Множество (стр. 3 )

Пусть , тогда , следовательно, делится на 3 и, следовательно, делится на 3. Если , тогда и, следовательно, делится на 3 и, следовательно, делится на 3. Наконец , тогда , следовательно, делится на 3.

Лекция 2.

Упорядоченные пары. Бинарные отношения.

Рассмотрим пару объектов в определенном порядке. Оно касается существования определенного типа связи между некоторыми парами.

Для определения понятия отношение мы исходим из представления о множестве упорядоченных пар, для чего уточним понятие упорядоченной пары.

Определение. Упорядоченная пара – это совокупность, состоящая из двух предметов, расположенных в некотором определенном порядке.

Когда это понятие используют в математике, предполагают, что упорядоченная пара обладает двумя свойствами:

1. для любых двух данных предметов х и у существует объект, который можно обозначить через (или ), называемой упорядоченной парой х и у и однозначно определяемый предметами х и у.

2. если и – две упорядоченные пары, то в том и только в том случае, когда и .

Теперь мы можем определить объект (на самом деле являющийся множеством), который обладает свойствами 1. и 2.

Определение. Упорядоченная пара предметов х и у, обозначаемая символически через (или ) есть множество .

Это двухэлементное множество, один из элементов которого, есть неупорядоченная пара, а другой определяет, какой из членов этой неупорядоченной пары считается «первым».

Докажем, что упорядоченные пары обладают свойствами 1. и 2.

Теорема. Упорядоченная пара предметов х и у однозначно определяется через х и у. Кроме того, если , то и .

Доказательство. То, что х и у однозначно определяют , следует из принятого нами допущения, что множество однозначно определяется своими элементами.

Докажем вторую часть (теоремы) утверждения.

Пусть . Рассмотрим два случая.

1) . Тогда . Следовательно, и, следовательно, , откуда и .

2) . Тогда и . Поскольку , то и, следовательно, . Поскольку и , то . Значит , и и откуда следует, что .

Будем называть х первой координатой, а у второй координатой упорядоченной пары . В терминах упорядоченных пар можно определить упорядоченные тройки и, вообще, упорядоченные n-ки.

Упорядоченная тройка предметов x, y, z, обозначаемая через , определяется как упорядоченная пара и т. д., упорядоченная n-ка обозначаемая , есть по определению .

Бинарные отношения

Определим бинарное (двуместное) отношение, как множество упорядоченных пар, т. е. множество, каждый элемент которого есть упорядоченная пара.

Если ρ есть некоторое отношение, то мы считаем выражения и взаимозаменяемыми и говорим, что х ρ относится к у в том и только в том случае, когда .

Для таких отношений как равенство, принадлежность, включение, конгруэнтность (конгруэнтность – отношение эквивалентности на множестве геометрических фигур (отрезков, углов, и т. д.)) приняты специальные обозначения: , , , которые исходят из отношения .

Обобщением понятия бинарного отношения является понятие n-арного (n-местного) отношения, определяемого как множество упорядоченных n-ок.

Термин «бинарное отношение» относится к случаю .

Вместо того, чтобы говорить «3-арное отношение», будем пользоваться термином тернарное отношение.

Пример 1. Отношение «меньше чем» для целых чисел есть множество . Если это отношение выразить символически, то предложения «» и «» синонимичны (и оба истины).

Пример 2. Если μ означает отношение материнства, то означает, что Джейн мать Джона.

Пример 3. Отношение между родителями и ребенком представляет собой пример тернарного отношения. Если обозначить это отношение через ρ, то означает, что Элизабет и Филипп – родители Чарльза.

Другой пример тернарного отношения дает определение сложения в Z. Запись «» можно представить и в форме утверждения .

Пример 4. Отношение, связанное с операцией извлечения кубического корня (корня третьей степени) из действительных чисел: . Одним из элементов этого отношения является пара .