Исследовательская работа по математике. Математические софизмы

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Новинская средняя общеобразовательная школа

Богородского муниципального района Нижегородской области

Исследовательская работа по математике

Математические софизмы

Почтовый адрес 607635, Нижегородская область Богородский район п. Новинки ул. Центральная, МОУ Новинская СОШ; Телефон: [phone] Электронная почта: *****@***ru

Работу выполнили учащиеся 9 класса Антонюк Анастасия, Журавлева Марианна Руководители

Новинки 2014

Оглавление

1.  Введение

2.  Софизмы в математике

2.1.  История термина «софизм»

2.2.  Математические софизмы

2.3.  Классификация софизмов

2.4.  Классификация софизмов, основанная на характере «прячущихся» ошибок

3.  Заключение

4.  Литература

5.  Приложение

Введение

«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию»

Человеку, занимающемуся математикой, особенно часто приходится путем рассуждений выводить разнообразные формулы, правила и доказывать теоремы. А это значит, что для успешного изучения математики надо учиться правильно, рассуждать.

В ходе логических рассуждений нередко допускаются ошибки. В математике такие ошибочные рассуждения называются софизмами. Вообще, софизм – это умышленно ложное умозаключение, имеющее видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Чем же полезны софизмы для нас учеников?

Чтобы ответить на этот вопрос мы решили написать исследовательскую работу по теме «Математические софизмы».

Цель работы: исследовать математические софизмы, показать их значимость при изучении математики.

Для достижения данной цели мы поставили следующие задачи:

-  рассмотреть историю возникновения и развития софизмов;

-  составить классификацию математических софизмов;

-  выявить ошибки в математических софизмах;

-  показать значимость математических софизмов в математике;

-  познакомить учеников школы с данной темой.

История термина «Софизм»

Софизм – (от греческого sophisma, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Софистика – направление философии, которое возникло в V-IV вв. до н. э. в Греции и стало очень популярным в Афинах. Софистами называли платных «учителей мудрости», которые учили граждан риторике, искусству слова, приемам ведения спора, красноречию.

Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы.

В наше время ученые продолжают обращаться к софизмам совсем не для того, чтобы удивить кого-то. Человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Действительно, чем хитрее софизм, чем искуснее замаскирована ошибка, тем больше удовлетворения приносит он тому, кто разгадал его.

Понимая значимость софизмов, мы бы хотели более подробно рассмотреть математические софизмы.

Математические софизмы.

«Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки». (Мартин Гарднер) В математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа и опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очередности». История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях.

Классификация софизмов

Существует различная классификация математических софизмов. Наиболее часто встречается такая классификация:

-  алгебраические софизмы;

-  геометрические софизмы;

-  логические софизмы.

В книге «Математические софизмы» авторами была предложена классификация не по разделам программы по математике, а по однородности содержания доказываемых утверждений:

-  равенство неравных величин;

-  все ли утверждения математики равны;

-  неравенство одинаковых величин;

-  меньшее превышает большее.

Познакомившись с большим количеством примеров, математических софизмов, приведенных в научно-популярной литературе, мы решили, привести свою классификацию софизмов, основанную на характере «прячущихся» в них ошибок.

Классификация софизмов

по характеру «прячущихся» в них ошибок

Основные ошибки, “прячущиеся” в математических софизмах:

1.  деление на 0;

2.  неправильные выводы из равенства дробей;

3.  неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

4.  нарушения правил действия с именованными величинами;

5.  проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;

6.  неравносильный переход от одного неравенства к другому;

7.  выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

8.  неточное использование правил и формулировок;

9.  ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами.

Приведем по одному примеру математических софизмов по данной классификации (остальные будут в приложении), а также, предложим в каком классе на уроках математики их можно рассматривать.

1.  Деление на 0.

«Пять равно шести» (Математика 5-6 класс)

Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54.

В каждой части тождества вынесем за скобки общий множитель:

Теперь разделим обе части полученного равенства на их общий множитель (7+5-9), получим, что 5=6

2.  Неправильные выводы из равенства дробей

«Всякое отрицательное число больше положительного, имеющего туже абсолютную величину» (Алгебра 8 класс)

Нижеследующее рассуждение основано на утверждении:

Если две дроби равны и в первой дроби числитель больше знаменателя, то и во второй числитель должен быть больше знаменателя, т. е. если а>в то и c>d.

Запишем теперь очевидные равенства (число А0)

и

Из предыдущего видно, что оба отношения равны (-1), и поэтому мы можем записать

(1)

Но как известно, если две дроби равны, а в первой дроби числитель больше знаменателя (так как +А >-А), то, следо­вательно, и во второй дроби числитель должен быть больше знаменателя, таким образом необходимо, чтобы выполнялось неравенство

-А>+А.

Итак, мы пришли к выводу, что отрицательное число больше положительного.

