Пример билета по математике

Пример билета по математике

1. Вычислить: .

2. Решить уравнение: .

3. Решить неравенство: <.

4. Решить уравнение: .

5. В положительном двузначном числе сумма квадратов цифр в 2,5 раза больше суммы его цифр и на единицу больше утроенного произведения этих цифр. Найдите это число.

6. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти объём шара, вписанного в пирамиду.

7. Найти область решения системы на плоскости XOY:

.

8. Решить уравнение: .

9. Решить уравнение:

.

Пример решения

Задание 1.

Вычислить:

Решение.

====3

Ответ: 3

Задание 2.

Решить уравнение: .

Решение.

Найдем область допустимых значений х:

Домножив обе части уравнения на х, и возведя в квадрат, получим

Данное уравнение имеет два корня

и .

Сделав проверку, убедимся, что не является корнем уравнения. Данное уравнение имеет одно решение .

Ответ:

Задание 3.

Решить неравенство: <.

Решение:

. Так как знаменатель дроби при любых х положителен, то Отсюда

Ответ:

Задание 4.

Решить уравнение: .

Решение.

По свойству показательной функции имеем

Ответ:

Задание 5.

В положительном двузначном числе сумма квадратов цифр в 2,5 раза больше суммы его цифр и на единицу больше утроенного произведения этих цифр. Найдите это число.

Решение.

Пусть: х – число десятков искомого числа;

у- число единиц искомого числа.

По условию:

а) в 2,5 раза больше , т. е. ;

б) на единицу больше , т. е. .

Получим систему уравнений.

Для решения системы выделим полный квадрат в левой части каждого уравнения.

Сделаем замену: .

Тогда система примет вид:

Первое уравнение имеет два корня и . Им соответствуют два значения и ; является посторонним корнем, так как х и у положительные числа.

Для и найдем х и у.

. Данная система уравнений имеет две пары решений:

или . Значит искомые числа 13 и 31. Оба числа удовлетворяют условию задачи.

Задание 6.

Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти объём шара, вписанного в пирамиду.

Дано: ABCDS правильная пирамида

SK =

______________

Найти:

Решение.

Рассмотрим сечение пирамиды SPK. Радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в треугольник SPK. Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис, значит О1K является биссектрисой угла OKS.

Из треугольника OKS найдем OK.

.

Из треугольника OКО1 найдем OО1.

.

. Таким образом, радиус шара равен . Вычислим объём шара по формуле .

Окончательно:

куб. ед.

Ответ:

Задание 7.

Найти область решения системы на плоскости XOY:

.

Решение.

а) Построим границу области или .

График функции симметричен относительно прямой и оси ОУ.

Пусть Тогда . По точка построим этот график (зная общий вид графика логарифмической функции).

х	1	2	4	8
у	1	3	5	7

Отобразим этот график относительно прямой и оси ОУ (рис.1).

Рис.1

б) Рассмотрим функцию ,

Постоим прямые Вся плоскость ХОУ этими прямыми разбита на шесть частей (рис.2).

Рис.2

Возьмем точку (1;1) и подставим её координаты в исходное неравенство. Неравенство не верно. Значит, любая точка этой области также не удовлетворяет неравенству. Точки следующей области удовлетворяют исходному неравенству, значит, эта область является решением неравенства и т. д.

в) - это множество точек, расположенных между прямыми и .

Наложив эти графики друг на друга, получим рис.3.

Рис.3

Ответ: заштрихованная область является

решением системы неравенств.

Задание 8.

Решить уравнение: .

Решение: ОДЗ:,

,

,

,

,

,

,

.

Рассмотрим два случая:

1. .

2.

Ответ: ,

Задание 9.

Решить уравнение:

.

Решение:

ОДЗ:

Применив свойства логарифмов, и перейдя к основанию 2, преобразуем уравнение.

или

x=16

Оба корня удовлетворяют ОДЗ

Ответ:

.