Программа элективного курса по математике для предпрофильной подготовки учащихся 8-х, 9-х классов «Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы»
Составитель: , учитель математики МОУ «Средняя общеобразовательная школа №3 г. Надыма»
Будущий математик, как и каждый человек, учится при помощи практики и подражания… Ему следует решать задачи, выбирая те, которые соответствуют его интересам, размышлять над их решением и изобретать новые задачи.
Дьердь Пойа
Пояснительная записка
Основной задачей модернизации российского образования является обеспечение нового качества школьного образования, соответствующего требованиям изменившейся системы общественных отношений и ценностей.
В рамках реализации профильного обучения и его начальной составляющей - предпрофильной подготовки возникла необходимость создания элективного курса по математике для 8-х, 9-х классов «Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы».
Данная программа предусматривает развитие целостной математической составляющей картины мира, расширение возможностей учащихся по свободному выбору своего образовательного пути, создает условия для формирования мировоззрения, логической и эвристической составляющих мышления. Элективный курс позволяет учащимся овладеть различными умениями, навыками, приемами для решения задач повышенного уровня сложности по математике.
Задачи с параметрами относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. В школьных учебниках по математике таких задач недостаточно. Решение уравнений, неравенств и систем с параметрами практически не представлены в школьном курсе математики, поэтому методы их решений учащимся неизвестны. Между тем такие задачи встречаются в контрольных измерительных материалах государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования. Результаты прохождения экзаменационных испытаний, показывают, что задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.
Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачи не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при которых методы решения существенно отличаются друг от друга. Даже при записи ответа нужно быть предельно сосредоточенным, чтобы не упустить ни одной из его частей, полученных в ходе решения. Подчас задачи с параметрами требуют довольно тонких логических рассуждений.
Учиться решать задачи с параметрами нужно, начиная с линейных и квадратных уравнений, неравенств и систем. Поэтому, считаю необходимым, ввести данный элективный курс в 8 классе (17 часов) и продолжить его изучение в 9 классе (17 часов).
Курс ориентирован на категорию учащихся, способных осваивать предмет математики на повышенном уровне, проявляющих интерес к изучаемому предмету, имеющих дальнейшей целью выбор информационно-технологического, физико-математического профилей.
Курс также может быть использован и в 10-х, 11-х классах при подготовке старшеклассников к единому государственному экзамену (ЕГЭ).
Учащиеся, изучившие данный курс, смогут реализовать полученные знания и умения на экзаменах, в частности формата ЕГЭ. Освоив методы и приемы решения задач с параметрами, школьники успешно справятся с олимпиадными задачами.
Ценность задач данного элективного курса – демонстрация их общности с точки зрения исследования и анализа реальных процессов средствами математики.
Данный элективный курс имеет прикладное и практическое значение и поможет учащимся в дальнейшем при проведении различных исследований, изучении физических процессов и геометрических закономерностей.
Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе решения задач с параметрами в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия.
Цель курса: расширение математических представлений учащихся о приёмах и методах решения задач с параметрами.
Задачи:
углубить знания по математике, путём изучения и систематизации аналитических и графических методов решения задач с параметрами; познакомить с различные приемы и методами решения и исследования задач с параметрами; научить решать стандартные и нестандартные задачи по математике, используя различные приемы и методы решения и исследования вычислительных и логических задач с параметрами; выявить и развить математические способности, логическое и творческое мышление; повысить математическую культуру школьников; развивать познавательную деятельность, интеллектуальные и коммуникативные качества учащихся через организацию исследовательской и проектной деятельности; помочь учащимся в выборе профиля на старшей ступени обучения.Особенности курса
Программа курса имеет модульный характер, т. е. порядок прохождения отдельных тем может быть изменён. Доминантной формой учения должна стать исследовательская деятельность ученика, которая может быть реализована как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. Все занятия должны носить проблемный характер и включать в себя самостоятельную работу. Успешность усвоения курса определяется преобладанием самостоятельной творческой работы ученика. Такая организация занятий способствует реализации развивающих целей курса
Содержание программы элективного курса включает три части – теоретическую, практическую и проектную.
