Вопросы и задания Математика

Вопросы и задания

Математика

Вопросы для самопроверки по темам дисциплины.

Векторная алгебра

1. Что такое матрица? Что такое сумма, произведение матриц? Что такое единичная матрица?

2. Что такое определитель? Как вычислить определитель 2 порядка? 3 порядка?

3. Что такое обратная матрица? Как найти обратную матрицу?

4. Как связаны системы линейных алгебраических уравнений и матричные уравнения?

5. Сколько решений может иметь система линейных дифференциальных уравнений?

6. В чем состоит метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений?

7. Как применяется метод линейных преобразований строк для нахождения обратной матрицы, решения матричных уравнений, решения систем линейных уравнений?

8. Что такое вектор? Координаты вектора?

9. Что такое скалярное произведение векторов? Как его вычислить, если векторы заданы своими координатами? Как найти угол между векторами?

10. Что такое векторное произведение векторов? Как его найти, если векторы заданы своими координатами? В чем состоит геометрический смысл векторного произведения?

Аналитическая геометрия

1.  Как написать уравнение прямой на плоскости, проходящей через две данные точки? Через данную точку перпендикулярно данному вектору? Через данную точку с данным угловым коэффициентом?

2.  Как выглядят канонические уравнения и графики эллипса, гиперболы, параболы?

3.  Какими способами можно задать прямую в пространстве и как написать соответствующие уравнения?

4.  Какими способами можно задать плоскость в пространстве и как написать соответствующие уравнения?

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Что такое объединение, пересечение, разность множеств?

2. Дайте определение предела последовательности.

3. Дайте определение конечного предела функции в точке.

4. Дайте определение бесконечно большой функции.

5. Что такое бесконечно малая функция?

6. Таблица эквивалентностей

7. Дайте определение непрерывной функции

8. Определение производной функции одной переменной

9. Таблица производных

10. Правила дифференцирования

11. В чем состоит геометрический смысл производной? Физический смысл?

12. Правило Лопиталя.

13. Необходимые и достаточные условия экстремума функции одной переменной

14. Что такое дифференциал функции?

Интегральное исчисление

1.  Что такое неопределенный интеграл?

2.  Свойства неопределенного интеграла (правила интегрирования)

3.  Формула интегрирования по частям

4.  Таблица интегралов (12)

5.  Что такое определенный интеграл?

6.  Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла

7.  Геометрический смысл определенного интеграла

8.  Замена переменной в определенном интеграле

9.  Формула интегрирования по частям для определенного интеграла

10.  Что такое несобственный интеграл 1 рода? Что такое сходимость несобственного интеграла?

Теория вероятности и математическая статистика

1. Что такое случайное событие?

2. Могут ли два независимых события быть несовместными? Обоснуйте

3. Что такое сумма событий? Сформулируйте теорему сложения

4. Что такое произведение событий? Сформулируйте теорему умножения

5. Что такое элементарный исход испытания?

6. В чем состоит классическое определение вероятности?

7. В чем состоит геометрическое определение вероятности?

8. В чем состоит статистическое определение вероятности?

9. Формула полной вероятности

10. Что такое случайная величина?

11. Что такое закон распределения случайной величины? Как он описывается в случае дискретной и непрерывной случайных величин?

12. Чему равна вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение а?

13. Что такое математическое ожидание случайной величины?

14. Что такое дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины?

15. Что такое система случайных величин?

16. Как задать закон распределения двумерной дискретной случайной величины?

17. Каковы свойства коэффициента корреляции случайных величин?

18. Что такое уравнение регрессии случайных величин?

19. Что такое закон больших чисел?

20. Сформулируйте теорему Бернулли

21. Что такое центральная предельная теорема?

22. Что такое генеральная и выборочная совокупность?

23. В чем состоит основная задача математической статистики?

24. Каковы преимущества и недостатки выборочного метода по сравнению со сплошным наблюдением?

25. Что такое вариационный ряд?

26. Что такое гистограмма, полигон, кумулята?

27. Что такое мода и медиана вариационного ряда?

28. Что такое точечная и интервальная оценка параметра распределения?

29. В чем состоит принцип практической уверенности?

30. Как проверяют статистическую гипотезу?

31. Какие ошибки можно допустить при проверке статистической гипотезы?

32. Что такое мощность критерия?

33. Что такое уровень значимости при проверке статистической гипотезы?

