Глава 6 Прикладной регрессионный анализ (стр. 11 )

По результатам предварительных исследований эффективности метода были выработаны рекомендации относительно критерия останова итераций этапа 2. Эти рекомендации приведены в виде табл. 6.8. Для построения таблицы 6.8 значения определялись как отношения значения показапоследней итерации (была исключена истинная базовая функция, зафиксирован резкий прирост показак его значению на предпоследней итерации по большому числу экспериментов. После этого для каждого фиксированного количества элементов (6.41) определялось математическое ожидание и дисперсия полученных реализаций значения последней итерации (что возможно и справедливо согласно закону больших чисел), а рекомендуемое минимальное граничное значение , приведенное в табл. 6.8, определялось как . Таким образом, исходя из следствия неравенства Чебышева (случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего на 3 стандартных отклонения с вероятностью меньше 11,2 %), рекомендуемые в табл. 6.8 параметры останова алгоритма будут справедливы на практике не менее чем в 88,8 % случаев примеров с подобными входными данными.

Статистические исследования проводились для случаев, когда восстанавливаемая закономерность зависела от 3 до 5 входных величин (аргументы восстанавливаемой функции), количество базовых компонент в последовательности (6.41) – входной последовательности для этапа 2 – варьировалось от 15 до 100, а количество истинных компонент, которые требовалось восстановить, изменялось при этом от 2 до 5. При проведении экспериментов вычислялись точные оценки восстанавливаемых функций для случайных сгенерированных значений входных величин, после чего к полученным оценкам прибавлялась случайная величина (ошибка), равномерно распределенная в интервале , где – точная оценка восстанавливаемой функции, – коэффициент зашумления, который в сгенерированных примерах варьировался от 0,001 до 0,01, при более высоких его значениях неизвестная закономерность восстанавливалась статистически редко (закономерность восстанавливалась менее чем в 50 % проведенных экспериментов, для которых коэффициент зашумления превышал 0,01).

Модифицированный метод 3 (вероятностный). Метод сводится к построению последовательностей типа (6.40) и применению модифицированного метода 2 нужное количество раз для получения решения поставленной задачи с заданной вероятностью.

Таблица 6.8 – Рекомендованные граничные значения коэффициента прироста минимального значения показа для останова этапа 2 модифицированного метода 2 в зависимости от числа компонент в последовательности (6.41)

Количество элементов в последовательности (6.41)	Мин. граничное значение
10	411,88
15	332
20	290
25	260
30	233
35	203,6
40	183,28
45	168,32
50	156,85
55	145,01
60	134,63
65	125,09
70	116,21
75	108,97
80	99,34
85	91,27
90	84,86
95	77,89
100	72,32

Изложенные модификации методов 2 и 3 могут эффективно использоваться в практических задачах для восстановления неизвестной закономерности по набору данных пассивного эксперимента, содержащих ошибку измерений . По проведенным исследованиям можно сделать вывод, что предложенные методы особенно эффективны в случаях, когда ошибка не превышает 2% от истинного значения, что на практике может соответствовать условиям задачи восстановления точной закономерности при грубых требованиях к измерительным приборам.

6.3.5  Демонстрационные примеры

Пример 1 (восстановление по набору с точными экспериментальными данными). Приведем пример использования вероятностного метода 2 для восстановления неизвестной закономерности.

Пусть существует закономерность . Ее истинное выражение, неизвестное исследователю, имеет вид (состоит из 3 компонент, ):

(6.55)

Пусть также проведено 35 () экспериментов, в результате которых получены точные оценки неизвестной закономерности (приведены в табл. 6.9).

Согласно этапу 1 вероятностного метода 2, не зная истинных компонент и соответствующих коэффициентов функции , исследователь сформировал множество из 45 компонент (), возможных, по его мнению, составляющих искомой закономерности, в которое вошли также и компоненты из (6.55), и упорядочил случайным образом, как показано в таблице 6.10.