В теоретической части учащиеся знакомятся:
· с методами решений уравнений неравенств и их систем, содержащих параметры;
· с алгоритмами решения таких задач;
· с классификацией задач в математике;
· с рациональными путями поиска решений задач.
Практическая часть направлена на понимание и применение приемов и методов решения и исследования параметрических заданий, их освоение. В основном представлены задачи двух типов:
1) найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения (неравенства, системы) удовлетворяют заданному условию;
2) для каждого значения параметра найти все решения уравнения (неравенства, системы).
При выполнении проектных заданий учащиеся должны показать умения составлять и представлять реферат, сообщение, исследовательское задание.
Методы обучения:
- исследовательский метод; частично-поисковый.
Формы организации занятий:
- лекция, сопровождающаяся беседой с учащимися;
- семинары по обсуждению теории;
- практикумы по решению задач.
Формы организации работы: индивидуальная, групповая. Самостоятельная работа организуется через:
- работу с дидактическими материалами, электронными образовательными ресурсами; решение задач с последующей проверкой и разбором нескольких вариантов решения; подготовку сообщений, защиту решений и исследовательских работ.
Используемые технологии:
- информационно-коммуникационные технологии; технология уровневой дифференциации; проблемное обучение; развивающее обучение; индивидуальное обучение.
Требования к знаниям учащихся
В результате изучения курса учащиеся должны иметь представление о параметрических уравнениях, неравенствах и их системах.
Учащийся должен знать:
- понятие параметра;
- что значит решить уравнение, неравенство и систему с параметром;
- приемы и методы решения задач с параметрами;
- зависимость количества решений уравнений, неравенств и систем от значений параметра;
- свойства функций в задачах с параметрами.
Учащийся должен уметь:
- различать в уравнениях (неравенствах, системах) параметр и неизвестное;
- решать линейное, квадратное уравнение (неравенство, систему) с параметром;
- применять аналитический и функционально-графический способы решения задач с параметром;
- выбирать и записывать ответ;
- исследовать линейную и квадратичную функцию.
Ожидаемые результаты
Программа элективного курса считается усвоенной учеником, если:
1. удовлетворительно выполнен тематический контроль, организованный в виде тестов или домашних заданий;
2. удовлетворительно выполнена итоговая работа;
3. посещено не менее 80% занятий;
4. успешно проведена защита реферата (проекта) по одной из тем курса. Проекты могут быть выполнены как индивидуально, так и группой учащихся.
Учебно-тематический план курса
8 класс
№ п/п | Название темы | Количество часов | Форма проведения | Образовательный продукт | Форма контроля |
1 | Вводное занятие. Что такое параметр? | 1 | Лекция | Конспект | Тренировочный тест |
Функционально-графический метод решения линейных уравнений с параметром (2 часа) | |||||
2 | Линейная функция. Прямая пропорциональность | 1 | Семинар | Конспект | Кластер (интелект-карта) |
3 | Решение линейных уравнений | 1 | Практикум | Подборка заданий по теме | Самостоятельная работа |
Линейные уравнения с параметром и уравнения, сводящиеся к ним (4 часа) | |||||
4 | Введение. Блок-схемы решения линейных уравнений | 1 | Лекция | Блок-схема | Самостоятельная работа в группах |
5 | Способы решений линейных уравнений с параметром. | 1 | Обзорная лекция | Опорный конспект | Самостоятельная работа в группах |
6 | Решение уравнений с параметрами, сводящихся к линейным | 1 | Семинар | конспект Типовые задания | Самостоятельная работа |
7 | Итоговое занятие по теме «Решение линейных уравнений с параметром» | 1 | Практикум | Подборка заданий по теме | Самостоятельная работа |
Системы линейных уравнений с параметром (3 часа) | |||||
8 | Совместные и несовместные системы уравнений. Блок-схемы нахождения количества решений системы линейных уравнений | 1 | Обзорная лекция | Конспект | Тест |
9 | Составление блок-схемы взаимного расположения двух прямых | 1 | Практикум | Подборка заданий по теме | Самостоятельная работа |
