Растяжение-сжатие (стр. 1 )

РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ

1. Построение эпюр продольных сил

Растяжение (сжатие) – деформация, вызванная силами, равнодействующая которых приложена в центре тяжести сечения и перпендикулярна к сечению.

Для определения внутренних усилий применяют метод «сечений».

Рассечем брус плоскостью, перпендикулярной к оси бруса, на две части.

Сечение бруса имеет две стороны. Одна сторона прилегает к участку , а другая – к участку .

При растяжении (сжатии) в каждом сечении бруса действует только один силовой фактор – продольная сила .

Внутренняя сила (рис. 2), действующая в сечении на стороне участка бруса, равна по величине и противоположна направлению силе , действующей в сечении на стороне участка бруса.

Направления сил в сечении при растяжении показаны на рис. 2 .

Продольная сила, вызывающая деформацию растяжения, направлена по внешней нормали к сечению (рис.2), где - единичный вектор нормали.

Если в сечении имеется деформация сжатия, продольная сила направлена в сторону, противоположную направлению внешней нормали, т. е. - к сечению бруса.

Правило знаков. Продольную силу, вызывающую растяжение бруса, принято считать положительной, а вызывающей сжатие – отрицательной.

Величину проекции продольной силы на ось можно определить из условий равновесия одной из частей бруса.

Поскольку все силы действуют по оси , используем уравнение равновесия, по которому сумма проекций на ось всех внешних сил и внутренней продольной силы должна быть равна нулю,

, (1)

где - номер участка бруса,

где - сумма проекций внешних сил на ось , действующих на тую часть бруса по одну сторону от сечения,

- количество внешних сил, действующих на рассматриваемую часть бруса,

- проекция продольной силы го участка на ось .

Для части 1, расположенной слева от сечения (рис.2) имеем:

, , , . Уравнение (1) примет вид: .

Следовательно, .

Знак проекции указывает направление силы: если проекция силы – положительная величина, сила направлена по оси , если проекция силы на ось – отрицательная величина, сила направлена в сторону, противоположную оси .

Поскольку величина проекции – отрицательная, сила направлена в сторону, противоположную оси , по нормали к сечению (рис.2 нормаль на участке направлена в сторону, противоположную оси ). Следовательно, она вызывает деформацию растяжения. По правилу знаков она – положительная. .

По аналогии для части бруса получим: → .

Поскольку величина проекции - положительная, направление силы на рис. 2 верно. Сила направлена по оси и по нормали к сечению, совпадающей на этом участке по направлению с осью . В сечении имеется деформация растяжения. Следовательно, .

Исследуя части бруса с двух сторон от сечения, получен одинаковый результат.

Таким образом, величина продольной силы равна:

Вывод: результат определения проекции продольной силы на ось не зависит от того, какая часть бруса выбрана (1 или 2) для решения задачи.

Задача 1. Для бруса, изображенного на рис. 3, построить эпюру продольных сил.

Способ 1.

1. Устанавливаем координатную систему в точку на конце бруса. Определяем силу реакции в заделке, используя уравнение равновесия ,

→ .

3. Проведем сечение 1-1 на расстоянии от начала координат.

Отсекаем правую часть, изображаем продольную силу, направляя вектор по внешней нормали к сечению.

Составляем уравнение равновесия для левой части бруса:

,

где - проекция на ось поперечной силы в сечении на том участке,

- сумма проекций внешних сил, действующих на часть бруса слева от сечения, на ось .

Участок 1 (сечение ) →

→ .

Участок 2 (сечение 2 - 2)

→. → .