34. В каком случае результат исследования более надежен: когда мы принимаем или отвергаем основную гипотезу? Обоснуйте.

35. Что такое параметрические и непараметрические критерии?

36. Что такое дисперсионный анализ?

37. Что такое корреляционный анализ?

38. Пусть имеются три выборки. Можно ли к ним применить и дисперсионный, и корреляционный анализ? Обоснуйте.

Перечень заданий для самостоятельной работы по темам дисциплины

Тест «Матрицы» (образец варианта)

1. Единичной матрицей является матрица:

а) ; b) ; c) ; d)

2. Пусть . Матрица АТ – это:

а) ; b) ; c) ; d)

3. Пусть А – матрица размера 2´3. Тогда произведение А-1А является:

а) единичной матрицей порядка 2; b) единичной матрицей порядка 3;

с) нулевой матрицей размера 2´3; d) не существует

4. Пусть , . Не существует произведения:

а) АТВ; b) ВТА; с) АВ; d) ВА

5. Пусть . Матрица А-1 равна:

а); b); c); d) не существует

6. Пусть . Определитель detA равен:

а) -2; b) 10; c) 0; d) не существует

7. Пусть . Определитель detA равен:

a) 6; b) –6; c) 0; d) не существует

Тест «Векторы» (образец варианта)

1. Пусть . Векторное произведение равно:

a) {2; 0; 2}; b) {6; -3; 3}; c) 6; d) не существует

2. Пусть . Скалярное произведение равно:

a) {-6;4}; b) -2; c) 2; d) не существует

3. Даны точки: А(1;-1;2), В(-3;1;1), С(0;2;-2). Верно ли, что

?

a) не верно ; b) не верно ; с) все верно; d) все неверно

Самостоятельная работа «Аналитическая геометрия» (образец варианта)

1. Найти скалярное и векторное произведение векторов

2. Даны 3 вектора; найти высоту образованной ими пирамиды, опущенную из конца вектора

3. Даны вершины треугольника АВС: А(-2;4), В(3;1), С (10;7). Найти:

а) уравнение стороны АВ;

б) уравнение высоты СН;

в) уравнение медианы АМ;

г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ;

е) расстояние от точки С до прямой АВ.

4. Даны четыре точки А1 (3;1;4), А2(-1;6;1), А3(-1;1;6), А4(0;4;-1).

Составить уравнения:

а) плоскости А1А2А3;

б) прямой А1А2;

в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;

г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2;

д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

5. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы;

в) параболы.

Дано:

а) b=15, F(-10;0);

б) a=13, e=14/13;

в) D: x = –4.

(А, B – точки, лежащие на кривой, F – фокус, a – большая (действительная) полуось, b – малая (мнимая) полуось, e – эксцентриситет,
– уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).

Тест «Пределы» (образец варианта)

1. а) ; б) 0; в) 1; г) 1,5; д) 0,5

2. а) ; б) 0; в) 1; г) 12,5; д) 17

3. а) ; б) 0; в) -5; г) 2; д) 0,3

4. а) ; б) 0; в) ; г) ; д) 1

5. а) ; б) 0; в) ; г) ; д) 1

Самостоятельная работа «Интегральное исчисление» (образец варианта)

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7.  а) вычислить:

б) вычислить или установить расходимость:

Самостоятельная работа «Теория вероятности» (образец варианта)

1.  Задан закон распределения дискретной случайной величины Х; найти математическое ожидание и дисперсию:

Х	-2	-1	0	2	4
Р	0,1	0,3	0,2	0,3	0,1

2.  Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Найти закон распределения числа выбитых очков. Определить математическое ожидание и дисперсию.

3.  Размер деталей подчинен нормальному распределению со средней арифметической 15 мм и дисперсией 0,25. Определить ожидаемый процент брака, если допустимые размеры находятся в пределах от 14 мм до 17 мм.

4.  Средний настриг шерсти с одной овцы равен 3,8 кг. Оценить вероятность того, что настриг с наудачу взятой овцы не превысит 4 кг.

Расчетно-графическая работа «Статистический анализ» (образец варианта)

Даны выборки значений трех случайных величин Х, Y, Z.

1) Построить равноинтервальные вариационные ряды, полигон для Х, гистограмму для Y, кумуляту для Z;

2) Проверить гипотезу о нормальности распределения случайной величины Х;

3) Проверить гипотезу о равенстве дисперсий случайных величин Y и Z;

4) Провести дисперсионный анализ для данных величин.