I этап (школьной)
Всеукраинской ученической олимпиады по математике
1. Что больше 15% от числа 240, или число, 75% которого равно 27?
(15 б.)
2. Ученик прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 0,2 всей книги и еще 16 страниц, на второй день 0,3 остатка и еще 20 страниц. В третий день 0,75 остатка и последние 30 страниц книги. Сколько страниц было в книге?
(15 б.)
3. Мальчик и девочка измеряли шагами расстояние 143 м, 20 раз их шаги совпадали. Шаг мальчика 65 см. Чему равна длина шага девочки?
(20 б.)
4. Чтобы пронумеровать страницы большой научной работы, понадобилось 3389 цифр. Сколько страниц в работе?
(20 б.)
5. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая с пятой, третья – с шестой. Докажите, что это число кратно 7,11,13.
(30 б.)
1. Летом цену на лыжи снизили на 10%, а зимой подняли на 10%. Сравнить цену на лыжи этой зимой и прошлой (в процентах)?
(15 б.)
2. Каждый из троих игроков записывает сто слов, после этого записи сравниваются. Если слово встречается хотя бы у двоих, то его вычеркивают из всех списков. Возможна ли ситуация, что у первого игрока осталось 54 слова, у второго 75 слов, а у третьего 80 слов?
(15 б.)
3. Расположить 6 точек на четырех прямых так, чтобы на каждой из них было по три точки.
(20 б.)
4. Найти все тройки простых чисел a, b, c таких что 7а – bc = 105.
(20 б.)
5. Шестизначное число делится на 8. Какую наименьшую сумму цифр оно может иметь? Какую наибольшую сумму цифр может иметь такое число?
(30 б.)
1. Через пять лет возраст брата буде относиться к возрасту сестры как 8:7. Сколько лет каждому из них сейчас, если год назад брат был вдвое старше сестры?
(15 б.)
2. Доказать, что когда a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac, де a, b, c – действительные числа, то a = b = c.
(15 б.)
3. Точка P - середина высоты, проведенной к основанию BC равнобедренного треугольника ABC. Прямая BP пересекает боковую сторону AC у точке M. Докажите, что CM=2AM.
(20 б.)
4. На доске записано число 12345678910111213…., какая цифра буде стоять на 2009 месте.
(20 б.)
5. Докажите, что среди любых ста целых чисел, можно выбрать несколько (возможно, одно) разность которых делится на 100.
(30 б.)
1. Вычислить значение выражения
.
(15 б.)
2. При каких целых значениях а уравнение x(a-1)2=(a+4)(a-1) имеет целые решения?
(15 б.)
3. Разложите на множители x5+x+1.
(20 б.)
4. В равнобедренном треугольнике АВС (АС=ВС) провели медиану СС1 и биссектрису АА1. Найдите величину угла АСВ, если АА1 = 2СС1 .
(20 б.)
5. В каждой клеточке доски 5×5 сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседнюю клетку (соседними считаются те, которые имеют общую сторону). Докажите, что после того как все жуки переползут, найдется клеточка, на которой будут сидеть по крайней мере два жука.
(30 б.)
1. Решите неравенство 
(х2-х-12) ≤ 0.
(15 б.)
2. При каком значении а сума квадратов корней уравнения
х2–ах+а–1=0 будет наименьшей?
(15 б.)
3. Докажите, что не существует четырех различных положительных чисел a, b, c, d таких, что a + b = c + d и
a3 + b3 = c3 +d3
(20 б.)
4. Докажите, что сумма медиан треугольника меньше периметра, но больше полупериметра треугольника.
(20 б.)
5. В библиотеке не больше 5000 книжек. Если их связывать по 6, по 7, по 5, то останется одна книга, если связывать по 11, то лишних книг не будет. Сколько книг в библиотеке?
(30 б.)
1. Решите неравенство (х2-х-12) ≤ 0.
(15 б.)
2. Решите уравнение х4 + 1 = 2х2 sin y.
(15 б.)
3. Чему равна сумма действительных корней уравнения f(x)=0, если все действительные значения х удовлетворяют равенству f(2х+1)= 4х2+14х?
(20 б.)
4. Докажите, что на координатной плоскости не существует правильного треугольника, все вершины которого имеют целые координаты. (20 б.)
5. Дно прямоугольной коробки выложено плитками размером 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и потеряли одну плитку 2×2. Вместо нее достали плитку размером 1×4. Докажите, что выложить теперь дно коробки не получится.
(30 б.)
Решения заданий.
