Методы анализа чувствительности для моделей фильтрации и массопереноса в подземной гидросфере (стр. 2 )

Апробация работы

Разработанные методики анализа чувствительности и погрешности численных моделей были апробированы при проведении реабилитационных работ на:

-  площадке ВХРАО на территории РНЦ «Курчатовский институт»;

-  территории действия системы инженерной защиты г. Казани от подтопления;

-  площадке Hanford 100H (штат Вашингтон, США).

Основные результаты работы докладывались на международной конференции «FEM-MODFLOW» (Чехия, г. Карловы Вары, 2004), семинаре CETAMA «Отбор проб и характеризация «От отбора проб до анализа» (Франция, г. Монпелье, 2005), XI всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (г. Новороссийск, 2005), Третьей Курчатовской молодежной школе (Москва, РНЦ «Курчатовский институт», 2005), международной конференции «Моделирование процессов миграции радионуклидов в окружающей среде и вопросы развития метабаз данных для объектов Советского ядерного комплекса (РАДЛЕГ-РАДИНФО-2005)» (Москва, 2005), Второй всероссийской конференции «Современные проблемы изучения и использования питьевых подземных вод» (г. Звенигород, 2006).

Личный вклад автора

Автор участвовал в постановке и решении основных задач диссертации. С участием автора были разработаны численные модели переноса радиоактивного загрязнения в районе площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт» на основе программных модулей MODLOW и MT3DMS и численная геофильтрационная модель работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани. Личный вклад автора состоит в изучении и практическом использовании современных методов анализа чувствительности численных моделей, решении ряда задач по статистическому моделированию и анализу данных, разработке численной модели переноса радиоактивного загрязнения в районе площадки ВХРАО на основе программного пакета MARTHE и предложению нового подхода к анализу и верификации численных моделей фильтрации и массопереноса.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 8 – в соавторстве. Из них: 3 – в материалах и сборниках трудов международных конференций, 4 – в виде тезисов докладов на всероссийских конференциях, 2 – в реферируемых журналах, 2 – в иностранных журналах, 2 – в сборниках трудов научно-исследовательских институтов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 145 страниц, в том числе 38 рисунков, 34 таблицы. Список литературы включает 109 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

 

Во введении раскрывается актуальность темы диссертации, изложены основные цели и задачи диссертации, показана их практическая значимость, представлена структура диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации приведено краткое описание математических и численных моделей фильтрации и массопереноса в пористых средах, описаны теоретические основы методов локального и глобального анализа чувствительности, методы распространения погрешности, приведены различные показатели чувствительности, описаны цели и способы применения анализа чувствительности при калибровке параметров численных моделей со ссылками на соответствующие источники.

Процессы фильтрации и массопереноса в подземной гидросфере описываются уравнениями математической физики. Для их решения существуют широко используемые гидрогеологами программные модули – MODFLOW, VS2D, GMS, MARTHE, FEFLOW и др., в основу которых положены алгоритмы различных численных методов решения уравнений в частных производных. В разработку теоретических основ и численных методов решения задач фильтрации и массопереноса внесли серьезный вклад Я. Бэр, -Кочина, , В. Кинзельбах, , , и другие.

Процедура численного моделирования фильтрационных процессов в подземной гидросфере сопряжена с различными ошибками определения параметров и описания физических процессов, которые существенно влияют на достоверность результатов вычислений. Анализ чувствительности численных моделей позволяет оценить зависимость между входными и выходными параметрами модели, оценить погрешность результатов модельных вычислений и ответить на другие вопросы при калибровке входных параметров и верификации численных моделей.

Анализ чувствительности тесно связан с решением так называемых обратных задач – задач изучения свойств объектов или процессов, интерпретации результатов экспериментов по каким-либо измеренным значениям «косвенных» величин. Обратные задачи часто являются некорретными. В развитие методов решения обратных и некорректных задач внесли значительный вклад Ж. Адамар, , , и другие. Анализ чувствительности играет важную роль при решении обратных задач, обеспечивая исследователя вспомогательной информацией о типе зависимости между входными и выходными параметрами модели, наиболее «значимых» параметрах и проч.

