Дидактическая модель и особенности ее
использования при обучении математике
,
МОУ гимназия № 80
Новым подходом к образованию, где приоритетом является человеческая личность, должна соответствовать адекватная теория и методика обучения математике. С позиций современной педагогической науки обучение математике следует понимать как целенаправленное, заранее запроектированное общение, в ходе которого усваивается определенное математическое содержание, обеспечивающее развитие и саморазвитие личности ученика.
Одной из задач личностно-ориентированного обучения является не противопоставление математических знаний генетическим способностям учащихся, а формирование у них личностно осознанного отношения к изучаемому материалу и самому процессу учения.
Процесс познания окружающего мира в значительной степени опирается на модели, построенные по сходству и аналогии с изучаемыми объектами. Аналогии и сходство могут быть чисто внешними, а могут относиться к внутренней структуре внешне совсем непохожих объектов. В связи с этим термин «модель» является многоаспектным, междисциплинарным понятием, широко используемым в различных сферах человеческой деятельности и имеющим множество смысловых значений.
Авторы различных определений понятия модели отмечают, что модель – это система, которая замещает реальные объекты. Во всех исследованиях подчеркивается, что модели, выступая в качестве средства познания, существенно отличаются от других средств. Это отличие заключается в том, что модель строится как заместитель объекта изучения, сохраняя определенные отношения и соответствия с исходным объектом (изоморфизма, гомоморфизма и т. п.). Модель – это условный образ объекта, формирующий представление о нем в некоторой форме, отличной от реального существования данного объекта. Модель какого-либо объекта отображает его основные характеристические свойства в некоторой абстрактной форме.
Одним из компонентов концепции наглядного обучения является модельность: построение модели и работа с ней. Наглядное обучение – это процесс создания «хорошо усваиваемых моделей» с опорой на нейрофизиологические и психологические механизмы восприятия. Поэтому моделирование является одним из составных компонентов наглядного обучения. Вопрос о наглядности модели рассматривается в психологии с точки зрения активности познающего субъекта. Активность психики предполагает предметную деятельность человека, его действия с предметами.
По мнению моделирование носит характер внутренней активности субъекта, и такая активность не может быть вызвана обычной наглядностью традиционно используемой в процессе обучения. «При современном школьном образовании этот принцип не в состоянии обеспечить необходимый уровень преподавания и должен быть заменен другим принципом – принципом построения учебных моделей, эвристические возможности которых шире, чем у обычной наглядности»[1].
В связи с этим можно говорить о необходимости знакомства школьников с понятием «модель» и «моделирование». Для того чтобы школьники овладели моделированием как методом научного познания надо, чтобы они сами строили модели, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования. Использование модели в обучении связано с реализацией принципов наглядности и доступности изложения материала.
Поскольку модель отражает общие признаки некоторого класса объектов, то она должна быть построена так, чтобы эти признаки были явно выделены и стали предметом изучения. Например, простейшая математическая модель переместительного закона умножения двух чисел представляется в учебниках в виде равенства ab = ba. Однако, абстрактность приведенной модели, полученной заменой конкретных чисел буквами «a» и «b», вызывает определенные трудности в усвоении этого закона у младших школьников. Для выяснения сути этой закономерности нужен промежуточный этап, на котором строится, так называемая дидактическая модель. Для ее построения можно использовать знакомые фигурки, выполняющие роль «окошечек», в которые помещаются различные числа. При этом промежуточная, наглядная модель принимает вид ∆·Ο = Ο·∆. Работа с этой моделью позволяет разъяснить смысл замены конкретных чисел буквами и перейти к известной математической модели.
Таким образом, модель в обучении, как заменитель какого-либо объекта, процесса или явления, должна обладать следующими признаками: в обобщенном виде представлять оригинал; допускать преобразования с целью выявления новых свойств оригинала ().