6 класс
1. 15% от числа 240 это 240 : 0,15 = 36. Число, 75% которого равняется 27 есть 17 : 0,75 = 36. Потому эти числа равны.
2. Пусть в книжке было х страниц. Первый день – (0,2х + 16) стр, осталось прочитать во второй и третий дни (0,8х - 16) стр, во второй день прочитал (0,3(0,8х - 16) +20) = (0,24х + 15,2) стр, в третий день прочитать осталось (0,56х – 31,2) стр. Так как в третий день прочитали 0,75 остатка и еще 30 стр, то остаток будет 120 стр.
0,56х – 31,2 = 120
х = 270
Ответ: 270 страниц.
3. Расстояние – 14300 см.
14300 : 20 = 715 см – расстояние между совпадениями.
715 65 13 | 11 5 13 |
11 ∙ 5 = 55 (см).
4. Одной цифрой пронумеровано 9 стр, двумя цифрами – 90 стр, тремя – 900 стр. Всегобудем иметь 9 + 90 · 2 + 900 · 3 = 2889 (цифр).
Остается еще 500 цифр, использованных для записи четырезначного номера страницы. Таких страниц 500 : 4= 125 (стр).
Значит, в научной работе 9 + 900 + 900 + 125 = 1124 (стр).
5. Обозначим соответственно первую, вторую и третью цифру числа за a, b, c. Тогда число можно записать 100000а + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c = 100100a + 10010b + 1001c = 1001(100a + 10b + c) = 7 · 11 · 13 · (100a + 10b + c).
Данное число делится на 7, 11, 13.
7 класс
1. Пусть первоначальная цена лыж была х. После снижения цены на 10% она стала равна 0,9х. Если теперь новую цену повысить на 10%, она станет равна 1,1·0,9х или 0,99х. В результате проведенных операций цена уменьшилась на 1%.
Ответ: уменьшилась на 1%.
2. Нет, не могло. У первого игрока вычеркнуто 46, у второго – 25, а у третьего – 20 слов. Но 20 + 25 < 46. Значит, слова, вычеркнутые у первого игрока, не могли все встречаться у кого-то из двух других участников.
3.
 |
4. 
Т. к. b и c – простые, то одно из них равно 7, а другое а – 15.
Пусть, например, 
, 
.
Тогда либо с либо а – четное число. 
.
Случай 
, 
рассматривается аналогично.
Ответ: 
, , 
, 
, .
5. Число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, которое делится на 8. Среди шестизначных чисел, которые делятся на 8, наименьшую сумму цифр имеет число 100000, а наибольшее 999888, эта сумма 1 и 51.
Ответ: 1 и 51.
8 клас
1. Нехай х – вік брата, а y – вік сестри, тоді через 5 років вік дітей буде (х+5) та (y+5), складемо рівняння 
=
, тоді 7(х+5) = 8(y+5), а рік тому вік дітей складав (х-1) і (y-1), тоді х+2=2(y-1). Розв’язуючи систему рівнянь отримаємо х=3, а y=2.
2. Домножимо на 2 ліву і праву частину, тоді 2а2+2b2+2с2-2ab-2bc-2ac=0, (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, це можливо коли a-b=0 і b-c=0 і a-c=0 , тоді a=b=c
3. 
В рівнобедреному ∆АВС, АВ = АС, AP = 
AD, M
AC.
Проведемо DN || BP , DN - середня лінія ∆СМВ тоді CN=NM,
а MP - середня лінія ∆NAD, тоді AM = MN, MN = NC,
а значить AM = MN =NC, CM = CN + MN = 2AM
4. Визначаємо що цифри записуються одним знаком, і їх 9 двозначних чисел 90 і у записі вони містять по два знаки, тоді двозначні числа утворили 180 символів, а разом з однозначними 189 символів, тоді тризначних чисел необхідно взяти (2009-189):3=606 
значить 606-е тризначне число дорівнює 606+99=705 і це 2005-та, 2006-та і 2007-ма цифри числа, тоді 2008-ма цифра 7, а 2009-та 0.
5. При діленні на 100 числа можуть давати сто різних остач від 0 до 99, якщо ми маємо саме такі числа, то одне з чисел ділиться на 100, а якщо ні, то принаймні два числа дають однакову остачу, а=100m+r, b=100k+r, a-b=100m-100n=100(m-n)
9 клас
1. 
