Вопросы к экзамену по математике (2 семестр)
Возрастание, убывание функции одной переменной. Экстремум функции. Выпуклость, вогнутость графика функции. Перегиб. Асимптоты кривой. Схема исследования функции.______________________________________________________________________________________
Первообразная функции, свойства. Неопределённый интеграл, геометрический смысл, свойства. Основные методы интегрирования (непосредственное, замена переменной, по частям). Простейшие дроби. Интегрирование простейших дробей I, II, III типов. Интегрирование рациональных функций. Приведение тригонометрических и иррациональных функций к интегралам от рациональной функции. Определённый интеграл, свойства. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям. Задача о площади. Площадь плоской фигуры. Полярные координаты. Площадь криволинейного сектора (с доказательством - самостоятельно). Объём тела вращения (с доказательством - самостоятельно). Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Несобственные интегралы от разрывных функций. Функции нескольких переменных: область определения, график. Случаи n=2, n=3. Линии уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные (+ геометрический смысл). Полный дифференциал. Производная по направлению, градиент, свойство. Частные производные высших порядков. Экстремум функции 2-х переменных. Необходимое условие экстремума (доказательство). Достаточные условия экстремума. Двойной интеграл. Свойства. Правила вычисления. Геометрический смысл двойного интеграла. Двойной интеграл в полярных координатах. ДУ: определение, порядок уравнения, решение (общее, частное). ДУ I порядка (общий вид, геометрический смысл, теорема Коши). ДУ I порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли. ЛОДУ второго порядка, свойства. Определитель Вронского, фундаментальная система решений. Доказать линейную независимость функций:
и 
; и 
; 
и 
. Решение ЛОДУ II порядка с постоянными коэффициентами. ЛНДУ II порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение ЛНДУ. ЛНДУ II порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Теорема о правой части – сумме различных функций. Метод вариации произвольных постоянных. ДУ II порядка, допускающие понижение порядка. (Уметь решать уравнения типа 
, 
, 
, 
, 
, 
)
Допуск к экзамену.
Написать таблица интегралов. Найти частные производные. Решить ЛОДУ II порядка. Найти площадь фигуры, заданной в полярных координатах:
, 
, 
, 
.