Моделирование в широком смысле рассматривается тоже как «замена», но «замена действий с реальными предметами» действиями с их моделями. Применительно к обучению математике под моделированием понимают обобщенное интеллектуальное умение учащихся, состоящее в замене математических объектов, их отношений, способов деятельности с ними в виде изображений с отрезками, числовыми лучами, схемами, значками и т. п. [ 2 ] .
Анализ публикаций, посвященных проблеме применения моделей в обучении, показывает, что в педагогической психологии, дидактике и частных методиках представлены попытки теоретического осмысления путей и способов применения моделей в качестве одного из эффективных средств обучения. Но исследования роли и возможностей применения моделей в учебном процессе ориентируется на далеко не полное использование познавательных возможностей моделей. Ученые и учителя - практики редко выходят на поиск условий более полного учета познавательных возможностей модели в самом процессе обучения.
В литературе отмечается эффективность использования моделирования при повторении изученного, при введении нового материала. Вместе с тем, основные усилия исследователей направлены на обучение учащихся работе с математической моделью и остаются мало изученными вопросы использования дидактических возможностей модели в обучении и моделирования самого процесса познания при обучении школьников математике. Анализ методической литературы показывает, что осознанное применение моделирования учащимися в школьной практике не используются или же используется очень мало. К тому же его использование носит фрагментарный характер, особенности построения моделей и специфические действия при работе с моделью не анализируются.
Анализ литературы, научных исследований, практических рекомендаций и собственный опыт работы позволяет высказать следующее предположение. Чтобы ученики освоили идею о том, что предметом изучения математики выступают модели реальной действительности или схемы моделей, надо обеспечить условия, при которых они в практическом усвоении математики будут включены в процесс построения дидактической модели; будут различать модели и выбирать те, которые необходимы для решения конкретной задачи; овладеют соответствующим языком, приемами и способами построения модели, ее преобразованиями в новую; освоят приемы исследования объекта по его модели; научатся истолковывать построенную модель на языке реальной действительности и восстанавливать реальный объект (ситуацию) по заданной модели.
Под дидактической моделью мы понимаем специальным образом созданное средство для обучения учащихся математике, которое имеет вид схемы, таблицы, символической или знаковой формы, служит для реализации дидактических и воспитательных функций процесса обучения и удовлетворяет всем требованиям, предъявленным к понятию модели.
В приведенном описании важным представляется ответ на вопрос о том, кто и как создает это средство обучения. Наши исследования показали, что можно выделить следующие пути предъявления и построения дидактической модели на уроке математики.
1. Микроисследование учащихся при выполнении нескольких специально подобранных учителем упражнений с требованием установить общее и отличия, закономерности и т. п. Обсуждение результатов и предложение представить их в форме, отображающей общее и существенное в приведенных упражнениях. Анализ предложенных форм позволит ввести термин модель для изучения новой дидактической единицы или рассмотренной ситуации.
2. Анализ предложенной учителем дидактической модели изучаемого объекта с требованием восстановить по ней ситуацию, с которой связано изучение объекта на основе свойств, выделенных в модели. В ходе обсуждения устанавливаются принципы функционирования модели, сфера ее применения и возможности построения на ее основе математической модели.
3. Работа с известной дидактической моделью на последующих уроках после ее предъявления (построения). Она предусматривает следующие виды деятельности учащихся: преобразование или дополнение модели; определение типов задач, которые можно решать на основе данной модели.
4. Создание условий, обеспечивающих переход от дидактической модели к математической как при изучении отдельного сегмента учебного материала темы, так и на этапе систематизации знаний об объекте.
Приведем пример построения и применения дидактических моделей при изучении темы «Параллельные прямые». На рис.1 приведена дидактическая модель, позволяющая включить учащихся в работу по открытию определения параллельных прямых. Модель строится на основе анализа взаимного расположения прямых, содержащих стороны куба, и поиска в учебнике утверждения о существовании двух прямых, не имеющих общих точек. Ход рассуждения фиксируется на рис.1а) и рис. 1б).