3.  Неправильное извлечение квадратного корня из квадратного выражения

«Все числа равны между собой» (Алгебра 8 класс)

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество:

а-2ab+b = b -2ab+ а

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать

(а-b)2 = (b-а)2 (1)

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим:

a-b = b-a (2)

или 2а = 2b, или окончательно a=b.

4.  Нарушение правил действия с именованными величинами

«Один рубль не равен ста копейкам» (Математика 5-6 класс)

Известно, что любые два равенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если a=b и c=d , то ac=bd.

Применим это положение к двум очевидным равенствам

1руб.=100коп.

10руб.=1000коп.

Перемножая эти равенства почленно, получим

10руб.=100000коп., и наконец, разделив на 10, получим, что

1руб.=10000коп.,

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

5.  Проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла

«Восемь равно шести» (Алгебра 7 класс)

Решим систему двух уравнений

Подстановкой у из второго уравнения системы в первое, получаем

х+8-х=6, откуда 8=6

6.  Неравносильный переход от одного неравенства к другому

«Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В» (Алгебра 8 класс)

Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что

А>В.

Умножим это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В2, а отняв от обеих его частей А2, получим неравенство АВ-А2>В2-А2, которое равносильно следующему:

А(В-А)>(В+А)(В-А) (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получаем, что

А>В+А, (2)

а прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В,

имеем 2А>2В+А, откуда А>2В.

Итак, если A>B, то A>2B.

Это означает, например, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

7.  Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам

«Внешний угол треугольника равен внутреннему, не смежному с ним» (Геометрия 8 класс)

Из геометрии известно, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Докажем, что внешний угол треугольника равен внутреннему, не смежного с ним.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, такой, в котором (1)

Через точки А, D и С проведем окружность, которая пересекает стороны АВ и ВС в некоторых точках Е и F. Соединив точку С и Е получим вписанный в эту окружность четырехугольник ADCE. Но сумма противоположных углов всякого вписанного четырехугольника, как известно, равна 1800, поэтому

(2)

Сравнивая равенства (1) и (2), получим , откуда получаем равенство ,

Означающее, что угол АЕС, являющийся внешним углом треугольника ВСЕ, равен одному из внутренних углов этого же треугольника, а именно углу АВС, не смежному с этим внешним. Получилось противоречие с известной теоремой о свойстве внешнего угла треугольника.

8.  Неточное использование правил и формулировок

«В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру» (Геометрия 7 класс)

В произвольной окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению.

Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому

АВ=СЕ,

т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды.

9. Ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами

«Сумма слагаемых изменяется от перегруппировки слагаемых» (Алгебра 9 класс)

Рассмотрим сумму бесконечного числа слагаемых, поочередно равных плюс единице и минус единице:

, (1)

И попробуем найти значение этой суммы.

Сначала поступим следующим образом. Будем объединять слагаемые в пары, начиная со второго слагаемого, ставя перед каждой парой знак «минус»:

Теперь переставим каждое положительное слагаемое той же суммы (1) на место отрицательного и обратно, тогда получим

Итак, по-разному переставляя слагаемые суммы (1), мы пришли к различным значения суммы: 1 и -1. Значит, сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места.

Заключение

Целью нашей работы было: исследовать математические софизмы, показать их значимость при изучении математики.

Мы считаем, что данной цели мы достигли, так как в ходе работы мы:

·  познакомились с очень увлекательной темой, о которой раньше даже ничего не слышали;

·  узнали много интересного;

·  научились решать некоторые софизмы, находить в них ошибки;

·  рассмотрели различные классификации математических софизмов;

·  составили свою классификацию математических софизмов, основанную на характере «прячущихся» в них ошибок;

·  познакомили своих одноклассников с данной темой.

В результате мы пришли к следующим выводам:

1.  Разбор софизмов развивает логическое мышление. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.

2.  Разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается.

3.  Разбор софизмов увлекателен. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем самым как бы восстановить истину в её правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

4.  Софизмы надо изучать в школе, так как способность выявлять ошибки, приводящие к неверным выводам, пригодится нам в будущем и этому надо учиться сейчас.

Работу по данной теме мы бы хотели продолжить в дальнейшем, так как встретили много софизмов, разобраться в которых пока не смогли из-за недостаточного багажа знаний по математике. Так же мы планируем выступить по данной теме перед учащимися 7-8 классов школы, так как «предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев, сделать его немного занимательным». (Б. Паскаль)

Литература

1.  Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Книга для учащихся 7-11 кл. / , .- М.: Просвещение,2003.

2.  Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы. /. – М. :Омега, 1994.

3.  Математические головоломки и развлечения. / Мартин Гарднер.: М.: Оникс, 1994.

4.  http://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC#.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE. D1.80.D0.B8.D1.8F

5.  http://stepanov. /gardner/hex/hex14.html

Приложение

Деление на 0.

