Методическая разработка по дисциплине «Математический анализ» (стр. 3 )

Контрольные вопросы

1.  Какими свойствами должна обладать функция в точке x0 и в ее окрестности для того, чтобы в ней можно было применить теорему Ферма? Как называется точка, если в ней выполняется теорема Ферма для функции y=f(x)?

2.  Сформулируйте условия, при которых на отрезке [a, b] к функции y=f(x) применима теорема Ролля?

3.  В чем состоит геометрический смысл теоремы Лагранжа?

4.  В каких случаях при вычислении пределов можно применять правило Лопиталя?

5.  Выберите верное утверждение:

а) Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то в этой точке производная функции равна нулю;

б) Если в точке производная функции равна нулю, то в этой точке функция имеет экстремум.

6. Сформулируйте необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции в интервале.

Задания для самостоятельной работы

1. Экстремумы функций.

[1], с 195-218, [2], №№4.6(2-9), 4.8(1-7), 4.9(1-5), 4.10 (29-38, 44-46, 50-52), 4.11(13, 16, 21, 22).

Рекомендуемая литература

1.  Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. .- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.- с. 195-218

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для экономических специальностей вузов./ , , ; под научной редакцией проф. .- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – с.83-91.

Занятие 7

Вопросы для обсуждения

1.  Исследование функций на экстремум.

2.  Исследование кривых на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

3.  Полное исследование функции и построение графиков.

4.  Темпы изменения функции.

5.  Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Решение экономических задач.

Практические задания

[1], с. 254, №№19-21; [2], №№ 4.12(1-8), 4.13(2-7), 4.15, 4.17, 4.18, 4.30(2, 3, 5), 4.31, 4.32, 4.36, 4.38(12, 14, 16), 4.39(1, 3, 7, 9).

Контрольные вопросы

1.  Какие условия должны выполняться для функции f(x), чтобы ее точка была критической?

2.  Сформулируйте достаточные условия существования экстремума функции( 1-е и 2-е правила).

3.  Какая кривая называется выпуклой (вогнутой) в интервале (a, b)?

4.  Какая точка графика называется точкой перегиба?

5.  Сформулируйте достаточные условия выпуклости, вогнутости кривых, необходимые условия существования точки перегиба.

6.  Назовите виды точек перегиба и сформулируйте условия, при которых имеет место тот или иной вид точки перегиба.

Задания для самостоятельной работы

1.  Темпы изменения функций.

[1], с. 219-249; [2], №№ 4.12(15-23), 4.13(13-19), 4.14, 4.16, 4.19, 4.30(13, 18, 24), 4.33, 4.34, 4.37, 4.38(8, 11, 49, 54,68), 4.39(2, 4, 6, 8, 14, 22).

Рекомендуемая литература

1.  Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. .- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.- с. 219-254

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для экономических специальностей вузов./ , , ; под научной редакцией проф. .- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – с.91-104.

Практическое занятие 8. Применение дифференциального исчисления в экономических исследованиях

Вопросы для обсуждения

1.  Производственные функции.

2.  Экономически обу­словленная область определения производственных функций.

3.  Эластичность функции. Экономическая оценка.

4.  Исследование динамики функций полных, предельных, средних из­держек, построение их графиков, экономический анализ.

5.  Исследование динамики полной выручки в зависимости от эластичности спроса,

6.  Необходимое и достаточное условия получения максимальной прибыли.

7.  Функция полезности.

8.  Кривые безразличия.

Практические задания

[1], с. 327, №№1-5, 7, 8, 11, 12; с.326, № 19, с.329, № 12-13;

[2], №№ 5.1(1, 4, 5, 7), 5.3(1,3), 5.4(1,3), 5.5(3,4), 5.7(1,2, 4,5), 5.8(3), 5.10, 5.12(2,6), 5.13(3), 5.18(1, 6), 5.21(2), 5.26(4), №№ 5.22(1, 3), 5.27(2, 4), 5.28(1,3).

Контрольные вопросы

1.  Назовите известные Вам производственные функции.

2.  В какой четверти координатной плоскости располагаются графики производственных функций?

3.  Сформулируйте определение, экономический смысл и свойства эластичности функции.

4.  Какие функции называются эластичными, неэластичными, нейтральными, совершенно эластичными, совершенно неэластичными?

5.  Приведите схему исследования динамики производственных функций.

6.  Выведите формулу зависимости полной выручки от эластичности спроса.

7.  Как влияет эластичность спроса на поведение функции полной выручки?

8.  Сформулируйте необходимое и достаточное условия получения максимальной прибыли.

9.  Дайте определение функции полезности.

10.  Охарактеризуйте кривые безразличия.

11.  Какие кривые относятся к кривым Энгеля?