Методы анализа чувствительности берут свое начало в теории возмущений, сформулированной в работах А. Пуанкаре и . Свой вклад в развитие математической теории возмущений внесли Ф. Реллих, , Т. Като, , Б. Секефальви-Надь, Ж.-Л. Лионс, ,  Дейк и другие. Активный интерес к теории малых возмущений и сопряженным уравнениям связан с развитием теории ядерных реакторов.  Вайнберга и Е. Вигнера так называемых простейших диффузионно-возрастных моделей переноса и замедления нейтронов были в дальнейшем обобщены в трудах , , и др.

Работы и его научной школы дали развитие теории сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений по отношению к заданным функционалам, в результате чего были выработаны более или менее общие подходы к исследованию сложных систем и математических моделей. Эти подходы успешно применялись для решения различных прикладных задач, включая проблемы диффузии, модели охраны окружающей среды, теорию климата и его изменений, математические проблемы обработки информации со спутников, математические модели в иммунологии и др.

Методы возмущений легли в основу решения серии прикладных задач, связанных с анализом зависимостей между входными и выходными параметрами численных моделей - так называемого локального анализа чувствительности. В последние 30 лет методы локального анализа чувствительности активно применяются при решении прикладных задач в сфере экономики, оценке техногенного влияния на окружающую среду и других областях. Эти подходы находят применение в большей степени в зарубежных исследованиях и в меньшей степени – в отечественных.

Методы возмущений широко применяются для исследования и численного решения различных прикладных задач. Тем не менее, разработка и обоснование алгоритмов возмущений для нелинейных задач математической физики являются актуальной проблемой, еще открытой для большинства прикладных задач.

Альтернативным методом исследования чувствительности для нелинейных моделей является так называемый глобальный анализ, предложенный . Метод основан на представлении функции многих параметров (математической модели) в виде суммы функций меньшего числа переменных со специальными свойствами.

Проблема представления функций в виде комбинации функций меньшего числа переменных берет свое начало с одной из задач, сформулированных Гильбертом еще в 1900 г., исследованием которой в разные годы занимались , , и другие.

Схожие задачи рассматривает , чьи исследования в области аппроксимации функций многих переменных суммой функций меньшего числа переменных позволили решить широкий ряд прикладных задач, включая освоение многомерной информации при управлении и принятии решений в области ядерной энергетики и ее экономики.

Глобальный анализ чувствительности модели основывается на так называемом ANOVA разложении функции, определенной и интегрируемой с квадратом в единичном n-мерном кубе:

,

где и при . При этом первый интеграл берется от 0 до 1 по всем переменным. На основе такого разложения модельной функции f строятся глобальные индексы чувствительности Si1…ik, называемые также индексами Соболя, которые характеризуют вклад дисперсии переменных xi1,…,xik в дисперсию функции f. Термин «дисперсия» происходит из вероятностного подхода к вычислению интегралов, входящих в индексы.

На практике для вычисления индексов чувствительности Соболя используется метод Монте-Карло, требующий значительного числа запусков модели для оценки каждого индекса. Таким образом, глобальный анализ чувствительности попадает в область статистических методов обработки данных. Это быстро развивающаяся в настоящее время область прикладной математики, в которой многими авторами уже создано большое количество подходов и методов. Среди таких авторов, например, , Н. Джонсон, Ф. Лион, Г. Крамер, , Ш. Закс, , и другие.

Для линейных моделей существует ряд простых статистических индексов, несущих ту же смысловую нагрузку, что и индексы Соболя.

Для практической реализации вычислений индексов Соболя в случаях, когда время каждого запуска велико, как в настоящей работе, модель можно заменить соответствующей ей поверхностью отклика – репрезентативной математической моделью изучаемого кода («метамоделью»), обладающей хорошими аппроксимационными свойствами и пренебрежимо малым временем единичного вычисления.