Миф-2, № 4, 2005 (стр. 2 )

Предлагаемый методический материал содержит задачи с решениями по данной теме, взятые из вступительных экзаменов МИФИ, МФТИ, НГУ, МГУ, а также из статей, опубликованных в разные годы в журнале «Квант».

1. Построение изображений в линзах

Напомним вначале термины «передний фо­кус» и «задний фокус», которые помогают в лаконичной форме сфор­мулировать правила построения изо­бражений, единые для положительной и отрицательной линз. Зад­ним фокусом F' называется точка, в которой после преломле­ния сходятся лучи, падающие на линзу параллельно главной опти­ческой оси.

У собираю­щей (положительной) линзы задний фокус F' расположен за линзой (по ходу лучей), у рассеивающей (отри­цательной) — перед линзой (рис. 1, 2, 3). Если лучи вышли из линзы параллельно главной опти­ческой оси, значит, перед тем как встретиться с линзой, они пере­секались в переднем фокусе F. У собирающей линзы передний фокус F лежит перед линзой (по ходу лучей), у рассеивающей — за линзой.

При построении изображений в тонких линзах, как собирающих, так и рассеивающих, обычно ис­пользуют три характерных луча (рис.1):

1)  луч AAl, проходящий через оптический центр О линзы (побочная оптическая ось), идет через линзу не преломляясь, то есть ни изменяя своего направления;

2)  луч ВВ1, падающий на линзу параллельно главной оптической оси MN, преломившись, проходит через задний фокус F' линзы. Заметьте, что для рассеивающей линзы через F' проходит не сам преломленный луч, а его продолже­ние;

3)  луч CC1, проходящий через передний фокус F, после преломления идет параллельно главной оптической оси линзы.

Существует еще два правила, которыми бывает удобно пользоваться в некоторых случаях, в особенности, когда падающие на линзу лучи не параллельны главной оптической оси.

Передний F и задний F' фокусы расположены симметрично относительно плоскости тонкой лин­зы. Плоскость, проходящая через фокус, называется фокальной плоскостью. Через передний фокус F проходит передняя фо­кальная плоскость, через задний F' — зад­няя.

1) лучи, падающие на линзу параллельным пучком, после пре­ломления в линзе сходятся в зад­ней фокальной плоскости (рис. 2);

2) лучи, выходящие из линзы параллельным пучком, до встречи с линзой пересекались в передней фокальной плоскости (рис. 3).

Еще раз обращаем внимание на то, что все эти правила применимы только для параксиальных лучей (то есть лучей, угол падения которых на линзу очень мал, а значит, сами лучи очень близки к главной оп­тической оси).

Примеры использования приведенных правил построения изображений в задачах

Задача 1. Зная расположение предмета А и изображения А' отно­сительно главной оптической оси MN линзы, найти построе­нием положение фокусов линз. Рассмотрите два случая, таких, какие представлены на рис. 4а и 4б.

Решение. 1. Проведем прямую через точки А н А' до пересечения с осью MN. Точка пересечения этой прямой с осью MN дает центр линзы О (рис. 5). Перпен­дикуляром к оси MN, восстановленным из точки О, определяем положение плоскости линзы.

2. Проводим луч АВ, параллельный оси MN, до плоскости линзы. После преломления в линзе он должен пройти через заданную точку А' и задний фокус F' линзы. Проводим через точки А' и В прямую до пересечения с осью MN. Полученная точка на оси MN и есть задний фокус F' линзы.

3. Определяем тип линзы. Если F' лежит за линзой (рис. 5, а) — линза собирающая, если перед лин­зой (рис. 5, б) — рассеивающая.

4. Сим­метрично F' относительно линзы рас­положен передний фокус F. Отметим эту точку на оси MN.

5. Проверим правильность построения. Для этого проведем луч АС через точку А и передний фокус F до пересечения с плоскостью линзы. Если после преломления в линзе этот луч попа­дает в точку А', построение выполнено верно.

Задача 2. На рисунке 6 изо­бражен луч, вышедший из рассеиваю­щей линзы. Построить ход луча до линзы.

Решение. 1. Проведем переднюю фокальную плоскость через передний фокус F.

2. Через центр линзы проведем побочную оптическую ось параллельно лучу, вышедшему из линзы (рис. 7).

3. Лучи, идущие пос­ле линзы параллельным пучком, до встречи с линзой пересекались в ее передней фокальной плоскости (рис. 3б). Сое­динив точку А, в которой побочная ось пересекается с передней фокаль­ной плоскостью, и точку В, в которой вышедший луч пересекается с плос­костью линзы, определим направ­ление падающего луча СВ.

