Порядок малости условных моментных функций приращения гауссова случайного процесса с переменным математическим ожиданием

А. М. ЛАВРОВ

Рязанская Государственная Радиотехническая Академия

ПОРЯДОК МАЛОСТИ УСЛОВНЫХ МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИРАЩЕНИЯ ГАУССОВА СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

С ПЕРЕМЕННЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЖИДАНИЕМ

Показано, от чего зависит число ненулевых слагаемых в правых частях обобщенных уравнений ФПК для гауссова случайного процесса с переменным мат. ожиданием, постоянной дисперсией и нормированной корреляционной функцией вида . Полученные результаты находят применение в некоторых характерных задачах статистической радиофизики, теории случайных процессов и уравнений в частных производных.

В литературе неоднократно подчеркивалось, что широко используемое в статистической радиотехнике и теории сигналов кинетическое уравнение для переходной плотности вероятности случайного процесса , выведенное первоначально для марковских процессов (так называемое уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова; сокращенно - ФПК), справедливо также и для немарковских процессов с последействием.

В 1967 г. американский математик R. Pawula вывел обобщенное уравнение ФПК на условную плотность вероятности :

; (1)

зависимость плотности вероятности и кинетических коэффициентов от множества фиксированных значений процесса отражает его немарковость.

В 1987 г. вывел целый ряд новых кинетических уравнений относительно различных плотностей распределения вероятности немарковских непрерывных случайных процессов.

Простейшее из этих уравнений имеет вид

(2)

с коэффициентами в виде производной порядка m от соответствующей условной моментной функции приращения

:

.

Заметим, что уравнение Павулы (1) входит в семейство (2) как частный случай при m=1.

Классическое уравнение ФПК, а также различные его обобщения находят широкое применение в таких задачах статистической радиофизики, как задача о срыве слежения, задача о достижении границ случайным процессом и др. Поэтому представляет интерес выяснение числа ненулевых слагаемых в правых частях обобщенных уравнений ФПК вида (2). Это требуется, в частности, для того, чтобы корректно поставить для них соответствующую задачу.

Эта проблема была решена ранее автором для стационарного гауссовского случайного процесса с постоянным математическим ожиданием, постоянной дисперсией и нормированной корреляционной функцией , имеющей в нуле односторонние производные достаточно высокого порядка. Оказалось, что в этом случае порядок бесконечно малых при условных моментных функций приращения исходного случайного процесса совпадает с порядком бесконечно малых (квадратные скобки в показателе степени означают целую часть числа). Отсюда и вытекает решение поставленной проблемы.

В данной работе изучается гауссовский случайный процесс с переменным математическим ожиданием , которое, как и нормированная корреляционная функция , предполагается достаточно гладкими. А именно, утверждается следующее.

Теорема. Пусть при величина есть бесконечно малая порядка a, а - бесконечно малая порядка b. Тогда в случае условная n-моментная функция приращения гауссовского случайного процесса указанного типа имеет при порядок , в случае - порядок

, а в случае - порядок nb.