Миф-2, № 4, 2005 (стр. 5 )

Тогда ВС » R a » R×g (2 – n) /n. Отсюда видно, что при n > 2, ВС> 0, то есть фокус лежит за пределами шара. Из DОВF получаем, что ÐОВF=(180°- a-j)=(180°-g), откуда j = g - a = g - (2b - g)=2 (g - b )» 2 (g - g /n) » 2g (n-1)/n. Тогда f=R+CF=R+BC/j» » R+ ». То есть расстояние f действительно зависит от показателя преломления шара n. Проанализируем эту зависимость.

Если n = 2, ВС = 0, фокус лежит на поверхности шара, то есть f = R.

Если n< 2, фокус лежит внутри шара. Тогда

f = ОF » CF-R. ÐСАF = 90°- g + b;

ÐСFА = 90°-(90°- g +b)=(g - b).

CF = АС×Ctg (g - b) » АС/ (g - b) » Rg /(g - b) . А так как b »g/n, то

f = . Ответ: при n>2 f»; при n = 2, f = R; при n< 2 f ».

Задача 23. Шар из оптически про­зрачного материала помещен в парал­лельный пучок света (рис.37). Угол падения одного из лучей на поверхность шара j = arctg(4/3), а угол его отклонения от первоначального на­правления после двух преломлений на поверхности шара q = 2arctg(7/24). Найдите показатель преломления ма­териала шара.

Решение. Луч света А1 (рис. 38), падающий на шар под углом j, проходит в шаре по линии АВ, составляющей углы b с радиусами АО и ВО, так, что Sin j/ Sin b = n. Для выходящего из шара луча В2 имеем

Sin b/ Sin g = 1/n. Рассмотрим треугольник ABC. Оче­видно, что он равнобедренный и угол q является его внешним углом; следо­вательно, q = 2(j - b) = 2 arctg 7/24, или tg (j - b) = 7/24. Отсюда, так как tg ( j - b) = (tg j - tg b)/(1 + tg j tg b), получим tg b = 3/4. Показатель преломления равен: n =.

Ответ: Показатель преломления шара равен n = .

Задача 24. В центре собирающей линзы с оптической силой 1 дптр закреплен заряд Q. Вдоль главной оптической оси линзы к нему из бесконечности (рис. 39) приближается шарик массой 20 г с зарядом q = 5 мкКл с начальной скоростью 3 м/с. Определить, при каком значении заряда Q заряженное тело остановится в тот момент, когда его изображение совпадет по размерам с ним самим.

Решение. Изображение совпадет по размерам с ним самим в тот момент, когда шарик попадет в точку 2F линзы. F = 1/D, где D – оптическая сила линзы. Потенциал электрического поля в этой точке равен . Тогда по закону сохранения и превращения энергии кинетическая энергия движущегося заряда в этой же точке может быть определена как или . Отсюда = 4 мкКл. Ответ: заряд Q = 4 мкКл.

Задача 25. На главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F находится плоское зеркальце, вращающееся с угловой скоростью w вокруг оси, перпендикулярной главной оптической оси линзы. На зеркальце падает параллельный пучок лучей, который после отражения фокусируется на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы. Найти скорость светового пятна на экране в момент, когда оно проходит фокус линзы.

Решение. Пусть в начальный момент времени угол между оптической осью линзы и перпендикуляром к поверхности зеркальца равен a (рис. 40). Отраженные от зеркальца лучи параллельны главной оптической оси линзы и световое пятно находится в точке В.

Через некоторый промежуток времени Dt зеркальце повернулось на угол Da=wt, отраженные лучи повернутся на угол 2Da и светлое пятно сместится в точку С (рис. 41).

Тогда смещение светлого пятна равно

ВС=ОВ×tg2Da=Ftg2Da=2F×Da (ввиду малости углов tg2Da » 2Da), а скорость перемещения его V = .

Ответ: V = 2Fw.

