Указания к выполнению контрольной работы (стр. 2 )

.

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т. е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцени­ваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одно­временно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение определяется путем подстановки в урав­нение регрессии соответствующего прогнозного зна­чения . Для получения интервальной оценки прогнозного значения вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза:

,

где .

Доверительный интервал прогноза: .

2.2. Множественная регрессия и корреляция

Множественная регрессия представляет собой регрессию результативного признака с двумя и большим числом факторов, т. е. модель вида:

.

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны быть количественно измеримы и не должны быть коррелированны между собой.

Если факторы явно коллинеарны (> 0,7), то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из уравнения регрессии.

Мультиколлинеарность факторов возникает в случае когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т. е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга. Для отбора факторов в модель регрессии и оценки их мультиколлинеарности можно использовать матрицу парных коэффициентов корреляции. В модель регрессии включаются те факторы, которые более сильно связаны с зависимой переменной, но слабо связаны с другими факторами.

Как и в парной зависимости, возможны разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные. Наиболее широко используются линейная и степенная функции.

Возможен и иной подход к построению уравнения множественной регрессии, когда на основе матрицы коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном виде:

,

где - стандартизованные переменные: , (, ); - стандартизованные коэффициенты регрессии.

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают на сколько процентов изменится в среднем результат, если соответствующий фактор изменится на 1 % при неизменном среднем уровне других факторов. Сравнивая их между собой, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Линейный коэффициент множественной корреляции:

.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при неизменном уровне других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Частный F-критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого фактора в уравнении. Например, для двухфакторной модели . С помощью частного F-критерия можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий фактор xi был введен в уравнение множественной регрессии последним.

Частные коэффициенты эластичности для линейного уравнения множественной регрессии:

,

где bi - коэффициенты регрессии для фактора xi в уравнении множественной регрессии, - частное уравнение регрессии. В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, т. к. другие факторы закреплены на неизменном уровне.

В задачу регрессионного анализа входит не только построение самой модели, но и исследование случайных отклонений, т. е. остаточных величин (ei).

Оценки параметров регрессии должны отвечать определенным критериям:

- несмещенность (математическое ожидание остатков равно нулю);

- эффективность (оценки имеют наименьшую дисперсию);

- состоятельность (увеличение точности с увеличением объема выборки).

Исследование остатков ei предполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК:

1) случайный характер остатков;

2) нулевая средняя величина остатков, не зависящих от xi;

3) гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения ei одинаковая для всех значений x (Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность.);

4) отсутствие автокорреляции остатков (значения остатков ei распределены независимо друг от друга);

5) остатки подчиняются нормальному распределению.

При малом объеме выборки для оценки гетероскедастичности можно использовать метод Гольдфельда - Квандта.

Тест Гольдфельда - Квандта:

1. Упорядочение n наблюдений по мере возрастания переменной x.

2. Исключение из рассмотрения С центральных наблюдений; при этом (n - С): 2 > р, где р — число оцениваемых параметров (y и x).

3. Разделение совокупности из (n-C) наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора x) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.

4. Определение остаточной суммы квадратов для первой (S1) и второй (S2) групп и нахождение их отношения (R = Fфакт):

,

где S1 > S2.

Fтабл = FРАСПОБР(0,05; (n-C-2p):2; (n-C-2p):2)[1]. H0 – гипотеза о гомоскедастичности.

Чем больше величина R превышает табличное значение F-критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1.

По семи территориям Уральского района за 200Х г. известны значения двух признаков

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Удмуртская республика	68,8	45,1
Свердловская область	61,2	59,0
Башкортостан	59,9	57,2
Челябинская область	56,7	61,8
Пермская область	55,0	58,8
Курганская область	54,3	47,2
Оренбургская область	49,3	55,2

Задание

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитайте параметры уравнения равносторонней гиперболы.

2. Оцените модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Решение

1.  Для получения линейной зависимости в уравнении равносторонней гиперболы делается замена: . Тогда .

Для расчета параметров a и b линейной регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

	y	z	yz	z2	y2				Ai
1	68,8	0,0222	1,5255	0,000492	4733,44	61,8	7,0	49,00	10,2
2	61,2	0,0169	1,0373	0,000287	3745,44	56,3	4,9	24,01	8,0
3	59,9	0,0175	1,0472	0,000306	3588,01	56,9	3,0	9,00	5,0
4	56,7	0,0162	0,9175	0,000262	3214,89	55,5	1,2	1,44	2,1
5	55	0,0170	0,9354	0,000289	3025,00	56,4	-1,4	1,96	2,5
6	54,3	0,0212	1,1504	0,000449	2948,49	60,8	-6,5	42,25	12,0
7	49,3	0,0181	0,8931	0,000328	2430,49	57,5	-8,2	67,24	16,6
Ито­го	405,2	0,1291	7,5064	0,002413	23685,76	405,2	0,0	194,90	56,5
Сред­нее зна­чение	57,9	0,0184	1,0723	0,000345	3383,68			27,84	8,1
Σ	5,74	0,002145
σ2	32,9476	0,000005

По данным таблицы рассчитываем .