Тема: «Математическое моделирование равновесного функционирования фирмы»

Задание 2.
Тема: «Математическое моделирование
равновесного функционирования фирмы»

Предприятие осуществляет выпуск одного вида продукции в объеме . При этом используется два вида ресурсов и . Зависимость между выпуском продукции и расходом ресурсов описывается двухфакторной производственной функцией:

.

Исследовать условия равновесного функционирования фирмы, обеспечивающие предприятию технологическую и экономическую эффективность производства.

Технологическая эффективность производства достигается при получении максимума выпуска продукции при минимуме затрат на производство при текущей системе цен.

Пусть - цены ресурсов вида 1 и 2 соответственно, - затраты предприятия на производство, то выполнено .

Максимальный уровень производства продукции и расхода ресурсов (), обеспечивающих минимум затрат на производство при действующей системе цен являются решением следующей задачи

, (1)

,

.

Решение задачи (1) представляет собой множество точек пересечения кривых изоквант и изокост.

Найдите и выразите следующие компоненты решения, также постройте графики функций (поверхностей):

1)  функции спроса на ресурсы

;

2)  функцию оптимального выпуска продукции как зависимость от цен на ресурсы и имеющихся в распоряжении финансовых средств:

;

3)  функцию затрат на производство как зависимость от выпуска и цен ресурсов:

.

Для функции затрат проверьте выполнение основных условий:

а) при возрастании объемов производства и цен ресурсов издержки возрастают:

;

б) при нулевых ценах на ресурсы издержки производства равны нулю:

;

в) не отрицательность издержек для любых положительных аргументов функции .

Если решение для неединственное, то следует выбрать тот вариант, который удовлетворяет вышеперечисленным условиям.

Экономическая эффективность производства соответствует таким условиям функционирования фирмы, при которых достигается максимум прибыли от производства и реализации продукции. При этом необходимо учитывать ограниченность финансовых средств, функции спроса на ресурсы.

Оптимальный объем выпуска , обеспечивающий предприятию экономическую эффективность производства, находится из решения следующей задачи:

, (2)

где цена реализации продукции, - функция затрат на производство, полученная при решении задачи (1).

Решение задачи (2) представляет собой оптимальный объем производства продукции , обеспечивающий максимум прибыли предприятию в текущих экономических условиях при минимуме затрат на производство и ограниченности финансовых средств.

Найдите и выразите следующие компоненты решения:

1)  оптимальный объем производства продукции ;

2)  определите условия, а именно, состояние рыночных факторов при которых ;

3)  исследовать чувствительность оптимального выпуска к изменению цены реализации , и ресурсов и .

Определите чувствительность выпуска к изменению цен на ресурсы и цене . Определите, изменение цен какого из ресурсов, оказывает бóльшее влияние на продуктивность. Для этого используйте сравнение частных производных функции .

Если выполнено условие:

,

то при изменении цены ресурса 1 объем оптимального выпуска измениться в большей степени, чем при изменении цены на единицу. Значит, чувствительность к изменению цены выше, чем к изменению .

Если

,

то при возрастании цены ресурса выпуск уменьшается (иначе выпуск тоже возрастает – что в реальности случается редко).

Определите чувствительность к изменению цены реализации:

.

Как правило, при возрастании цены объем предложения растет, т. к. все другие параметры фиксированы, соответственно знак производной >0.

Если при решении задачи возникла другая ситуация, т. е. знак производной <0, то следует еще раз проверить все расчеты, чтобы обосновать свой вывод.

ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ЗАДАНИЯ БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ СО ЗНАКАМИ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕРПРЕТАЦИЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ!

Пример. Технология производства продукции и соответственно взаимосвязь между расходом ресурсов и выпуском описывается производственной функцией Кобба-Дугласа вида:

,

где параметр, отражающий уровень технологического развития производства, а положительные параметры, определяющие вклад в прирост продуктивности ресурсов.

Найдем объем выпуска продукции, обеспечивающий максимальную продуктивность при минимальных затратах на производство, т. е. область пересечения изоквант и изокост.

Для этого решим следующую параметрическую задачу:

(1)

Для решения задачи используем метод множителей Лагранжа. Лагранжиан исходной задачи описывается как:

. (2)

Достижение максимума функционала (2) по переменным при обращении скобки с ограничением в ноль является решением исходной задачи (1) при положительности решения.

Запишем условия первого порядка, выполнение которых необходимо для существования экстремума:

;

;

.

Решая полученную систему нелинейных уравнений, найдем стационарную точку и :

;

;

.

Для дальнейшего использования решения необходимо доказать, что оно является максимумом в задаче (1).

Рассмотрим доказательство данного положения.

Для проверки стационарной точки на вид экстремума необходимо проверить условия второго порядка. Найдем матрицу Гессе:

. (3)

Матрица вида (3) называется также окаймленной матрицей Гессе.

