Предисловие (стр. 1 )

Предисловие

Цель предлагаемой работы — помочь, изучающим теорию вероятностей, приобрести навыки решения стандартных задач.

Первая часть методических указаний содержит краткое изложение основных понятий и формул по начальному разделу теории вероятностей «Случайные события», изложение теории сопровождается решением типовых задач.

Во второй части даны варианты индивидуальных заданий, которые, в основном, повторяют задания из предыдущих изданий методических указаний, составленных , , .

Вопросы для повторения

1. Какие соединения называются размещениями, перестановками, сочетаниями? По каким формулам они вычисляются?

2.  Как определяются понятия опыт, события? Какие события называются достоверными, невозможными? Как определяются действия с событиями А + В; А · В; Ā ?

3.  Чему равны события А + Ā; А · Ā; A + D; A · D; A + H; A · H?

4.  Какие события называются несовместными, полной группой событий?

5.  Какие определения вероятности события Вы знаете? Сформулируйте классическое, статистическое, геометрическое определения вероятности. Когда они применяются?

6.  Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Зависимые и независимые события.

7.  Вероятность суммы для несовместных и совместных событий.

8.  Вероятность противоположного события.

9.  Формула полной вероятности.

10.  Формула гипотез (Бейеса).

§1. Основные понятия

Под опытом (испытанием) понимается осуществление определенных условий, которые могут быть повторены сколь угодно раз.

Возможные результаты опыта называются событиями, обозначаются латинскими буквами А, В, С, …

Событие, которое в данном опыте обязательно произойдет — достоверное событие (D); событие, которое в данном опыте произойти не может — невозможное (H).

Произведение событий А · В = С есть событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В. Сумма событий А + В = С есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

Событие, противоположное А, обозначается Ā (не А). События А и В несовместны, если А · В = Н. События А (k=1,2, …,n) образуют полную группу событий, если . Отметим, что А · Ā = H, А + Ā = D.

Пример 1.1. При каких событиях А и В возможно равенство

А + В = А?

Решение. А + В событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В. Если А + В = А, то событие В не изменяет события А, а потому В является частью события А.

Например, из таблицы случайных чисел выбирают число. А — событие, состоящее в том, что число делится на 2; В — число делится на 4. А + В=А, так как если число делится на 4, то оно делится на 2.

Пример 1.2. Событие А — хотя бы одно из четырех изделий бракованное, событие В — бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают события и ?

Решение. — событие противоположное А, — бракованных изделий нет; — бракованных изделий менее двух.

Этим понятиям посвящены задачи № 1 в индивидуальных заданиях.

§2. Непосредственный подсчет вероятностей

Непосредственный подсчет вероятностей может быть произведен в том случае, когда результат опыта можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместные и равновозможные

,

n — число всех возможных исходов опыта; m — число исходов благоприятствующих событию А.

Пример 2.1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность, что сумма очков, выпавших на верхних гранях, равна 5?

Решение. Событие А — сумма выпавших очков на двух костях равна 5. Число всех возможных исходов n = 36, так как 6 исходов на первой кости могут сочетаться с каждым из 6 исходов на второй кости. Число благоприятных исходов m = 4: (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), поэтому

.

Пример 2.2. В партии из l изделий бракованных k штук. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки s изделий ровно r окажутся бракованными.

Решение. Событие А — из выбранных s изделий ровно k бракованных. Число возможных способов взять s изделий из l равно n = . Благоприятствующими событию А являются случаи, когда из общего числа k бракованных изделий взято r штук (это можно сделать способами), а остальные изделий не бракованные, т. е. они взяты из общего числа (таких способов ). Поэтому m = ·. Искомая вероятность

.

Напомним, что — число сочетаний из l элементов по s.

l! = .

§ 3. Геометрические вероятности

Геометрическое определение вероятности используется в том случае, когда результат испытания определяется случайным положением точек в некоторой области, причем любые положения точек в этой области равновозможные. Если размер всей области S, а размер части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть , то вероятность равна .

Область может иметь любое число измерений, поэтому и могут представлять собой длины отрезков, площади, объемы.

Пример 3.1. В течение промежутка времени от 11 ч до 11ч 30 мин должен последовать телефонный звонок. Какова вероятность, что звонок последует в последние 10 минут указанного промежутка.

Решение. Будем рассматривать промежуток времени от 11ч до 11ч 30мин, как отрезок АВ длиной 30 единиц, промежуток от 11ч 20мин до 11ч 30мин (последние 10мин) как отрезок СВ длиной 10 единиц.

 

А С В

Рис. 1.

Вероятность того, что звонок произойдет в последние 10мин, в геометрической схеме означает вероятность того, что случайно брошенная точка в отрезок АВ попадет на отрезок СВ. Эта вероятность, очевидно, равна

.

Пример 3.2. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода каждого парохода независимо от другого и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода — один час, а второго — два часа.

Решение. Воспользуемся геометрической схемой. Пусть х — время прихода первого парохода, у — второго. Все возможные комбинации прихода пароходов к причалу изобразятся точками квадрата (рис. 2). Событие А — один из пароходов ожидает освобождение причала. Оно может состояться лишь в том случае, если момент у прихода второго парохода не более часа отличается от момента прихода первого (), и момент прихода первого не более двух часов отличается от момента прихода второго ().

y

24

 

(0;1) Рис. 2

0 (2;0) 24 x

Строим область, благоприятствующую событию А, это множество решений системы неравенств