Уравнения и неравенства с параметрами как математические модели

Математика: 9 класс

Уравнения и неравенства с параметрами как математические модели

Введение

Как известно, ряд проблем в различных отраслях человеческой деятельности может быть изучен математическими методами. На этом пути, применяя язык математики, изучаемым явлениям ставят в соответствие модельные явления. Если они описаны с помощью математических правил, то такие модели называются математическими. Примером такого процесса является процесс решения простейших так называемых “текстовых” задач с помощью сведения их к уравнениям или неравенствам. Наиболее интересен для приложений не сам этап получения решения и записи его в виде математической символики, а следующий за ним этап. Это исследование зависимости решения от параметров, которые были объявлены данными. В этом смысле, с формальной точки зрения, никаких специальных уравнений или неравенств с параметрами нет. Приведем пример.

Пример. Рассмотрим уравнение . Его можно понимать как квадратное уравнение относительно неизвестного х , а можно понимать как квадратное уравнение относительно неизвестного а с параметром х. Следует же понимать это уравнение как уравнение с двумя неизвестными х и а. В левой части уравнения стоит математическое выражение от двух аргументов х и а.

Множество решений такого уравнения – это множество пар чисел, при подстановке которых в уравнение получается верное равенство.

Взгляд относительно х говорит о решении уравнения относительно х. В этом случае аргументы х и а считают неравноправными. Поэтому необходимо выразить при решении х через а, которое называют “параметром”.

Можно рассмотреть это уравнение по-другому, взгляд относительно а: необходимо иметь ответ в таком виде, чтобы для каждого значения а было указано, какие числа х в паре с этом а дают решения данного уравнения.

Замечание

На этом пути, если брать разные основания для классификаций (например, от вида математического выражения, задающего уравнение) и учитывая разные взгляды на аргументы, входящие в это математическое выражение, получим спектр разных типов уравнений (неравенств).

Вид соотношений с выделенными параметрами

В реальных задачах (например, с физическим содержанием) естественно вводится неравноправие аргументов, входящих в уравнение. Они делятся на “неизвестные”, обозначаемые, как правило, последними буквами латинского алфавита (…, x, y, z), и “параметры” - обозначаемые первыми буквами (a, b, c,…).

Рассмотрим один из способов решения задачи с параметрами:

-  значение параметра (или параметров, если их несколько) считается произвольно фиксированным,

-  и затем ищется решение задачи так, как обычно обращаются с уравнениями и неравенствами с одним неизвестным.

-  Ответом должно быть перечисление решений для каждого допустимого значения параметра.

Например, ответ при решении неравенства лучше всего записывать в виде:

1)  при решений нет;

2)  при имеем любое х из .

4.  Замечание. Отметим, что выяснение зависимости решений от значений параметра есть часть процесса решения задачи. Иногда это называют исследованием и отделяют от непосредственного решения. Необходимо запомнить и уяснить, что решение задачи с параметрами без такого этапа не дает решение. Задача нерешена!

Пример решения неравенства с параметром

Решить неравенство

.

Решение. 1) Находим естественную область определения. Это множество пар , при которых выражение, задающее задачу определено. Имеем, что .

2) Так как рассмотрим сначала случай . Тогда все пары , входящие в область определения, являются решениями.

3) Рассмотрим случай . Тогда . Исследуем дискриминант получившегося трехчлена. Он равен .

3.1. При действительных решений нет.

3.2. При , решая квадратное неравенство, имеем, что . Однако теперь надо согласовать полученное условие с условиями: и . Это при водит к системе неравенств: Получаем, что х должен быть больше (или равен) каждого из трёх чисел 0, . Поэтому надо знать, как они расположены на числовой оси в зависимости от параметра а. Рассмотрим варианты: а) первое число больше третьего .

б) первое число больше второго .

Получаем два случая: и .

3.2.1) Пусть . В этом случае из трех исходных чисел самым большим является первое – число 0. Остаются условия и .

3.2.2) Пусть . Теперь первое число меньше второго и третьего. Сравним второе и третье: .

Это не выполняется ни при каких а. Итак, в этом случае третье число наибольшее. Получили, что . Объединив все случаи, получим

Ответ. 1) если , то решений нет;

2) если , то ;

3) если , то .

Замечание

Как уже отмечалось, задачи с параметрами могут бать по-разному классифицированы:

-  по виду математического выражения (линейные, квадратные и т. д.);

-  по количеству неизвестных и выражений (системы и т. д.);

-  по количеству параметров.

Выделены и классы методов их решения (формальный, геометрический и др.). Этому будут посвящены дальнейшие статьи цикла.

Задачи для самостоятельного решения

М9.12.1. Девушка купила в магазине х роз, заплатив за все у рублей (х и у – целые числа). Когда она собралась уходить, продавец сказал ей: “Если бы Вы купили ещё 10 роз, то я отдал бы Вам все розы за 2 рубля и Вы сэкономили бы 80 копеек на каждых 12 розах”. Найти х и у.

М9.12.2. Покажите, что для любых положительных чисел p, q, r, s дробь

.

М9.12.3. Покажите, что если а, в, с – стороны некоторого треугольника и , то этот треугольник обязательно равносторонний.

М9.12.4. Решите уравнения

а) ; б) ;

в) ; г) .

М9.12.5. Решите неравенства

а) ; б) ;

в) .