Задания для самостоятельной работы

[1], с. 304 –325; [2], №№ 5.2(1, 4), 5.5(1, 2, 5), 5.6(2, 3), 5.14(1 – 4), 5.15(3), 5.16(2, 3, 4), 5.23(1, 2, 4), 5.26(5, 6). №№ 5.22(2, 4), 5.29(1 – 3), 5.30(1 – 3), [3], с. 101 – 106. .

Рекомендуемая литература

1.  Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред.

.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.- с. 304 – 323

2.  Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для

экономических специальностей вузов./ , , ; под научной редакцией проф. .- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – с.105-112.

3. , Марданов в экономике: Учебное пособие для экономических специальностей вузов. – М.: Изд-во «Экономика», 2011.- с. 101 – 106.

Практическое занятие 9. Функции многих переменных

Практическое занятие в интерактивной форме.

Занятие проводится в форме тестирования с последующим обсуждением и работой малыми группами.

В начале занятия студенты под руководством преподавателя обсуждают сложные вопросы, вызвавшие затруднения при выполнении домашнего задания (15-20 мин.)

Затем студентам предлагаются тесты по 2 – 3 вариантам по теме «Функции многих переменных» (5 – 6 минут). Преподаватель знакомит студентов со шкалой оценок, по которой будут оцениваться их ответы. После этого под руководством преподавателя начинается обсуждение студентами вопросов теста и правильных ответов.

Примерные вопросы для обсуждения

1 Плоские точечные множества.

2. Понятие функции двух переменных и функции нескольких переменных.

3. Область определения, график функции двух переменных.

4. Функция Кобба-Дугласа.

5. Предел и непрерывность функции нескольких переменных; функции двух переменных.

6. Частные производные и полный дифференциал 1-го порядка функций нескольких переменных.

7. Частные производные и полный дифференциал 2-го порядка функций двух переменных.

Показательным и полезным является то, что в процессе обсуждения сами студенты убеждают других студентов в их правоте или неправоте, а преподаватель в этом споре выступает в роли арбитра. В результате такого обсуждения студенты определяют свои «слабые места» и в соответствии со шкалой оценок могут оценить уровень своих знаний самостоятельно (20 мин.).

В оставшееся время студенты разбиваются на малые группы по 4-5 человек, каждая группа решает примеры по теме занятия. Затем студенты обсуждают наиболее сложные примеры, представитель от малой группы демонстрирует ход решения на доске, а остальные группы либо соглашаются, либо оспаривают его решение, предлагая свой метод решения.

В конце практического занятия преподаватель дает задания на дом с необходимыми пояснениями к решению задач.

Практические задания

[1], с. 298 – 301 , №№1 – 7; с. 301, №8;

[2], №№ 6.1(2 – 6, 9, 11), 6.2, 6.4, 6.5, 6.9(1– 4), 6.18, 6.19, 6.21(1-6), 6.23, 6.24, 6.25, 6.35(1-11), 6.38, 6,39, 6.46(2-6), 6.80(1-6), 6.82, 6.84(1-3), 6.104, 6.105.

Контрольные вопросы

1. Дайте определения открытого и замкнутого, ограниченного и не ограниченного плоских множеств.

2. Дайте определение функции двух переменных.

3. Что представляет собой график функции двух переменных?

4. Какая функция называется функцией Кобба-Дугласа?

5. Как вычисляются пределы функции двух переменных?

6. Сформулируйте правила нахождения частных производных 1-го порядка функции двух переменных.

7. Напишите формулу полного дифференциала 1-го порядка функции двух переменных.

8. Сформулируйте правила нахождения частных производных 2-го порядка функции двух переменных.

9. Напишите формулу полного дифференциала 2-го порядка функции двух переменных.

Задания для самостоятельной работы

[1], с. 257-277; [2], с. 126-135, №№ 6.10(1-7, 10), 6.11, 6.13, 6.14(2-5), 6.17(1-3), 6.27, 6.29(1-7), 6.30 – 6.33, 6.41(1-9), 6.42, 6.51(1 -5), 6.85(1-6), 6.86, 6.88, 6.89, 6.106, 6.107.

Рекомендуемая литература

1.  Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. .- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.- с. 257-274, с. 298 - 301.

2.  Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для экономических специальностей вузов./ , , ; под научной редакцией проф. .- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – с.114-135.

Практическое занятие 10. Экстремумы функций многих переменных

Вопросы для обсуждения

1.Понятие безусловного экстремума функции двух переменных.

2. Необходимое условие существования безусловного экстремума; достаточное условие его существование.

3. Условный экстремум функции двух переменных. Функция Лагранжа.

Практические задания

[1], с. 302, №№ 10 – 12; [2], №№ 6.90(1 -5, 9 -11), 6.92(1 -5).

Контрольные вопросы

1. Дайте определение безусловных максимума и минимума функции двух переменных.