Таким образом, исследователь построил последовательность (6.40). Далее он получает последовательность (6.41), оставив первые 35 компонент из табл. 6.10. Так как в этом случае не намного меньше и намного больше (на практике это обычно предположение исследователя), истинные компоненты неизвестной функции также попали (поскольку велика вероятность этого события) в последовательность (6.41).

Согласно этапу 2, из (6.41) последовательно отбрасываются компоненты с номерами от (=35) до 1 и решается задача ЛП (6.42)–(6.43). При этом, если значение показателя качества (6.42) равно нулю (в приведенном машинном расчете равенство нулю принимается в случае, если полученное значение по модулю меньше ), то соответствующая компонента окончательно удаляется из (6.41), в противном случае компонента возвращается. В табл. 6.11 приведены полученные значения показателя качества (6.42) при последовательной проверке компонент из (6.41).

Таблица 6.9 – Результаты пассивного эксперимента

№ эксп.
1	–4,9665	–1,3402	+6,8476	–6,3102	–145,09842734
2	+0,1636	–0,9552	–3,4883	–2,3985	–270,06437890
3	+7,7296	+5,2252	+7,6753	–0,8519	–6,32718453
4	+5,9840	–7,3185	–8,6937	–2,4971	–22,47072229
5	–2,5295	–0,3196	+9,3892	–3,1588	–5,02088065
6	–4,9462	+1,6977	+0,4741	–6,7316	–33943,62402822
7	–0,2720	–0,0788	+6,8639	+6,1240	–0,34152902
8	+7,1557	+2,1951	+1,3146	+2,2380	–1017,78294443
9	–7,9405	–6,8337	–1,7270	+1,2082	–217,51355870
10	–4,6265	+5,6851	–2,2426	–9,3803	–2594,21496656
11	+1,7100	+1,1712	–5,9861	–8,2516	–37,88212709
12	+8,6646	–4,8124	–5,9166	–9,0158	–1209,45607924
13	+2,1232	+0,9270	–8,0833	+2,7399	–3,75224770
14	–1,1410	–8,6724	–2,5141	–5,0179	–17,84857384
15	+8,4975	+2,5900	+7,5662	+2,8335	–68,52921068
16	+5,9678	–1,2995	+9,6228	–8,0808	–171,96372696
17	+0,5496	+0,9129	–4,3131	–2,5839	–6,30341172
18	–8,7061	+0,8962	+6,7275	–7,0936	–578,97147833
19	–6,5696	–8,6391	+6,4802	–7,3206	–388,50788768
20	+7,6957	+0,2947	+9,2727	–7,5901	–273,46083315
21	–9,0342	–2,3970	–1,7442	–1,9722	–714,82951700
22	–1,5801	–2,4609	+8,1467	+3,4032	–1,77520040
23	+9,2368	–6,7404	+4,9730	–2,5187	–146,14699152
24	–0,9153	–9,2288	+1,2486	–2,5538	+100,26461998
25	+5,8557	+5,9046	–2,3417	–4,9442	–1041,77577454
26	–3,1414	+9,3561	–0,4038	–2,6334	–2914,17527951
27	+5,2913	–2,4570	+8,0061	–6,3314	–119,05894885
28	–2,6337	+8,3491	+0,3183	–8,1939	–31557,86145898
29	+4,7062	–9,9058	+2,0625	+9,1373	–3023,10919878
30	–2,0514	+4,6310	+3,6928	+9,5701	–197,96196974
31	–5,9243	+1,8661	+9,0313	–4,7946	–67,24113005
32	+0,2936	+2,7266	–1,9808	–0,2678	–30539,61473531
33	+5,0092	–7,4761	–9,1388	–2,5812	–15,81963454
34	+3,8660	+8,7165	–0,4485	–7,4180	–28069,67076699
35	–0,3234	+8,9119	–2,6451	–3,4303	+1485,42244333

Таблица 6.10 – Компоненты последовательности (6.40)