Предисловие (стр. 2 )

На рис. 2 она заштрихована. Площадь квадрата S = 24² = 576; площадь заштрихованной части =576 ‑ (23)2 ‑ (22)2 = 69,5.

.

С понятием геометрической вероятности связаны задачи № 3 в индивидуальных заданиях.

§ 4. Основные теоремы

1.  Р(А + В) = Р(А) + Р(В), если А · В = Н, то есть А и В — несовместны.

2.  Р(А · В) = Р(А) Р(В/A) = P(B) P(A/B).

Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность появления этого события, вычисленная при условии, что имело место событие В.

Р(А · В · С) = Р(А) Р(В/A) P(C/A·B)

3.  Если события независимые, то Р(А · В) = Р(А)Р(В).

4.  Р(Ā) = 1 ‑ Р(А).

Пример 4.1. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Найти вероятности следующих событий: в мишени две пробоины; в мишени одна пробоина; в мишени хотя бы одна пробоина.

Решение. Пусть А1 — событие, состоящее в том, что первый стрелок попал в цель, А2 — второй стрелок попал в цель. По условию Р(А1) = 0,7; Р(А2) = 0,8; А1 и А2 — независимы.

1.  Событие А — в мишени две пробоины: А = А1·А2, поэтому

Р(А) = Р(А1·А2) = Р(А1)·Р(А2) = 0,7·0,8 = 0,56.

2.  Событие В — в мишени одна пробоина: В = А1Ā 2+ Ā1А2. Тогда

Р(В) = Р(А1)Р(Ā2) + Р(Ā1)Р(А2);

P(Ā1) = 1 ‑ P(А1) = 0,3; P(Ā2) = 0,2;

P(B) = 0,7 · 0,2 + 0,8 · 0,3 = 0,38.

3.  Событие С — в мишени хотя бы одна пробоина (или одна или две).Очевидно, С = А + В, А и В несовместны.

Р(С) = Р(А) + Р(В) = 0,56 + 0,38 = 0,94.

Если Р(А) и Р(В) предварительно не были найдены, проще найти вероятность противоположного события — (в мишени нет пробоин):

= Ā1 · Ā2; Р() = 0,3 · 0,2 = 0,06; Р(С) = 1 ‑ Р() = 0,94

Пример 4.2. Слово РЕКЛАМА разрезано на отдельные буквы, они перемешаны. Выбираются одна за другой три буквы. Какова вероятность, что получится слово МАК?

Решение. Чтобы получилось заданное слово (событие А) надо первой вынуть букву М (событие А1), второй — букву А (событие А2), третьей — букву К (событие А3)

А = А1 · А2 · А3; Р(А) = Р(А1) ·Р(A2/А1) ·Р(А3/А1А2),

Р(А1) = , ( n = 7 – всего букв; М встречается 1 раз m = 1),

– вероятность вынуть букву А, если буква М вынута. n = 6; m = 2 (осталось шесть букв, из них две буква А),

Р(А3/А1А2) = – вероятность вынуть букву К, если А и М вынуты.

Р(А) = .

§ 5. Формула полной вероятности

Если исходы опыта (гипотезы): Г1, Г2,… , Гn образуют полную группу попарно независимых событий, то вероятность появления события А находится по формуле полной вероятности .

Пример 5.1. В тире имеется пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.

Решение. Событие А — попадание при одном выстреле. Гипотезы — стреляющий выбрал первое ружье(Г1), второе — (Г2) и т. д. Так как ружье выбирается на удачу, их пять штук, Р(Гi) = (i = 1, 2, …5). Р(A/Г1) = 0,5 (вероятность попадания, если выбрано первое ружье); Р(A/Г2) = 0,6 и т. д.

Р(А) = .

Пример 5.2. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает 25%, второй — 30% и третий — 45% деталей, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 1% нестандартных деталей, второй — 2%; третий — 3%. Найти вероятность поступления на сборку нестандартной детали.

Решение. Событие А — деталь, поступившая на сборку, нестандартная. Пусть Г1 – деталь с первого автомата, Р(Г1) = 0,25 (т. к. их 25%), аналогично, Р(Г2) = 0,30; Р(Г3) = 0,45.

Р(A/Г1) = 0,01 (вероятность быть детали нестандартной, если она изготовлена на первом автомате). Р(A/Г2) = 0,02; Р(A/Г3) = 0,03;

Р(А) = .

Задачи №8 в индивидуальных заданиях могут быть решены по формуле полной вероятности.

§ 6. Формула Бейеса (теорема гипотез)

Вероятность Р(Гk /A) гипотезы Гk после того, как имело место событие А, определяется формулой ,

где Р(А) = .

Пример 6.1. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной хорошую продукцию с вероятностью 0,98, а бракованную — с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

Решение. Событие А — изделие прошло упрощенный контроль, Г1 – изделие удовлетворяет стандарту, Г2 – изделие бракованное.

Р(Г1) = 0,96; Р(Г2) = 0,04; Р(A/Г1) = 0,98; Р(A/Г2) = 0,05.

Р(A) = Р(Г1) Р(A/Г1) + Р(Г2) Р(A/Г2) = 0,96 × 0,98 + 0,04 × 0,05 = 0,9428.

Р(Г1/A) – изделие удовлетворяет стандарту, если оно прошло упрощенный контроль. По формуле Бейеса

= 0,9979.

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Вариант 1.

1.  События: А — из 4-х проверяемых электролампочек все дефектные, В — все доброкачественные. Что означают события А + В, А · В, , ?

2.  На шести карточках написаны буквы А, М, К, С, В, О. Наудачу вынимают одну карточку за другой и кладут в том порядке, в каком они были вынуты. Какова вероятность того, что получится слово МОСКВА?

3.  Два студента договорились встретиться в определенном месте между 10 и 11 часами, и что, пришедший первым ждет другого в течении 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение часа может произойти в любой момент времени, а моменты прихода независимы.

4.  Цифровой замок имеет на общей оси четыре диска. Каждый диск разделен на шесть секторов, отмеченных цифрами. Замок можно открыть, если цифры на дисках совпадают с теми, что были набраны при закрывании замка, то есть с «секретом» замка. Какова вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию 4-х цифр?

5.  В кошельке лежат три монеты достоинством по 10 копеек и 7 монет пятикопеечных. Наудачу вынимаются две монеты. Какова вероятность того, что обе монеты будут одного достоинства?

6.  В урне 30 шаров, из них 5 черных и остальные белые. Вынимаются один за другим три шара подряд. Какова вероятность того, что будет вынуто 2 черных и один белый шар?

7.  Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет ровно два изделия высшего сорта.

8.  Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,4; для второго — 0,5 и для третьего — 0,7. Найти вероятность того, что в результате однократного выстрела всех стрелков по мишени в ней будет ровно одна пробоина.

9.  С первого автомата поступает на сборку 80%, со второго — 20% таких же деталей. На первом станке брак составляет 1%, на втором — 3%. Проверенная деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором автомате.