Левитация магнита в слое магнитной жидкости
1,2, 2, 1,2, 1
1 Механико-математический факультет, МГУ, Москва, Россия
2 НИИ Механики МГУ, Москва, Россия
pelevina. *****@***com
Levitation of a magnet in a magnetic fluid layer
V. A. Naletova1,2, V. A. Turkov2, D. A. Pelevina1,2, M. M. Kobzev1
1 Mechanics and Mathematics, Moscow State University, Moscow, Russia
2 Institute of Mechanics, Moscow State University, Moscow, Russia
Abstract— Levitation and movement of the magnet in a thin layer of magnetic fluid was studied experimentally and theoretically.
Keyword — magnetic fluid, magnet, levitation.
I. Введение
Взаимодействие магнита и магнитной жидкости может быть использовано для разработки и моделирования новых типов движетелей и устройств различного назначения. В работе [1] аналитически исследовано равновесие тонкого слоя магнитной жидкости между двумя горизонтальными плоскостями, когда на верхней пластине находится тяжелый магнит в форме параллелепипеда. Динамика тонкого слоя магнитной жидкости между двумя горизонтальными плоскостями, когда на верхней пластине находится тяжелый магнит в форме параллелепипеда, возникающая из-за движения нижней плоскости, исследована аналитически в работе [2]. В работе [3] экспериментально исследовано движение магнита вдоль тонкого слоя магнитной жидкости.
В данной работе экспериментально исследована статика магнита в малом объеме магнитной жидкости и динамика магнита в тонком слое магнитной жидкости на горизонтальной подложке. Решена задача о вычислении магнитной силы, действующей на магнит, частично погруженный в магнитную жидкость в статическом случае. Вычислена форма поверхности магнитной жидкости и положение магнита.
II. Эксперимент.
Магнит, помещенный в магнитную жидкость, может левитировать в объеме на некоторой высоте h от горизонтальной подложки. В экспериментах использовался цилиндрический магнит высоты d=0.2045 см и радиуса R=0.3 см и магнитная жидкость на основе легкого углеводорода (начальная восприимчивость χ0=0.151, намагниченность насыщения Ms = 31.8 Гс, плотность ρ = 1.21 г/см3). Магнитная жидкость малого объема V собирается вокруг магнита и принимает форму поверхности симметричную относительно оси магнита, см. рис. 1.
При увеличении объема жидкости V возрастает вертикальная координата контакта поверхности жидкости и магнита z0 (z0=0 в центре магнита). Для различных объемов в эксперименте имерена зависимость h от z0. Обнаружено, что при малых объемах V (малых z0), при увеличении количества магнитной жидкости увеличивается высота h, на которой левитирует магнит. Затем, начиная с некоторого объема V, соответственно некоторого значения z0, при увеличении количества жидкости высота h меняется слабо, см. рис. 6, магнит не поднимается над поверхностью: при z0≥-0.55 мм расстояние между дном магнита и подложкой h=0.026 см.
Если форма поверхности магнитной жидкости не симметричная в начальный момент, то, когда магнит помещают в жидкость, возникает горизонтальная сила, действующая на магнит. Если магнит положить на слой магнитной жидкости в виде тонкой полосы, то магнит будет двигаться по полосе, собирая жидкость на себя, см. рис. 2. Ширина слоя в эксперименте dl=0.3 см, высота hl≈0.04 см. При этом скорость магнита зависит от начальной высоты и толщины слоя (количества магнитной жидкости). Если магнитной жидкости достаточно много, то магнит движется с большой скоростью и не успевает собирать всю жидкость. Поэтому, дойдя до конца слоя, магнит возвращается обратно в начальное положение, собирая оставшуюся магнитную жидкость.
Положение магнита в зависимости от времени при движении вправо было получено путем обработки видео при помощи программы, написанной с использованием библиотеки FFmpeg, и приведено на рис. 3. Видно, что в течении секунды магнит разгоняется, а затем движется с постоянной скоростью v=180 мм/с.
III. Теория. Статика.
Рассмотрим статическую задачу о левитации магнита в малом объеме магнитной жидкости на твердой горизонтальной подложке, см. рис. 4. Сделаем следующие предположения: магнитная проницаемость магнитной жидкости постоянна µf = const, окружающая жидкость не намагничивается µs = 1, жидкости покоятся. Выполнено безындукционное приближение µf −1 << 1. При этом поле во всем пространстве равно полю магнита в пустоте H ≈ H0 (не учитывается влияние формы магнитной жидкости на магнитное поле). Отсутствует поверхностное натяжение на границе магнитная жидкость - окружающая среда: σ = 0. Внутри магнитной жидкости и в воздухе сила тяжести мала по сравнению с магнитной силой.
Динамическое граничное условие на поверхности магнитной жидкости в этих предположениях будет иметь вид:
Здесь pf, ps – давление в магнитной жидкости и окружающей среде, H00 – магнитное поле на поверхности магнитной жидкости, n – внешняя к магнитной жидкости нормаль. Так как в статике давление постоянно, то форма поверхности магнитной жидкости z=h(x,y) задается уравнением:
Положение равновесия определяется равенством веса магнита и выталкивающей магнитной силой (Mm – масса магнита):
Получена формула для магнитной силы, которая определяется интегралом по поверхности контакта магнитной жидкости и подложки Sb:
Магнитное поле магнита задается как поле диполей с магнитным моментом m, расположенных на окружностях {ρ = a, z = ±b}, и выражается формулой:
.
Расчеты магнитной силы и формы поверхности магнитной жидкости реализованы в пакете программ Maple. Расчеты проведены при следующих значениях параметров: R = 0.3 см, d = 0.2045 см, g = 980 см/с2, Mm = 0.4 г, b = d/2 = 0.10225 см, a = 0.1 см, m= 0.0057 Гс, χf=0.151, µf=1+4π χf.
Численно получена симметричная форма магнитной жидкости для фиксированного значения вертикальной координаты точки контакта поверхности жидкости и магнита z0 и вычисляется объем магнитной жидкости V, см. рис. 5. 
Построенна зависимость расстояноия между магнитном и подложкой от z0. Для рассмотренных объемов получено, что расстояние h=0.026 см постоянно и не зависит от объема, см. рис. 6.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 14-01-31146, 14-01-90003, 14-01-91330).
Заключение
Экспериментально исследована статика магнита в малом объеме магнитной жидкости и движение магнита вдоль тонкого слоя магнитной жидкости. Поставлена и решена задача о равновесии магнита, частично погруженного в магнитную жидкость, на горизонтальной подложке. Получена формула для вертикальной силы, действующей на магнит со стороны магнитной жидкости в безындукционном приближении, когда силой тяжести в жидкости и поверхностным натяжением можно пренебречь. С использованием этой формулы написана программа расчета формы поверхности магнитной жидкости. Вычислены зависимости расстояния от магнита до твердой подложки от объема жидкости. Показано, что расстояние магнита до твердой подложки практически не зависит от объема магнитной жидкости, что подтверждается экспериментальными данными.
Литература
[1] , // Магнитная гидродинамика. 1987. No 1. с. 49-52.
[2] , , // Магнитная гидродинамика. 1992. No 4. с. 24—30.011.
[3] Hartung S., Rehberg I., Rihter R. In Book of Abstracts: 14th German Ferrofluid Workshop, Ilmenau, 17-19 march. 2014. с. 82—83.