1. «Неравные числа равны» (Алгебра 7 класс)

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-Ь = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим (а-b)2 = = c(a-b), a раскрыв скобки, придем к равенству a2-2ab + b2 = = ca-cb, из которого следует равенство а2- аb - ас = аb -b2 -bc. Вынося общий множитель а, слева и общий множитель b справа за скобки, получим

а(а-b-с) = b(а-b-с). (1)

Разделив последнее равенство на (а-Ь-с), получаем, что a=b, значит, два неравных между собой произвольных числа равны.

2. «Единица равна нулю» (Алгебра 7 класс)

Возьмем уравнение

х-а = 0. (1)

Разделив обе его части на х-а, получим

откуда сразу же получаем требуемое равенство

1=0.

3. «Всякое число равно своему удвоенному значению»(Алгебра 7 класс)

Запишем очевидное для любого числа а тождество

а2-а2 = а2-а2.

Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разло­жим на множители по формуле разности квадратов, получив

а(а - а) = (а + а)(а - а). (1)

Разделив обе части на а-а, получим а = а + а, или

а =2а.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

4. «Единица равна минус единице» (Алгебра 7 класс)

Пусть число х равно 1. Тогда можно записать, что х2=1, или х2-1 = 0. Раскладывая х2-1 по формуле разности квад­ратов, получим

(х+1)(х-1) = 0. (1)

Разделив обе части этого равенства на х-1, имеем

х + 1 = 0 и х = -1. (2)

Поскольку по условию х = 1, то отсюда приходим к равенству

1 = -1.

5. «Если одно число больше другого, то эти числа равны» (Алгебра 7 класс)

Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что т>п, и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых рав­на d, т. е. a + b + c = d.

Умножив обе части этого равенства на m, а затем на n, получим

ma + mb + mc = md, na + nb + nc = nd.

Сложив почленно равенства та + mb + тс = md , nd = na + nb + nc, получим

ma + mb + mc + nd = na + nb + nc + md. Перенося здесь nd вправо, a md влево, имеем

та + mb + mc - md= na + nb + nc - nd,

а вынося слева число т, а справа число п за скобки, при­дем к соотношению

т(а + b + с - d) = п (а + b + с - d), (1)

откуда, разделив обе части последнего равенства на (а + b + c-d), находим, что m= n.

Неправильные выводы из равенства дробей

1.  «Семь равно тринадцати» (Алгебра 8 класс)

Рассмотрим уравнение

(1)

Решим его, приведя левую часть уравнения к общему знаменателю

(2)

Поскольку числители дробей в левой и правой частях уравнения равны, то для того чтобы имело место равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству 7=13

2.  «В любом прямоугольном треугольнике катет больше гипотенузы» (Геометрия 8 класс)

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник АВС и докажем, что его катет АС больше гипотенузы ВС.

Для этого запишем два очевидных равенства

Из которых вытекает, что

Разделим это равенство на , получим равенство , (1)

в котором в левой дроби числитель ВС+АС больше знаменателя , так как положительная величина всегда больше отрицательной. Поэтому, для того чтобы имело место равенство (1), необходимо, чтобы и в правой его части выполнялось неравенство , откуда , или , или,

, т. е. в любом прямоугольном треугольнике катет больше гипотенузы.

Неправильное извлечение квадратного корня из квадратного выражения

1.  «Единица равна двум» (Алгебра 8 класс)

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости ра­венства

1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 + = 4-6+,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:

1-=2-

откуда следует, что 1=2.

2. «Любые два неравных числа равны» (Алгебра 8 класс)

Возьмем два произвольных, не равных друг другу числа х и z и обозначим их сумму числом а, т. е. x + z = a. Умножив обе части этого равенства на x-z, получим (x + z)(x-z) = a(x-z), раскроем в обеих частях равенства скобки: x2-z2 = ax- az.

Перенесем ах из правой части равенства в левую, a z2 из левой части в правую. В результате получим

x2-ax = z2-az.

Прибавляя к обеим частям последнего равенства число , будем иметь

или, замечая, что слева и справа стоят полные квадраты, получим

а извлекая из обеих частей последнего равенства квадрат­ные корни, придем к выражению

Так как вторые члены слева и справа в этом равенстве рав­ны, то заключаем, что x=z.

3.«Половина любого числа равна половине ему противоположного» (Алгебра 8 класс)

Возьмем произвольное число а и положим . Тогда

2х + а = 0 или после умножения на а получим 2ах + а2 = 0. При­бавляя к обеим частям этого равенства х2, имеем

х2 + 2ах + а2 = х2.

Так как х2 + 2ах+а2 = (х + а)2, то предыдущее равенство мож­но записать в виде

(х + а)2 = х2, (1)

а после извлечения квадратного корня из обеих частей по­следнего равенства получаем

х + а = х. (2)

Поскольку по условию , то из равенства (2) имеем , и поэтому получаем окончательно .

