумма балов девушек ∑бд, сумма балов юношей ∑бю
2. Формула для нахождения среднего балла класса =(∑бд+∑бю): (б+ю)
3. Из условия задачи мы знаем, что средний результат класса будет выше на 1.6 балла, если каждый юноша получит на 4 балла больше, отсюда получаем равенство: (∑бд+∑бю): (б+ю)+1.6 = (∑бд+∑бю): ((б+ю)+(4ю)): (б+ю)
4. После сокращения (∑бд+∑бю): (б+ю) получаем равенство 1,6=(4ю): (б+ю)
5. 1.6д+1.6ю=4ю
6. 1.6д=2.4ю
7. 2д =3ю, ю=2:3*д
8. д+ю=д+2:3*д=(3д+2д):3=5д:3
9. д+ю=100, д=Х, Х=(д*100): (5:3*д)=300:5=60
10. д=60, ю=100-60=40.
Ответ: Девушек 60%, юношей 40%
Задача № 3 (6 баллов)
Возможно ли, определить, чему равна сумма х + у, если
х2 = 2ху – х2 – у2 – 16 + 8х?
Решение.
х2 + 16 - 8х= - (х2+2ху+ у2)
(х-4) 2 = - (х-у) 2
(х-4) 2 ≥0 - (х-у) 2 ≤0
х-4=0, х=4, отсюда -(4-у)=0, у=4
х=у=4
Ответ: х+у=4+4=8
Задача № 4 (6 баллов)
Определить, при каких натуральных n выражение 
является целым числом.
Решение.
(n2(n-2)):(n-2) + 3: (n-2) = n2+ 3: (n-2)
По условию, n должно быть натуральным (1, 2, 3….)
Ответ.
n=3 (27-18+3):1=12
n=5, n=1
(125-50+3):3=26
Задача № 5 (10 баллов)
Для того, чтобы выкопать котлован объемом, были использованы три различных по мощности экскаватора. Если будут работать второй и третий экскаватор, то котлован будет выкопан не быстрее, чем при работе только первого эксковатора. Если будет работать только третий, то он закончит работу не позже чем через 6 часов. Если работают первый и третий, то работа будет закончена не раньше, чем через 2 часа. Производительность первого экскаватора вдвое больше, чем второго. За сколько часов будет закончена работа, если будут работать все три экскаватора одновременно?
Решение.
1. Узнаем производительность 3 экскаватора: 24м. куб:6ч=4м. куб. в час
2. Так как, за первый и третий экскаватор одновременно работая выкопают этот котлован за 2 часа, то получим уравнение: первый экскаватор обозначим х, х+3экскаватор=2 часа их общая производительность. 24: (х+4)=2ч
Х+4=12
Х=8 м. куб. в час - производительность первого экскаватора
3. Найдем время, за которое первый экскаватор выроет котлован в 24м. куб: 24:8=3 ч
4. Зная, что второй и третий экскаватор, работая вместе, выроют котлован за то же время, что и первый, составляем уравнение: 24: (Х+4)=3
Х+4=8
Х=4 м. куб. в час – производительность второго экскаватора.
5. Определим, за какое время будет вырыт котлован, если все три экскаватора будут работать одновременно: 24: (4+4+8)=24:16=1.5 часа.
Ответ: трем экскаваторам потребуется 1.5 часа.
