Вычислительная математика (стр. 12 )

Уравнение вида

(2.9.1)

называется ЛИУ Фредгольма 1-го рода. Здесь f (x) – правая часть, x принадлежит некоторому интервалу [c, d]; y(s) – искомая функция, s принадлежит некоторому интервалу [a, b]; K(x, s) – ядро уравнения, заданное на прямоугольнике [a ≤ s ≤ b, c ≤ x ≤ d].

Уравнение вида

(2.9.2)

называют ЛИУ Фредгольма 2-го рода. Здесь λ – некоторая константа, а x и s заданы на одинаковом интервале [a, b]. Соответственно, ядро задано на квадрате [a ≤ s ≤ b, a ≤ x ≤ b].

2.9.1. Методы решения

Будем решать ЛИУ Фредгольма 1-го и 2-го рода, применяя в каждом случае методы последовательных приближений и дискретизации.

2.9.1.1. Метод последовательных приближений

Предположим, что решение ЛИУ Фредгольма 2-го рода (2.9.2) можно представить в виде

(2.9.3)

(2.9.4)

Если

(2.9.5)

то ряд (2.9.3) сходится.

Т. к. мы не можем численно вычислить сумму бесконечного ряда, ограничимся m его членами:

(2.9.6)

Параметр m подбирается таким образом, чтобы погрешность формулы (2.9.6) не превышала заранее заданной величины ε. Погрешность формулы (2.9.6) определяется выражением

(2.9.7)

2.9.1.2. Метод дискретизации

Введем сетку по переменным x и s:

(2.9.8)

Здесь Aj – квадратурные коэффициенты. Тогда вместо (2.9.2) получим СЛАУ

(2.9.9)

или, в матричном виде,

(2.9.10)

2.9.1.3. Решение ЛИУ первого рода

В общем случае, ЛИУ Фредгольма 1-го рода можно свести ко 2-му роду, тогда вместо (2.9.1) получим

(2.9.11)

Очевидно, что модифицированное ядро задано уже на квадрате [a ≤ s ≤ b, a ≤ x ≤ b], как и ядро уравнения (2.9.2). Далее задача решается рассмотренными выше методами. Остается единственная проблема – поиск положительного параметра α. Для этого оценим невязку решения ЛИУ:

(2.9.12)

Если полученная невязка удовлетворяет заданной погрешности, то считаем задачу решенной. Таким образом, решаем задачу (2.9.11) при различных значениях α, пока очередное решение yα(x) не станет достаточно точным.

Для простоты положим c = a и d = b.

2.9.2. Формат входных данных

Формат входного файла:

q	– тип ЛИУ;
p	– метод решения (в порядке их перечисления в п. 2.9.1);
a b	– отрезок, на котором заданы переменные x и s;
K(x, s)	– ядро ЛИУ;
f(x)	– правая часть ЛИУ;
λ	– параметр ЛИУ (при q = 2);
n	– количество интервалов, на которое разбиваются отрезки;
ε	– требуемая точность решения (если выбран метод последовательных приближений).
a	– любой символ или строка, сообщающая, известно или нет точное аналитическое решение y(x);
y	– точное аналитическое решение y(x) (если оно известно).

2.9.3. Формат выходных данных

Формат выходного файла:

x0 y0 x1 y1 … xn yn	– значения искомой функции в узлах сетки;
ε	– СКО (если известно аналитическое решение).

Литература

1.  Мицель методы. Учебное пособие. – Томск: В-Спектр, 2010.– 264с. (70 экз. на кафедре АСУ)

2.  Мицель по численным методам. – Томск: ТУСУР, 2004. –196 с. (10 экз. + 100 экз. на кафедре)