Множество (стр. 1 )

Множество

1. Понятие множества. Подмножество. Пустое множество.

Согласно канторовскому определению, множество S есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами, или членами, множества S.

Существенным является то, что собрание предметов само рассматривается как один предмет (мыслимое как единое целое).

Принадлежность, или членство, есть отношение между предметами и множествами.

Будем обозначать это отношение символом и запись означает, что элемент x принадлежит множеству А (предмет x является элементом множества А).

Если же x не является элементом множества А, то будем писать .

Запись и и … и сокращенно будем записывать:

.

Интуитивный принцип объемности (или принцип экстенсиональности)

Два множества X и Y равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Обозначение . Неравенство множеств X и Y через .

Принцип объемности есть нетривиальное допущение об отношении принадлежности. Доказательство каких-либо двух конкретных множеств A и B состоит из двух частей: в первой части доказывается, что если , то ; во второй части – что если , то .

Пример. Выяснить равны ли множества A и B, если ; .

Множества не равны, так как множество А состоит из одного элемента, т. е. множество А – одноэлементное множество, единственный элемент которого есть , а множество В имеет два элемента – 1 и 2.

Задать множество – это означает указать каким-либо способом, из каких элементов это множество состоит. Можно задать множество перечислением всех его элементов. Например, . Можно указать общее свойство, которым обладают все элементы данного множества

- множество всех таких x, что ,

называют определяющим свойством множества .

Подмножество

Пусть А и В заданные множества. Говорят, что А включено в В (запись , если каждый элемент множества A является элементом множества В. В этом случае говорят, что множество А является подмножеством множества В.

Множество А строго включено во множество В (запись ), если и ( или существует элемент, принадлежащий множеству В и не принадлежащий множеству А, или в символьной записи: ). Говорят, что множество А – истинное подмножество множества В.

Например, множество четных чисел строго включено во множество всех целых чисел.

Множество, которое не содержит элементов называется пустым множеством. Обозначение Æ.

Основные свойства отношения включения

1. .

2. и .

3. и .

Любое множество имеет по крайней мере два различных подмножества: А и Æ.

Любой элемент множества А определяет некоторое подмножество множества А.

Например, если , то .

Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и будем обозначать его через :

.

Например. Дано множество , тогда

.

Различия между отношениями принадлежности и включения:

если , то , если , то и .

Если А – конечное множество, состоящее из n элементов, то имеет элементов.

Операции над множествами

1. Объединение (соединение, сумма) множеств

Определение. Объединением множеств А и В называется такое множество С, которое содержит либо элементы множества А, либо элементы множества В (обозначается ).

В символьном виде это можно записать так:

.

Пример. Даны множества и . Найти самостоятельно.

2. Пересечение.

Определение. Пересечением множеств А и В называется такое множество С, которое содержит как элементы множества А так и элементы множества В (обозначение ).

Свойства операций над множествами

1) – коммутативность;

2) – ассоциативность;

3) – свойство ;

4) –

5) –

6)

Свойства подмножеств

1) Если , то ;

2) Если , то .

Два множества называются непересекающимися (или расчлененными), если , и пересекающимися, если .