4.  «Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю» (Алгебра 8 класс)

Возьмем произвольное не равное нулю число а и напишем уравнение х = а. Умножая обе его части на (-4а), получим -4ах = -4а2. Прибавляя к обеим частям последнего равенст­ва х2 и перенеся член -4а2 влево с противоположным зна­ком, получим х2-4ах + 4a2 = х2, откуда, замечая, что слева стоит полный квадрат, имеем

(х-2а)2 = х2, (1)

или

х-2а = х. (2)

Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а, по­лучим

а-2а = а, или -а = а, откуда 0 = a + a,

т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0.

Проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла

«Все числа равны нулю» (Алгебра 8 класс)

Возьмем произвольное действительное число а и составим квадратное уравнение (1)

Умножая обе части этого уравнения на , получим , а затем к правой и левой частям полученного уравнения прибавим , так что получим выражение , в левой стороне которого легко узнается формула куба разности двух чисел, следовательно, . Извлекая из обеих частей полученного уравнения кубический корень, получаем , откуда следует а=0, что означает равенство всех чисел нулю.

Неравносильный переход от одного неравенства к другому

1.  «Всякое положительное число является отрицательным» (Алгебра 8 класс)

Пусть п — положительное число. Очевидно,

2n-1< 2n. (1)

Возьмем другое произвольное положительное число а и ум­ножим обе части неравенства на (-а):

-2ап + а<-2ап. (2)

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину (-2аn), получим неравенство а<0, доказывающее, что

всякое положительное число является отрицательным.

2.  «Число, равное другому числу, одновременно и больше и меньше его.» (Алгебра 8 класс)

Возьмем два произвольных положительных равных числа а и b и напишем для них следующие очевидные неравенства:

а>-b и b>-b. (1)

Перемножив оба эти неравенства почленно, получим нера­венство ab>b2 ,а после его деления на b, что вполне закон­но, так как по условию b>0, придем к выводу, что

а>b. (2)

Записав же два других столь же бесспорных неравенства

b>-а и а>-а, (3)

аналогично предыдущему получим, что bа>а2, а разделив на а>0, придем к неравенству

а<b. (4)

Итак,

число а, равное числу b, одновременно и больше, и меньше его.

Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам

1.  «Окружность имеет два центра» (Геометрия 8 класс)

Построим произвольный угол АВС и, взяв на его сторонах две произвольные точки D и Е, построим из них перпендикуляры к сторонам угла.

Обозначим точку пересечения перпендикуляров буквой F.

Через три точки D, E, F проводим окружность, что всегда возможно, так как эти три точки не лежат на одной прямой. Соединив точки H и G (точки пересечения сторон угла АВС с окружностью) с точкой F , получим два вписанных в окружность прямых угла GDF и HEF.

Итак, мы получили две хорды GF и HF, на которые опираются вписанные в окружность прямые углы GDF и HEF .Но в окружности вписанный прямой угол всегда опирается на ее диаметр, следовательно, хорды GF и HF представляют собой два диаметра, имеющие общую точку F, лежащую на окружности.

Поскольку эти две хорды, являющиеся, как мы установили, диаметрами, не совпадают, то, следовательно, точки О и О1 , делящие отрезки GF и HF пополам представляют собой не что иное, как два центра одной окружности.

2.  «Шестьдесят рано пятидесяти восьми» (Геометрия 8 класс)

Возьмем бумагу в клетку построим на ней равнобедренный треугольник с основание, равным 10 клеткам, и высотой, равной 12 клеткам. Понято, что площадь такого треугольника равна (клеток).

Разрежем этот треугольник вдоль прямых, показанных на рисунке а).

Теперь составим из разрезанных частей тот же треугольник, но в другом порядке, как показано на рисунке б). Легко видеть, что площадь нового треугольника будет равна теперь 58 клеткам, тат как незаполненными окажутся две клеточки. Отсюда, следует, что 60=58.

3. « 64 см2=65 см2» (Геометрия 8 класс)

Возьмем квадрат со стороной 8 см и разрежем его на четыре части: две трапеции и два прямоугольных треугольника, как показано на рисунке а).

Укладывая эти части в другом порядке, а именно, как показано на рисунке б), получим прямоугольник со сторонами 13 см и 5 см. Площадь этого прямоугольника равна см2, в то время как площадь первоначально взятого квадрата равнялась см2, т. е.

64 см2=65 см2

Неточное использование правил и формулировок

«Дважды два равно пять» (Математика 6 класс)

Рассмотрим очевидное равенство 4:4=5:5

После вынесения за скобки общего множителя из каждой части этого равенства будем иметь:

Зная, что 1:1=1, получаем, что 4=5, и следовательно