= 
= 3+
+3 - = 6
2. при а = 1 маємо 0=0 рівняння має розв’язками всі дійсні числа, при а 
1 х= 
=
. Тоді а-1=
, значить а = -4, 0, 2 або 6
Відповідь: а=-4, 0, 1, 2 або 6
3. х5+х+1= х5 – х2 + х2 + х +1=х2 (х3-1 )+( х2 + х +1)= х2(х-1)( х2 + х +1) +( х2 + х +1) = (х2+х+1)(х3-х2+1)
4. 
Проведемо С1D || АА1. Так як АС1=С1В, то С1D – середня лінія 
АА1В.
Значить С1D=
АА1=СС1, тоді СС1D – рівнобедрений.
Нехай 
АСС1=С1СВ=СDС1=α, тоді
САС1=СВС1=90°-α; 
1АС1= DС1В=45°-
.
За властивістю зовнішнього кута трикутника:
СDС1= DC1B +DBC1, тоді α=45°- +90°-α. Звідси 2α=108°,
= 108°.
5. Розфарбуємо дошку в шаховому порядку, тоді зафарбованих клітиночок буде 13, а не зафарбованих 12 або навпаки. Коли жук переповзає на сусідню клітиночку, то обов’язково змінює колір клітини на якій знаходиться, отже 13 жуків із зафарбованих клітинок розмістилися на 12 не зафарбованих клітинах, значить знайдеться хоча б одна клітина на якій сидітиме принаймні два жуки.
10 клас
1. Розв’язуючи методом інтервалів і враховуючи знак модуля і допустимі значення х отримаємо розв’язок х
[-3;0)
(0;4]
2. D = a2 – 4a + 4= (a-2)2
0 , x12 +x22 = (x1+x2)2 – 2x1x2 = a2-2(a-1) = a2-2a+2 , функція приймає найменше значення 1 при а=1
3. а3 + b3 = c3 + d3, (a+b)(a2-ab+b2 )=(c+d)(c2-cd+d2), a2-ab+b2 = c2-cd+d2,
(a+b)2-3ab=(c+d)2-3cd, значить ab=cd. З іншого боку (a-b)2=(a+b)2-4ab і
(c-d)2 =(c+d)2-4cd, тоді a-b = c-d, a+d=c+b, враховуючи умову a+b = c+d і віднімаючи ці вирази отримаємо a=c, b=d, значить a, b, c, d не можуть бути різними.
4. 
В 
медіани. Доведемо, що 
, 
, 
, 
, 
,
. Доведемо другу частину
нерівності: в 
, в 
,
в 
, в 
, в 
,
в 
. Додамо нерівності, отримаємо
,
, 
, 
5. Нехай кількість книжок в бібліотеці n, n≤5000, тоді (n – 1)
6, (n – 1)7, (n – 1)5, значить, (n – 1)210, n – 1= 210k, n =210k+1. Так як n11, то перепишемо
n= 209k + k +1, тоді (k+1) 11, враховуючи обмеженість книжок в бібліотеці k = 10, або k = 21, тоді n = 210·10+1=2101, або n= 210·21+1= 4411
11 клас
1. Розв’язуючи методом інтервалів і враховуючи знак модуля і допустимі значення х отримаємо розв’язок х [-3;0)(0;4]
2. х4 – 2х2 
+ 
=0, (x2-
2 + 
= 0, значить 
=0, y= 
, і x2 - = 0. Якщо у = 
, то х2 – 1 =0, і х=
, а якщо 
, то отримаємо х2 +1 =0, яке не має розв’язків.
Відповідь: у = , х=
3. f(2x+1) = 4x2+14x = 4x2+4x+1+10x+5 -6 = (2x+1)2 +5(2x+1) – 6, тоді f(x) = х2 +5х-6, значить сума коренів рівняння f(x) =0 дорівнює -5
4. 
Припустимо, що координати вершин трикутника є цілими числами, тоді квадрат сторони трикутника а2 = (хА – хВ)2 + (уА – уВ)2 є ціле число, а площа рівностороннього трикутника S = 
тоді є ірраціональним числом. З іншого боку розглянемо рівносторонній трикутник в системі координат, вписаний в прямокутник. Так як координати вершин трикутника цілі числа, то і координати вершин прямокутника – цілі, тоді площа прямокутника і площі прямокутних трикутників є цілими числами, значить площа заданого трикутника – ціле число, чого бути не може так як це число ірраціональне.
5. Розфарбуємо площу підлоги так як позначено на малюнку
Плитка розміром 2
2 обов’язково містить одну і тільки одну зафарбовану клітинку, а смужка 14 містить або дві або жодної зафарбованої клітинки, якщо одну плитку розміром 22 замінити на плитку розміром 14, то зміниться парність зафарбованих клітиночок, отже така заміна не можлива.