10 | Решение систем линейных уравнений с параметрами | 1 | Практикум | Задания исследования | Самостоятельная работа в группах |
Линейные неравенства с параметром (3 часа) | |||||
11 | Стандартный вид линейного неравенства. Блок схемы возможных ситуаций при решении линейных неравенств | 1 | Семинар | Блок-схемы | Тест |
12 | Исследование линейных неравенств | 1 | Практикум | Рекомендации | Самостоятельная работа |
13 | Аналитический вид линейного неравенства | 1 | Практикум | Исследовательская работа | Тест |
Системы линейных неравенств (3 часа) | |||||
14 | Алгоритм решения систем линейных неравенств | 1 | Лекция | Опорный конспект | |
15 | Исследование систем линейных неравенств | 1 | Работа в группах | Типовые задания | Самостоятельная работа в группах |
16 | Решение систем линейных неравенств | 1 | практикум | Задания исследования | Самостоятельная работа |
17 | Тест-контроль (1 час) | ||||
Итого | 17 | ||||
Учебно-тематический план
9 класс
№ п/п | Название темы | Количество часов | Форма проведения | Образовательный продукт | Форма контроля |
Квадратные уравнения (4 часа) | |||||
1 | Условия решения параметрических квадратные уравнения | 1 | Семинар | Блок-схема Опорные сигналы | Кластер (интелект-карта) |
2 | Теорема Виета | 1 | Практикум | Подборка заданий по теме | Самостоятельная работа в группах |
3-4 | Решение основных типов параметрических квадратные уравнения | 2 | Практикум | Подбор заданий из экзаменов | Тест-контроль |
Квадратные неравенства с параметром (2 часа) | |||||
5 | Исследование параметрических квадратных неравенств | 1 | Семинар | Блок-схемы | Тест |
6 | Решение параметрических квадратных неравенств | 1 | Практикум | Подборка заданий по теме | Самостоятельная работа |
Расположение корней квадратного трехчлена (4 часа) | |||||
7 | Условия расположения корней | 1 | Лекция | Блок-схема | Тест |
8-9 | Расположение корней относительно одной точки. Различные способы решений. | 2 | Практикум | Подборка заданий по теме | Самостоятельная работа в группах |
10 | Расположение корней относительно двух и более точек | 1 | Семинар | Типовые задания | Самостоятельная работа |
Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена (2 часа) | |||||
11-12 | Решение уравнений и неравенств. | 2 | Семинар | Задания исследования | Тест-контроль |
Системы квадратных уравнений и неравенств с параметрами (2 часа) | |||||
13 | Системы уравнений. Основные методы решений. | 1 | Лекция | Опорный конспект | |
14 | Системы неравенств | 1 | Практикум | Подборка заданий из вступительных экзаменов | Самостоятельная работа |
15-16 | Итоговые занятия | 2 | Практикум | Задания исследования | Тест-контроль |
17 | Итоговая конференция | 1 | Защита проектов, исследовательских работ | ||
Итого | 17 | ||||
Содержание курса 8 класса
Вводное занятие (1 час)Знакомство с целями и задачами курса. Вводная диагностика для определения уровня готовности к усвоению курса.
Определения понятия параметра, формы записи ответа в уравнениях в зависимости от значения параметра.
Функционально-графический метод решения линейных уравнений с параметром(2 часа)
Рассматриваются функциональный и графический методы решения линейных уравнений с параметром, влияние параметров на расположение графика линейной функции; анализируются рисунки графиков.
Линейные уравнения с параметром и уравнения, сводящиеся к ним (4 часа)Определение линейного уравнения с параметром. Схема исследования линейного уравнения. Основные типы линейных уравнений и алгоритм решения уравнении, сводящегося к линейному. Для закрепления знаний предлагается широкий круг заданий.
Системы линейных уравнений с параметром (3 часа)Определение системы двух линейных уравнений с двумя переменными в параметрах. Повторяются условия, при которых система линейных уравнений имеет единственное решение, бесконечное множество решений, не имеет решений. Знакомство с определителями системы, правилом Крамера. Составляются блок-схемы нахождения количества решений и взаимного расположения двух графиков. На конкретных примерах формируются умения определять число решений систем линейных уравнений с параметрами.