Для того чтобы стационарная точка являлась максимумом для задачи (1) необходимо и достаточно чтобы первые два минора окаймленной матрицы Гессе имели знаки детерминанта совпадающие по знаку с . Данное условие справедливо только для ЗНП с ограничениями в виде равенства. Для задачи нелинейного программирования в общем виде используются условия Куна-Таккера. Проверка третьего минора не требуется, т. к. в третьем столбце и третьей строке определены выражения при двойственных переменных задачи (1).

Проверим данное условие:

При определитель матрицы отрицателен, если произведение параметров . Данное условие выполнено при .

При условие для существования максимума имеет вид

.

Это выполнено если >0, что соответствует условию >0.

Очевидно, что при или , т. е. при искомое условие выполнено.

При детерминант обращается в ноль. Таким образом, классический вариант функции Кобба-Дугласа приводит к условию неполной положительной определенности окаймленной матрицы Гессе.

При нарушении условия для найденного решения нельзя утверждать, что оно есть максимум.

Таким образом, найденное решение есть максимум и оно представляет собой функции спроса на ресурсы вида 1 и 2:

и

при этом обеспечивается максимум выпуска продукции и выполнение бюджетного ограничения.

Полученное решение обладает следующими свойствами:

1)  при возрастании цен на ресурсы их объем использования в производстве уменьшается, соответственно уменьшается и выпуск продукции;

2)  при нулевом запасе финансовых средств объем производства продукции равен нулю;

3)  расход ресурса 1 не зависит от цены на другой ресурс.

Третье свойство в реальности, как правило, не выполнено и является следствием нерациональности рассматриваемой производственной функции.

На основе полученного решения найдем параметрическую зависимость объемов производства продукции:

.

Из приведенного выражения выразим и получим функциональную зависимость минимальных производственных затрат, обеспечивающих максимум технологической эффективности фирмы и заданный уровень продуктивности:

. (4)

Выражение (4) является также решением обратной задачи оптимизации деятельности фирмы:

(5)

Задание для самостоятельного выполнения: показать, что решение прямой задачи, в том числе выражение (4) есть решение задачи (5).

Для упрощения дальнейшего исследования функцию издержек (4) упростим путем введения следующей константы:

.

Выражение (4) примет вид:

.

Функция оптимальных издержек удовлетворяет следующим свойствам:

1)  при нулевых ценах ресурсов издержки равны нулю;

2)  при возрастании цен издержки возрастают;

3)  при возрастании объемов выпуска пропорционально возрастают и издержки.

Используем полученные результаты для исследования условий экономической эффективности производства.

Пусть - цена реализации продукции.

Найдем решение следующей задачи:

. (6)

Найдем решение данной задачи.

.

Выразим из полученного равенства решение:

Найдем вторую производную функции и определим ее знак в точке найденного решения:

.

Очевидно, что при >0 найденное решение представляет максимум в задаче (6), при - точку перегиба и при - минимум.

Решение определяет максимальный объем производства продукции в зависимости от цен реализации и приобретения ресурсов или соответствующую функцию предложения продукции.

При оптимальный объем выпуска продукции определяется соотношением цены реализации и цен ресурсов, а также технологическим коэффициентом. Рассмотрим основные свойства полученного решения:

1) чувствительность к изменению цены реализации продукции.

Найдем частную производную полученного решения:

.

При выполнено, что , соответственно при возрастании цены растет и оптимальный объем предложения продукции, т. е. целесообразно наращивать масштабы деятельности.

При наоборот, при возрастании цены объем оптимального выпуска уменьшается. Это условие имеет место, т. к. если вспомнить условия второго порядка для экстремума задачи (1) и условия для задачи (6), то в этом случае решением задачи является минимум, соответственно и минимальные объемы выпуска продукции с ростом цены уменьшаются.

При цене равной нулю оптимальный объем производства равен нулю.

2) определим чувствительность к изменению цен на ресурсы.

Найдем частные производные по и :

;

.

При частные производные отрицательны, т. е. при росте цен на ресурсы объем производства уменьшается (при стабильной цене реализации).

При , частные производные положительны, соответственно объем производства возрастает. Т. к. в этом случае найденное решение есть минимум для задачи (5), то подобная закономерность действительно реалистична, т. е. минимальные объемы производства возрастают при росте цен на ресурсы.

Варианты заданий для индивидуального выполнения

Номер варианта	Производственная функция	Примечание
1		Возможно два решения для C0, одно из них положительное
2		Возможно два решения для C0, одно из них положительное
3
4
5
6
7		Возможно два варианта решения
8		В задаче (1) 4 корня, в итоговой задаче 3 корня один из них вещественный
9		Решение включает нахождение 9 корней
10		Первоначальная задача имеет 5 вещественных, кратных корней, итоговое решение имеет один вещественный корень и три комплексных
11		5 вещественных, кратных корней, итоговое решение имеет два решения одно из них положительное
12		2 корня одно из них положительное, итоговое решение единственное
13		10 вещественных, кратных корней, итоговое решение имеет два решения одно из них положительное
14		Возможно два решения для C0