Всероссийская олимпиада школьников по математике, 2010 год
Школьный уровень
Критерии по оцениванию решений задач
Решение каждой задачи оценивается от 0 до 7 баллов.
Если вместо решения даётся только ответ, то, как и в случае верного, так и неверного ответов, выставляется 0 баллов. Если даны решения в виде частных примеров, удовлетворяющих условиям задач, то можно дать один - два балла в зависимости от числа примеров. Три – четыре балла даются в случае, если были найдены ключевые моменты (формулы, преобразования, конструкции), которые позволяли бы выйти на окончательное решение задачи. Пять – шесть баллов выставляются за практически полное решение, где пропущены частные случаи или не даны обоснования ключевых моментов. Семь баллов давать только в случае, если нет никаких сомнений в логической и математической правильности решения.
1.В квартирах №1, №2, №3 жили три котенка: белый, черный, рыжий. В квартирах №1 и «2 жил не черный котенок. Белый котенок жил не в квартире №1. В какой квартире жил каждый котенок.
2.Записать число 100 шестью девятками.
3.Из 60 школьников 26 собирают значки, 37 собирают марки, а 20- и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием?
4.Поезд проходит мост длиной 250 м за 1 минуту, а мимо телеграфного столба проходит за полминуты. Какова длина поезда?
5.Для окраски кубика с ребром 2 см требуется 1 г краски. Сколько потребуется краски для окрашивания кубика с ребром 6 см?
1.Имеются двое песочных часов – на 7 минут и 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов.
2.Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на одинаковом расстоянии друг от друга. Спортсмен стартует у первого флажка и бежит с постоянной скоростью. Ужу через 12 секунд спортсмен был у 4-го флажка. За какое время он пробежит всю дорожку?
3.Делится ли число 10017+1027+1 на 3; на 9.
4. Произведение цифр трехзначного числа равно 25. Найдите такие числа.
5. Прямоугольник составлен из 7 квадратов. Сторона черного квадрата равна 1, а сторона серого квадрата равна 3. Чуму равна площадь квадрата А.
1. К числу 43 справа и слева припишите по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.
2. Капитан Врунгель погнался за кенгуру. Кенгуру в минуту делает 70 прыжков, каждый прыжок – 10 м. Капитан Врунгель бежит со скоростью 10 м/с. Догонит ли капитан Врунгель кенгуру? Ответ обоснуйте?
3. Брат вышел за сестрой через 5 минут после неё со скоростью в полтора раза быстрее. Через сколько минут брат догонит сестру.
4. В стране Карабабасии живут карабасы и барабасы. Каждый карабас дружит с шестью карабасами и девятью барабасами. Каждый барабас дружит с десятью карабасами и семью барабасами. Кого в этой стране больше – карабасов или барабасов?
5. Из семи частей квадрата составьте три одинаковых квадрата.
1. Найдите все такие пары простых чисел p и q, что p3-q5=(p+q)2.
2. Задача . Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?
3. Какое из двух чисел 
и 
больше?
4. Разложите выражение х2008+4 на множители.
5. В правильном тождестве (x2 - 1)(x + _ ) = (x + 3)(x - 1)(x + _ ) два числа заменили многоточиями. Что это были за числа?
1. Можно ли представить дробь 2/7 в виде суммы двух дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — различные целые числа?
2.На свой день рождения Фрекен Бок испекла торт. Известно, Малыш и торт весили столько же, сколько Фрекен Бок и Карлсон. После того, как торт съели, Карлсон весил столько же, сколько Фрекен Бок и Малыш. Докажите, что кусок торта, который съел Карлсон, весил столько же, сколько весила Фрекен Бок до дня рождения.
3. Решите уравнение: (х2 - х - 1)2 – х3 = 5.
4. Решить в натуральных числах уравнение x2 - 3xy + 2y2 = 7.
5. Через точку А, лежащую вне окружности проведены две прямые, пересекающие окружность в точках В и С, M и N, соответственно. MN — диаметр окружности, О — её центр. Докажите, что AB×AC = AO2 — OM2.
Решение: По теореме о произведениях отрезков прямой, пересекающей окружность, выполняется соотношение AB×AC = AM×AN. Но АM = =AO—OM, AN=AO+ON и AM×AN =(AO—OM)(AO+ON)=AO2 — OM2 .
1. Докажите, если a, b, c > 0, то 
.
2. Два брата ходят из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды через 15 минут после выхода первый побежал обратно в школу, забрав забытый дневник, сразу бросился догонять брата. Оставшись один, второй брат продолжал идти домой в 2 раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин позже обычного. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?
3. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить ее знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?
4. В корзине лежат яблоки и груши. Если добавить туда столько же яблок, сколько сейчас там груш (в штуках), то процент яблок будет вдвое больше, чем получится, если добавить в корзину столько груш, сколько сейчас там яблок. Какой процент яблок сейчас в корзине?
5. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников DADE и DBCF равна площади четырёхугольника EKFL.
1. Два брата ходят из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды через 15 минут после выхода первый побежал обратно в школу, забрав забытый дневник, сразу бросился догонять брата. Оставшись один, второй брат продолжал идти домой в 2 раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин позже обычного. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?
2. Механизм представляет собой замкнутую систему 2009 шестеренок, сцепленных последовательно друг за другом. Будет ли работать этот механизм? Тот же вопрос для 2008 шестеренок.
3. Решите уравнение с двумя неизвестными x и y в целых числах x2+y2=x+y+2.
4. Докажите, что если котангенсы углов треугольника образуют арифметическую прогрессию, то и квадраты сторон этого треугольника образуют арифметическую прогрессию.
5. Две окружности пересекаются в точках М и N. Через точку А, лежащую на хорде MN, проведена прямая, пересекающая одну окружность в точках В и С, и прямая, пересекающая другую окружность в точках K и L. Докажите, что точки B, C, K, L лежат на одной окружности.
