Множество (стр. 2 )

Система множеств называется расчлененной, если каждая пара её различных элементов является непересекающейся.

Сравнение свойств операций со множествами и операций с числами.

1. Коммутативный закон сложения
2. Ассоциативный закон сложения
3. Коммутативный закон умножения
4. Ассоциативный закон умножения
5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения

Дополнение ко множеству.

Пусть дана система множеств А, В, С, …

Определение 1. Множество U называется универсальным для системы множеств А, В, С, …, если каждое множество системы является подмножеством множества U.

Определение 2. Абсолютным дополнением ко множеству А называется множество, все элементу которого не принадлежат множеству А (обозначение ).

В символьном виде это записывается следующим образом:

.

Определение 3. Относительным дополнением ко множеству А до множества Х называется множество, все элементы которого принадлежат множеству Х, но не принадлежат множеству А (обозначение ). Это множество равно .

В символьном виде это записывается следующим образом:

.

Алгебра множеств

Теорема 1. Для любых множеств А, В и С из множества U следующие равенства являются тождествами.

Ø

1		1׳
2		2׳
3		3׳
4		4׳
5		5׳
6	Для всех А если , то .	6׳	Для всех А если , то .
7 и 7׳	Если и , то
8 и 8׳
9		9׳
10		10׳
11		11׳
12		12׳
13		13׳

Разбиением множества Х будем называть такую расчлененную систему его непустых и различных подмножеств множества Х, что каждый элемент множества Х является элементом некоторого элемента системы.

Например, есть разбиение множества .

Пуст дана система множеств , тогда

– называется суммой системы множеств.

– называется произведением системы множеств.

Разбиение множества Х – система непустых его подмножеств, обладающих следующими свойствами:

1о. ;

2о. Никакие два различных подмножества не содержат общих элементов.

 

Рис. 1

Подмножества, составляющие разбиение множества Х, называются классами.

Пример 1. Множество треугольников может быть разбито на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Классы вычетов по натуральному модулю m

Пусть m – произвольное натуральное число. Будем объединять в один класс все натуральные числа, которые при делении на m дают один и тот же остаток.

Обозначим через – множество натуральных чисел, делящихся на m без остатка; – множество натуральных чисел, делящихся на m с остатком ; – множество натуральных чисел, делящихся на m с остатком ; …; – множество натуральных чисел, делящихся на m с остатком .

– разбиение на классы множества N, называемые классами вычетов по модулю m.

Пример 2. .

;

;

.

Пример 2. Доказать, что число делится на 3 для любого .

Рассмотрим классы вычетов по модулю 3. Разложим на множители . Любое n принадлежит одному из классов .