Задача 26. Точечный источник света S расположен на расстоянии d = 40 см от собирающей линзы на ее главной оптической оси. Оптическая сила линзы D = 5 дптр. При повороте линзы на некоторый угол относитель­но оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через оптичес­кий центр линзы, изображение источ­ника сместилось на Dl = 10 см. Найди­те угол поворота линзы.

Решение. Изображение S* источника (рис. 42) сначала расположено на главной оптической оси линзы на расстоянии f от линзы. По формуле тонкой линзы, , откуда находим = 0,4 м. При повороте линзы на угол a ее главная оптическая ось тоже повора­чивается на угол a, а изображение (St*) смещается на Dl. Из рисунка 42 видно, что d1=dcosa и f1=(f + Dl)cosa. Формула линзы в этом случае примет вид .

Отсюда cоs a = 0,9; a = arc cos 0,9.

Ответ: угол поворота линзы равен a = arc cos 0,9 ≈ 300.

Задача 27. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фо­кусным расстоянием F = 20 см распо­ложено плоское зеркальце на рас­стояние L = 3F от линзы (рис. 43). Зеркальце вращается с угловой ско­ростью w =0,1с-1 вокруг оси, пер­пендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку А. На рас­стоянии d = 5F/4 от линзы находит­ся точечный источника света S. На каком расстоянии от точки А полу­чится изображение источника в сис­теме линза — зеркальце в результате однократного прохождения лучей от источника через линзу? Найдите ско­рость (модуль и угол между вектором скорости и главной оптической осью) этого изображения в момент, когда угол между плоскостью зеркальца и главной оптической осью a = 60°.

Решение. Построение изображения источника в данной оптической системе показано на рисунке 44. Здесь S1, - изображение источника, даваемое линзой, S2 —изоб­ражение «источника» S1, в зеркальце. Из формулы линзы находим: . Из соображений симметрии AS2 = AS1, a AS1 = f - L. Отсюда на­ходим искомое расстояние:AS2 = f - L = 2F = 40 см. Вектор скорости изображения пер­пендикулярен отрезку AS2 и с опти­ческой осью составляет угол . Модуль скорости изображения равен:

Ответ: модуль скорости изображения равен v= 8 cм/c.

Задача 28. В трубке длиной 80 см, закрытой со всех сторон, находится поршень с собирающей линзой, фокусное расстояние которой 19 см. Когда трубка неподвижна и горизонтальна, поршень стоит посередине, и давление газа в обеих частях трубки равно 200 Па. С каким ускорением нужно двигать трубку в горизонтальном направлении, чтобы изображение источника света, находящегося на одном торце трубки, оказалось на другом его торце? Масса поршня вместе с линзой 30 г, площадь сечения трубки 25 см2, трение отсутствует, температура постоянна.

Решение. При движении трубки с ускорением, поршень сдвигается в сторону, противоположную направлению движения, что изменяет объемы левой и правой частей трубки, а значит, и давление в них. С помощью формулы тонкой линзы определим соотношение объемов частей трубки, образовавшихся при ее движении: . Получили уравнение, из которого находим значение d и (L-d). Вычисления дают значения d =31 см, и (L-d)= 49 см (решение уравнения дает и другие значения: d = 49 см, и (L-d)= 31 см. Но к данному движению эти значения не подходят, так поршень сдвигается в сторону, противоположную движению).

Так как температура в течение всего времени не меняется, то для одной части трубки выполняется соотношение Р0 SL/2 =P1Sd; P1= Р0 L/2d.

Аналогично для другой части трубки P2= Р0L/2(L-d). Динамическое уравнение для поршня имеет вид: P1S - P2S = ma. Отсюда = 7,8 м/с2.

Ответ: а =7,8 м/с2.

Проверьте себя

1.  Тонкая собирающая линза с фокус­ным расстоянием F = 15 см прикреплена к стенке аквариума, заполненного водой (n = 4/3). На линзу под углом a падает параллельный пучок света. Известно, что луч, прошедший сквозь линзу на расстоя­нии h от ее оптического центра, не изменя­ет своего направления. Найдите угол a, если h = 5 мм.