Фильтрация зашумленных сигналов и изображений с применением вейвлет-преобразования (стр. 4 )

В третьей главе диссертации обсуждается задача фильтрации сигналов с применением неортонормированных базисов и избыточных вейвлет-преобразований (фреймов). Рассматриваются основные недостатки алгоритмов фильтрации, использующих критическую выборку. Отмечается, что избыточность вейвлет-преобразования в случае фреймов позволяет уменьшать точность нахождения коэффициентов разложения, сохраняя качество последующего восстановления исходного сигнала. Рассматриваются количественные критерии качества фильтрации в случае сигналов, передающих речевые сообщения, такие как средняя оценка разборчивости речи. Показано, что применение подхода на основе комплексного вейвлет-преобразования двойной плотности позволяет существенно повысить качество очистки зашумленных сигналов по сравнению со стандартными алгоритмами на основе 1D-ДВП.

В разделе 3.1 представлены общие сведения о применении фреймов для проведения вейвлет-фильтрации. Проиллюстрированы различия частотно-временных локализаций при использовании нескольких вариантов непрерывного вейвлет-преобразования. Рассмотрены общие схемы разложения сигнала в рамках 1D-ДВПДП и 1D-КВПДП. Приведены требования к реализации фильтров, которые должны обеспечивать точную реконструкцию сигнала при его восстановлении по коэффициентам разложения, являться сопряженными по Гильберту, иметь заданное число нулевых моментов и малую область определения.

В разделе 3.2 обсуждается важная характеристика качества цифровой фильтрации аудио-сигналов, содержащих речевые сообщения, – средняя оценка разборчивости речи (MOS), а также ее аппроксимация на основе модели PESQ. Эта модель сравнивает исходный (опорный) сигнал с сигналом после фильтрации и характеризует различия между ними, в результате чего вычисляется оценка субъективного восприятия испытуемыми качества сигналов. Отмечается, что PESQ и среднеквадратичная ошибка фильтрации представляют собой независимые характеристики, позволяющие сделать вывод о качестве вейвлет-фильтрации.

В разделе 3.3 приводятся результаты сравнительного анализа подходов на основе фреймов и ДВП с ортонормированными базисами. Рассматриваются различные примеры аудио-сигналов с аддитивным шумом. Показано, что метод КВПДП обеспечивает снижение ошибки фильтрации и существенное увеличение MOS по сравнению с фильтрацией на основе ДВП с базисами Добеши. Отмечается, что использование дополнительных характеристик обеспечивает возможность более объективной оценки улучшения качества речевых сообщений в ходе вейвлет-фильтрации.

В разделе 3.4 представлены основные выводы по третьей главе диссертационной работы.

Основные результаты и выводы работы суммируются в заключении диссертации. Глава 1

Фильтрация сигналов и изображений на основе одномерного дискретного вейвлет-преобразования

1.1 Основные принципы вейвлет-фильтрации

При реализации быстрых алгоритмов разложения сигнала в базисе вейвлет-функций [8, 9] длину выборки целесообразно выбирать равной степени числа 2 (), так как переход от одного уровня разрешения к другому (более детальному) сопровождается уменьшением вдвое длины выборки. Проиллюстрируем основную идею этого подхода на примере временного ряда .

При прохождении сигналом НЧ-фильтра с характеристикой полученный выходной сигнал представляет собой свертку входного сигнала и характеристики фильтра

(1.1)

Характеристика взаимосвязанного ВЧ-фильтра задается следующим образом

(1.2)

где постоянная определяет длину области задания вейвлета. Увеличение позволяет использовать более регулярные функции (которые имеют нулевых моментов) [6], что обеспечивает возможность более сильного сжатия сигнала, а также сглаживания ошибок при его восстановлении, к которым приводит фильтрация. Наряду с этим, увеличение сопровождается существенным ростом коэффициентов фильтра, что также имеет свои недостатки (наиболее очевидный – это существенное увеличение времени вычислений, что может быть нежелательно, например, в задачах кодирования и передачи информации). Осциллирующие «хвосты» вейвлет-функций при больших служат дополнительным недостатком при решении ряда задач [14]. Поэтому выбор вейвлета должен осуществляться в зависимости от приоритетов при проведении цифровой обработки сигналов или изображений.

В большинстве практических задач в качестве базисных функций для реализации 1D-ДВП применяют вейвлеты Добеши [10]. Они были введены Ингред Добеши в конце 1980-х годов и представляют собой семейство функций, часто используемых в различных приложениях. Для проведения расчетов предложены специальные процедуры быстрого вейвлет-преобразования на основе данных вейвлетов.

Для M ∈ N, вейвлет Добеши D2M представляет собой функцию вида ψ = M ψ∈ L2(R), которая определяется выражением

(1.3)

где ∈ R – постоянные коэффициенты, удовлетворяющие условию

(1.4)

а для выполняется требование

(1.5)

Пример скейлинг - функции и вейвлета Добеши приведен на рисунке 1.1. При малых М коэффициенты могут быть записаны в виде точных выражений, например, вейвлет D4 задается коэффициентами

	(1.6)

При увеличении М определение проводится путем решения алгебраических уравнений степени М. Несмотря на то, что эти уравнения могут быть решены с любой требуемой точностью, значения теперь задаются в виде таблиц (с заранее определенным числом разрядов). В качестве примера приведем набор коэффициентов ВЧ-фильтра, с помощью которого определяется широко применяемый на практике вейвлет D8:

(1.7)

В практических вычислениях обычно используются коэффициенты с точностью до 32-х или 64-х десятичных разрядов.

После однократного прохождения сигналом квадратурных зеркальных фильтров с характеристиками и , осуществляется прореживание выходных сигналов, при котором выбираются четные или нечетные отсчеты, что соответствует схеме субполосного кодирования [25]. Это прореживание можно провести по той причине, что рассматриваемая фильтрация приводит к уменьшению в два раза частотного диапазона сигнала. Последовательности отсчетов, полученных после квадратурных зеркальных фильтров, определяются следующим образом:

(1.8)

Прореженные сигналы вновь поступают на вход фильтров. Схематично процедура многомасштабного анализа на основе 1D-ДВП представлена на рисунке 1.2а. На рисунке 1.2б показано, как при переходе на следующий уровень разрешения изменяется полоса частот сигнала.

а

б

Рисунок 1.1– Пример скейлинг-функции (а) и вейвлета Добеши (б) для M=10

а

б

Рисунок 1.2– Схематическое представление 1D-ДВП в рамках многомасштабного анализа (а) и соответствующее уменьшение полосы частот при переходе на следующий уровень разрешения (б)

Несмотря на то, что в результате прореживания каждый из временных рядов будет характеризоваться диапазоном частот вдвое меньше, чем у сигнала до фильтрации, наличие двух последовательностей (на выходе каждого фильтра) позволяет однозначно восстановить исходный сигнал при обратном преобразовании.