Разностные схемы для решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве неопределенных коэффициентов (стр. 8 )

3.5. Уравнение Бонгоффера — Ван-дер-Поля

Рассмотрим еще один пример жесткой задачи малой размерности, имеющей периодическое решение [5, 8].

Здесь a = 103 и a = 106, Уравнение описывает протекание тока через клеточную мембрану. Постоянная компонента тока c в безразмерной записи системы такова, что 0 < c <1, b > 0. Tk = 20.

3.6. Сингулярно - возмущенная система — модель двухлампового генератора Фрюгауфа

Система более высокой размерности, имеющая решение в виде релаксационного цикла, приведена в [4] (см. также [8]). Она имеет вид:

Здесь α > 0 — константа порядка единицы, функция Tk = 20, ε = 10–3, 10–6.

3.7. Простейшая модель гликолиза

Простейшая модель гликолиза описывается уравнениями следующего вида [8]:

предложенными Дж. Хиггинсом. В системе β = 10, α = 100, 200, 400, 1000. Начальные условия для системы: y1(0) = 1, y2(0) = 0,001, Tk = 50. Решение этой системы — релаксационные автоколебания (жесткий предельный цикл).

3.8. Модель химических реакций Робертсона

Один из первых и самых популярных примеров «жесткой» системы ОДУ принадлежит Робертсону (1966) и имеет вид, типичный для моделей химической кинетики — в правой части системы стоят полиномы второй степени от концентраций (сравните с орегонатором).

Система Робертсона имеет вид [1]:

Начальные условия для системы таковы: y1(0) = 1, y2(0) = 0, y3(0) = 0. Рассматриваются следующие величины отрезка интегрирования: Tk = 40 (в работе Робертсона рассматривался именно такой отрезок интегрирования), Tk = 100, 1000, …, 1011. О свойствах задачи см. в [1].

3.9. Модель дифференциации растительной ткани

Данный пример из [1] — типичный случай биохимической модели «умеренной» размерности (современные модели, например, фотосинтеза включают сотни уравнений подобного типа). Хотя данная модель является умеренно жесткой, тем не менее, ее лучше решать с помощью методов, предназначенных для решения ЖС ОДУ.

Начальные значения всех переменных системы равны 0, кроме y1(0) = 1 и y8(0) = 0.0057. Длина отрезка интегрирования Tk = 421,8122.

3.10. Задача E5

Еще одна модель химической реакции из [1], получившая свое название Е5 в более ранних публикациях.

Начальные условия: y1(0) = 1,76•10–3, а все остальные переменные равны 0. Значения коэффициентов модели следующие: A = 7,89•10–10, B = 1,1•107, C = 1,13•103, M = 106. Первоначально задача ставилась на отрезке Tk = 1000, но впоследствии было обнаружено, что она обладает нетривиальными свойствами вплоть до времени Tk = 1013 (подробнее см. [1]).

Обратите особое внимание, что в процессе расчетов приходится иметь дело с очень малыми концентрациями реагентов (малы значения y2, y3 и y4). Как «подправить» постановку задачи E5?

3.11. Уравнение Релея

Уравнение Релея во многом похоже на уравнение Ван-дер-Поля [8]. Рассматривается задача вида

.

Решить задачу, записав уравнение Релея в виде системы ОДУ. Начальные условия: x(0) = 0, μ = 1000, Tk = 1000.

3.12. Экогенетическая модель

Рассмотрим пример системы уравнений, которая описывает изменения численности популяций двух видов и эволюцию некого генетического признака α. Система ОДУ имеет вид:

Параметры задачи таковы: ε ≤ 0,01, 0 ≤ x0 ≤ 3, 0 ≤ y0 ≤ 15, α0 = 0, Tk = 1500. Наличие малого параметра в третьем уравнении системы показывает, что генетический признак меняется медленнее, чем численность популяций. Решение системы — релаксационные колебания.

Задача описана в статье [9].

3.13. Экогенетическая модель

Еще один пример жесткой системы описан в статье [9]. Более интересный случай — численность двух популяций зависит от взаимодействия между ними и двух медленно меняющихся генетических признаков.

Параметры задачи таковы: ε ≤ 0,01, 0 ≤ x0 ≤ 40, 0 ≤ y0 ≤ 40, α10 = 0, α20 = 10, Tk = 2000.

Рассмотреть также модификацию предыдущей системы [9]:

Параметры задачи: ε ≤ 0,01, 0 ≤ x0 ≤ 40, 0 ≤ y0 ≤ 40, α10 = 0, α20 = 10, Tk = 2000.

Литература

1.  Э. Хайрер, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально – алгебраические задачи. — М.: Мир, 1999. — 685 с.

2.  Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990. — 512 с.

3.  Колебания и бегущие волны в химических системах: Пер. с англ. / Под ред. Р. Филда, М. Бургер. — М.: Мир, 1988. — 720 с.

4.  Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. — М.: Наука, 1975. — 248 с.

5.  Е. Ф. Мищенко, Ю. С. Колесов, А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно-возмущенных системах — М.: Наука. Физматлит, 1995. — 336 с.

6.  Г. Г. Малинецкий Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. — М.: Наука, 1998. (или Эдиториал УРСС, 2000.)

7.  Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. Численные методы и программное обеспечение. — М.: Мир, 1998. — 575 с.

8.  П. С. Ланда. Нелинейные колебания и волны. — М.: Наука. Физматлит, 1997. — 496 с.

9.  А. С Кондрашов, А. И. Хибник. Экогенетические модели как быстро-медленные системы. / В кн.: Исследования по математической биологии. – Пущино, 1996. — с. 88–123.

10.  ,, Численные методы решения жестких систем. – М.: Наука, 1979 (п. п. 1-4).

11.  Холл Дж., Уатт Дж. (ред.). Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1979 (п. п.1-4).

12.  Численные методы. – М.: Наука, 19?? (п.12).