С помощью собираю­щей линзы получен сходящийся пучок лучей. Как пойдут лучи, если на пути пучка поставить рассеивающую лин­зу (рис. 8)?

Решение. 1. Проведем побочную оптическую ось, параллельную верхнему лучу пучка (рис. 9) и отметим точку А пересечения этой оси с задней фокальной плоскостью рассеивающей линзы.

2. Параллельные лучи (данный верхний луч и побочная ось) после линзы пересекаются в ее зад­ней фокальной плоскости, то есть в точке А (рис. 2а).

3. Продолжим прямую АВ и найдем ход верхнего луча за линзой.

4. Симметрич­но построим нижний луч пучка.

Задача 4. Рассеивающую лин­зу с известным расположением фо­кальных плоскостей распилили по диаметру. Половинки раздвинули по вертикали на расстояние h друг от друга (рис. 10). Построить изображения точки А, лежащей на оси симметрии системы.

Решение. 1. Каждая половина линзы дает свое изображение точки А. Сначала по­строим изображение точки А в верхней поло­вине линзы. Главная оптическая ось М1N1 верхней половины прохо­дит через срез линзы параллельно оси симметрии системы, 01- оптический центр верхней части, А01 - ее по­бочная оптическая ось (рис. 11).

2. Проведем произвольный луч АВ, падающий из точки А на верхнюю часть линзы, и параллельную ему побочную оптическую ось CD. После преломления в линзе параллельные лучи пересекаются в задней фокальной плоскости в точке E (рис. 3б). Точка пересече­ния прямых BE и АО1 определяет положение изображения А'.

3. Нижняя часть линзы дает симмет­рично расположенное изображе­ние А".

Задача 5. Построить изображение предме­та АВ в рассеивающей линзе. Положения фокусов указаны на рисунке 12.

Краткое решение. Проведем побочную оптическую ось АО (рис.13). Луч АС, параллельный главной оптической оси, после встречи с линзой проходит через задний фокус. Пересечение прямых АО и CF' дает точ­ку А' - изображение точки А.

Аналогич­но находим точку В' - изображение точ­ки В. Соединив точки А' и В, получим изображение предмета.

Задача 6. После рассеивающей линзы пучок лучей сошелся в точке А (рис.14). На­чертить ход лучей до линзы.

Краткое решение. Побочная оптическая ось ОD, па­раллельная верхнему лучу пучка, пере­секает переднюю фокальную плоскость в точке D (рис.15). Лучи ВА и OD, вышедшие из линзы параллельно друг другу, до встречи с ней пересекались в передней фокальной плоскости линзы; следователь­но, продолжение прямой BD определяет ход луча ВА до линзы. Аналогично найдем входящий луч, соответствующий выходя­щему лучу СА.

Задача 7. Рассеивающую линзу распилили, как показано на рисунке 16 а, середину удалили, а оставшиеся части сдвинули вплотную. Построить изображение предмета А, лежащего на оси симметрии опти­ческой системы (рис. 16 б).

Краткое решение. Части линзы работают так же, как целая линза. Рассмотрим верхнюю часть линзы. Главная оптическая ось М1N1 верхней части сложной линзы сме­щена вниз на расстояние d относительно оси симметрии системы; О1- ее оптический центр, АО1 - побочная опти­ческая ось верхней части линзы. Луч АВ, параллельный оси М1N1, после встречи с линзой идет через задний фокус F1' верхней части линзы. Пересечение пря­мых ВF1' и AО1 дает положение изобра­жения А', образованного верхней частью сложной линзы.

Нижняя часть линзы дает симметрично расположенное изображение А".

2. Построение изображений в зеркалах

2.1. Построение изображения в плоском зеркале

Аналогично построению изображения точки в линзе, при построении изображения точки в плоском зеркале необходимо использовать не менее двух лучей. Согласно законам отражения падающий на зеркало луч отразится от него под таким же углом. Изображение точки будет образовано не самими лучами, а их продолжением, значит, плоское зеркало дает мнимое изображение предмета (рис. 17).

Для построения достаточно из данной точки провести два любых луча до поверхности плоского зеркала и построить отраженные под такими же углами лучи. Точка пересечения продолжения этих лучей и будет изображением данной точки в плоском зеркале. Обратите внимание на то, что изображение в плоском зеркале симметрично самому предмету.

2.2. Построение изображений в сферических зеркалах

Сферическим зеркалом называют поверхность тела, имеющего форму сферического сегмента и зеркально отражающую свет. Центр сферы, из которой вырезан сегмент, называется оптическим центром зеркала (точка 0). Вершину сферического сегмента называют полюсом зеркала - точка Р (рис. 18).