Глава 6 Прикладной регрессионный анализ (стр. 10 )

(6.45)

Таким образом, метод 3 сводится к применению метода 2 необходимое количество раз. Для гарантированного получения точного решения исходной задачи строятся все возможные варианты последовательности (6.40), т. е. метод 2 применяется раз.

Все указанные методы естественным образом могут быть обобщены для решения задачи по критерию 2.

Метод 4 (комбинаторный). Решение задачи по критерию 2. Пусть оптимальному решению задачи смешанного линейного целочисленного программирования (6.32)–(6.35) соответствуют ненулевые булевы переменные . Формулируется новая задача СЛЦП вида

(6.46)

(6.47)

(6.48)

(6.49)

(6.50)

(6.51)

Оптимальное решение задачи (6.46)–(6.51) определяет второе множество базовых функций удовлетворяющих условию (6.30), (6.31). Пусть оптимальному решению задачи (6.46)–(6.51) соответствуют ненулевые булевы переменные . Формулируется новая задача СЛЦП: к ограничениям задачи СЛЦП (6.46)–(6.50) добавляется ограничение

(6.52)

и так далее. Процесс продолжается до тех пор, пока очередная задача СЛЦП не будет иметь допустимое решение.

Метод 5 (комбинаторный). Решение задачи по критерию 2. Пусть первое (очередное) допустимое решение задачи ЛЦП (6.36)–(6.39) удовлетворяет условию: число ненулевых булевых переменных меньше числа , т. е. (предполагается, что множество решений имеет вид I3 (6.31)). Тогда для последовательности базовых функций применяется этап 2 метода 2. Получаем множество базовых функций, удовлетворяющих условиям (6.30), (6.31).

После чего по аналогии с модификацией метода 1 формируется новая задача ЛЦП (6.36)–(6.39), (6.50), (6.51), где переменная , соответствует первым K1 базовым функциям из множества I3 (6.31). К его оптимальному решению применяется этап 2 метода 2 и т. д.

Примечание. Если задача ЛЦП не имеет допустимого решения, то количество итераций метода [40], устанавливающего этот факт может быть недопустимо большим. В этом случае модификация метода 2 становится эффективной, если имеется дополнительное число результатов экспериментов, не участвующих в построении (аналог проверочной последовательности метода группового учета аргументов). Решением является первое множество базовых функций, удовлетворяющих условию (6.30) и дающих нулевую погрешность для дополнительного множества экспериментальных данных.

Метод 6 (вероятностный). Решение задачи по критерию 2. Пусть в результате реализации этапов 1 и 2 метода 2 получен набор базовых функций , удовлетворяющих условиям (6.30), (6.31) (из этого набора нельзя исключить ни одной базовой функции).

Этап 2 (модифицированный) шаг . Из набора базовых функций (6.41), включающего в себя набор , исключается функция и реализуется этап 2 по последовательности базовых функций длины . Шаг заканчивается либо построением нового набора базовых функций, удовлетворяющих условиям (6.30), (6.31) либо устанавливается факт отсутствия такого набора.

В результате проведенных шагов либо определяется единственность набора базовых функций , удовлетворяющего условиям (6.30), (6.31), и на этом вычисления заканчиваются, либо восстанавливаются дополнительные наборы базовых функций, удовлетворяющие условиям (6.30), (6.31).

К каждому из вновь построенных наборов базовых функций, удовлетворяющим условиям (6.30), (6.31), применяется этап 2 (модифицированный). Вычисления завершаются установлением факта невозможности построения нового набора базовых функций, удовлетворяющих условиям (6.29), (6.30). Очевидно, предложенная вычислительная процедура является конечной.

Примечание 1. Для существенного уменьшения вычислений в процессе очередной реализации этапа 2 (модифицированного) необходимо использовать все промежуточные результаты вычислений его предыдущих реализаций.

Примечание 2. Существенного уменьшения вычислений можно добиться, если располагать дополнительными результатами экспериментов (проверочная последовательность). Первый набор базовых функций, удовлетворяющий условиям (6.30), (6.31) и дающий нулевую (равную машинному нулю) ошибку на проверочной последовательности и является искомой закономерностью.

6.3.4  Модифицированные вероятностные алгоритмы для восстановления неизвестной закономерности по набору экспериментальных данных с ошибкой

Приведенные методы могут также применяться в случае, когда оценки неизвестной закономерности, полученные в результате проведенных экспериментов, имеют некоторую ошибку (случайная величина). В случае наличия ошибки в используемом наборе экспериментальных данных (например, погрешности измерений) методы требуют существенной модификации для эффективного решения задачи восстановления. Далее будут сформулированы и рассмотрены требуемые изменения для предложенных ранее вероятностных методов (методы 2 и 3).

Модифицированный метод 2 (вероятностный). Для случая наличия ошибки в используемом для восстановления наборе экспериментальных данных в предположении выполнения условия был модифицирован второй этап этого метода.

Этап 2. Из текущей последовательности базовых функций , сформированной из последовательности (6.41) предыдущей итерации ( – номер текущей итерации), поочередно исключается каждая базовая функция и для оставшихся базовых функций решается задача линейного программирования (ЛП):

(6.53)

(6.54)

где переменными являются , и , , а – текущий порядковый номер итерации (начиная с 1). После решения задачи (6.53), (6.54) исключенная компонента возвращается в текущую подпоследовательность базовых функций. Из текущей последовательности базовых функций исключается та компонента, для которой значение (6.53) минимально. На этом текущая итерация завершена.

Описанная процедура повторяется. Критерием останова является резкий прирост минимального значения показателя качества (6.53) на текущей итерации по сравнению с предыдущей (выше порогового значения первой итерации). Эта итерация является последней. Компонента, исключению которой на этой итерации соответствует минимальное значение (6.53), не отбрасывается из текущей последовательности базовых функций, эта последовательность и определяет истинную закономерность. Коэффициенты при базовых функциях этой последовательности получены в последнем решении задачи ЛП (6.53), (6.54) с текущим набором базовых функций на предпоследней итерации.

Этап 2 может быть ускорен, если в конце каждой итерации из текущей последовательности базовых функций исключать не одну, а несколько компонент, для которых получены наименьшие значения показателя качества (6.53) в текущей итерации.

Введенные изменения метода следуют из особенностей решаемой задачи. При наличии ошибки минимальное значение показателя качества (6.53) на любой итерации этапа 2 статистически всегда больше нуля и увеличивается при последовательном удалении компонент из (6.41). При этом вследствие влияния при отбрасывании истинной компоненты получаемое значение показане всегда будет превышать любое из значений показателя, полученных при отбрасывании фиктивных компонент, однако не будет минимальным в полученном наборе его значений на текущей итерации. Последнее утверждение, как и в целом эффективное применение модифицированного метода 2, имеет место при определенных границах ошибки , устанавливаемых статистическими исследованиями метода.