Линейные неравенства с параметром (3 часа)Определение линейного неравенства с параметром. Схема решения линейного неравенства. Аналитический метод исследования. Для закрепления знаний предлагается подбор линейных и дробно-линейных неравенств.
Алгоритм исследования и решения систем линейных неравенств. Графический способ решения.
Тест-контроль (1 час)Индивидуальные наборы заданий по изученным темам, представленных в форме теста.
Содержание курса 9 класса
Квадратные уравнения (4 часа)Определение квадратного уравнения с параметром. Соотношение между корнями квадратного уравнения. Схема исследования действительных корней квадратного уравнения. Теоремы Виета. Способы решений основных типов квадратного уравнения с параметром.
2. Квадратные неравенства с параметром (2 часа)
Определение квадратного неравенства с параметром. Схема исследования. Свойства квадратного трехчлена. Метод интервалов.
Расположение корней квадратного уравнения (4 часа)Схемы исследования расположение корней квадратного уравнения относительно заданной точки и заданного промежутка (отрезка, интервала, луча). Графический метод (метод «плавающей параболы»). Аналитические методы (непосредственное нахождение корней; использование формул Виета). Таблица расположение корней квадратного уравнения.
Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена (2 часа)Решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами, используя схему исследования расположения корней квадратного трехчлена.
Системы квадратных уравнений и неравенств с параметрами (2 часа)Определение системы двух квадратных уравнений (неравенств) с двумя переменными в параметрах. Что значит решить систему неравенств с одной переменной (несколькими переменными), содержащую параметры. Методы решения (метод подстановки; графический метод). Схема решения. Свойства симметрии относительно переменных.
Итоговые занятия (2 часа)Обобщение и систематизация знаний и умений по темам элективного курса. Отработка навыков решения уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств. Итоговый тестовый контроль.
Итоговая конференция (1 час)Защита проектов, исследовательских работ.
Литература для учителя
1. Козина 8-9 классы: сборник элективных курсов. Выпуск 1. – Волгоград: Учитель, 2007.
2. , Сильвестров и неравенства с параметрами: Учеб. Пособие. – Москва,2006.
3. , Иванов : Пособие для подготовки к ЕГЭ и поступлению в вузы. Учебное пособие – М.: Физматкнига, 2007.
4. Локоть с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы: Учебное пособие. – М.:АРКТИ, 2005.
5. Безрукова и контрольные работы по алгебре. − Волгоград: Учитель, 2003.
6. и др. Алгебра, учебник для 7, 8 классов. − М.: Просвещение, 2004 .
7. Задачи с параметром в итоговом повторении / Математика в школе №19, 2004.
8. и др. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. − М.: Дрофа, 2004.
9. и др. Алгебра. 9 класс. Пособие для самостоятельной подготовки к итоговой аттестации 2006. − Ростов-на-Дону; изд-во Легион; 2005.
10. и др. Алгебра, учебник для 7, 8 классов. − М.: Просвещение, 2004 .
11. и др. Алгебра, учебник для 7, 8 классов. − М.: Просвещение, 2004 .
12. и др. Разноуровневые тесты по алгебре. − М.: Книжный Дом, 2004 .
12. Шевкин уравнения с параметром. − М.: ТИД Русское слово, 2003 .
Литература для учащихся
1. и др. Алгебра, учебник для 7, 8 классов. − М.: Просвещение, 2004.
2. и др. Справочные материалы по математике. − М.: Просвещение, 1988.
3. Ершова -конспект по алгебре для 7, 8 классов. − М.: Илекса, 2004.
4. и др. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. − М.: Дрофа, 2004.
5. и др. Алгебра. 9 класс. Пособие для самостоятельной подготовки к итоговой аттестации 2006. − Ростов-на-Дону; изд-во Легион; 2005.
6. и др. Алгебра, учебник для 7, 8 классов. − М.: Просвещение, 2004.
7. и др. Алгебра, учебник для 7, 8 классов. − М.: Просвещение, 2004.
8. Энциклопедии по математике.