рис 1.
| |
 |  |
 |
 |
а) б) в)
а)
Учитель сообщает термин «параллельные прямые» и приводит символическую запись (рис. 1в). Предлагает ученикам выделить характеристические свойства этого понятия. Результаты фиксируются под термином «параллельные прямые» в виде в виде трех характеристических свойств (рис. 1г). Под чертой также указывается этот термин. Такая форма записи содержания понятия позволяет включить учеников в конструирование определения понятия параллельные прямые.
Таким образом, четыре объекта, зафиксированные на рис.1 вместе с символами → и ↔, позволяют не только ввести определение нового понятия, но и отразить ход рассуждений. Кроме того, схематическая запись определения понятия позволяет организовать работу по усвоению определения, т. е. формировать умения по выведению следствий из определения, и по подведению объекта под понятия путем проверки выполнимости каждого из характеристических свойств. Следовательно, построенная модель служит и средством для формирования у учащихся представлений о логической структуре определения понятия.
Визуализация следующих этапов изучения параллельных прямых позволяет построить дидактическую модель, отражающую способ построения прямой b, проходящей через точку M и параллельной данной прямой a, аксиому параллельных прямых, следствия из нее, свойства и признаки параллельных прямых. Построение такой модели, дополняющей первую, осуществляется на нескольких уроках, и обеспечивает систематизацию усваиваемых знаний. Она может служить средством актуализации имеющегося опыта учащихся, для мотивации и постановки новых учебных задач, и, главное, для обеспечения
рис.2
 |  |
 | |
 | |
|
|
|
|
|
|
|
взаимосвязи между курсами алгебры и геометрии.
Так, представленные в курсе алгебры 7 класса линейная функция, ее график и системы двух уравнений с двумя переменными позволяют использовать построенную дидактическую модель для построения новых учебных задач: найти условия, при которых прямые, построенные в системе координат, будут параллельными; установить взаимное расположение графика прямой пропорциональности y = kx и графика линейной функции
y = kx+m; найти условия, при которых система двух линейных уравнений с двумя переменными не имеет решений и т. п.
Поиск решения поставленных задач может быть визуально представлен на рис. 2.
Решение учебных задач с опорой на построенную дидактическую модель, помогает перейти к математической модели выделенных ситуаций. В частности, эта модель позволяет ввести термин «графическая модель» и «аналитическая модель» параллельных прямых, дополнить рис.2 под штриховой чертой уравнениями соответствующих прямых и аналитическими условиями параллельности двух прямых.
Приведенные на рис.1 и рис.2 дидактические модели, способы их использования при обучении математике, показывают, что они представляют собой некую материальную форму для фиксации мыслительных операций при работе с математическими объектами. Построение дидактической модели позволяет визуально представлять изучаемые объекты в виде понятных и доступных ученикам символов, записей и рисунков. Включение учащихся в построение такой модели и ее анализ дает им информацию не только о новых объектах, но и о способах их конструирования, о ходе проводимых рассуждений, обеспечивает осознанное усвоение изучаемого материала за счет создания образной опоры в процессе познания.
Сказанное позволяет высказать предположение о том, что с освоением метода математического моделирования особую актуальность приобретает процесс создания и использования в обучении математике, так называемых моделей обучающего характера, с помощью которых фиксируются операции и приемы мышления, методы и приемы познания, специфика учебной деятельности обучаемых.
Литература.
, Варданян деятельность и моделирование. – М.: Наука, 1981. – 220с. Обойщикова моделированию учащихся 5-6 классов при изучении математики // Дисс. …кандидата пед. наук. – Пенза.: 2002. – 167с. Советский энциклопедический словарь / гл. ред. . – 3-е изд. – М.: Сов. энц., 1985. – 487с. Уютнова представлений учащихся моделях, Используемых в процессе обучения математике://Современный урок математики: Теория и практика: Материалы Всероссийской научно - практической конференции, 29-30 ноября2005 года./ ответственный редактор – Н. Новгород: ННГУ, 2005 – 217 стр.