Математика (стр. 2 )

Подставим координаты точки С(6; -4) в уравнение прямой АВ: . Получаем, . Тогда третье неравенство имеет вид: .

Итак, система линейных уравнений, задающая треугольник АВС имеет вид:

Задание для самостоятельной работы, аналогично приведенной задаче, выполнить для точек А(-2; 3), В(10; -6); С(8;8).

Векторы.

Даны точки и . Координаты вектора , если , находятся по формулам: , , . (9)

Длина вектора: . (10)

Направляющие косинусы вектора: , , . (11)

- разложение вектора по координатным ортам .

Действия с векторами. Даны векторы: , .

Сумма/разность векторов: . (12)

Умножение вектора на число: . (13)

Скалярное произведение векторов: . (14)

– скалярное произведение векторов в координатной форме. (15)

Условие перпендикулярности векторов: . (16)

Угол между векторами: . (17)

Задача. Даны точки А(6; -2; -3), В(2; 2; -1), С(1; 5; 3), Д(0; 4; 2).

Найти: 1) координаты вектора , разложение вектора по координатным ортам, длину вектора ; 2) координаты вектора , разложение вектора по координатным ортам, длину вектора ; 3) скалярное произведение векторов и ; 4) косинус угла между векторами и.

Решение. 1) А(6; -2; -3), В(2; 2; -1) .

С(1; 5; 3); Д(0; 4; 2)

– координаты вектора . Разложение вектора по координатным ортам имеет вид: . Длину вектора находим по формуле (10): .

2) С(1; 5; 3), А(6; -2; -3) ;

В(2; 2; -1), Д(0; 4; 2) .

– координаты вектора .

Разложение вектора по координатным ортам имеет вид: . Длина вектора: .

3) скалярное произведение векторов и : так как , , то по формуле (15) получаем .

4) (формула (17)).

Задание для самостоятельной работы, аналогично приведенной задаче, выполнить для точек А(-2; 3; 11), В(1; 0; 6); С(4; 8; 8), Д(5; 6; 3).

Матрицы. Определители.

Матрица А размерности m x n: , или, кратко, .

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица А – нулевая.

Если m = n (число строк равно числу столбцов), то матрица А – квадратная n-го порядка: .

Числа – главная диагональ.

Если матрица – квадратная, на главной диагонали стоят 1, а остальные – нули, то матрица – единичная. Обозначается E: .

Определитель второго порядка: . (18)

Определитель третьего порядка: . (19)

Действия с матрицами.

Сумма матриц А и В: ,,. Пусть. (20)

Умножение матрицы А на число λ: , . Пусть . (21)

Произведение матриц А и В: , , . Пусть

. (22)

Обратная матрица. Матрица А-1 – обратная к матрице А, если .

Если матрица А – квадратная, определитель матрицы |А|≠0, то существует обратная матрица А-1, которая находится по формуле:

, (23)

где – алгебраические дополнения элементов матрицы А. (24)