Календарный план лекций по курсу « Математический анализ »

ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

Кафедра математического анализа и теории функций

КАЛЕНДАРНЫЙ План ЛЕКЦИЙ

по курсу « МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ »

Для специальности «Математика», 1 курс, осенний семестр 2014/2015

Число недель: 17

Дни	Лекции	Часы	Практические занятия	Часы
1.9–5.9	Понятие множества. Операции над множествами. Теоремы де Моргана. Отображения множеств. Образы и прообразы отображений. Взаимно однозначные отображения. Отношения на множествах. Отношение эквивалентности. Фактор-множество. Дискретная сумма двух множеств. Декартово произведение двух множеств. График отображения.	4	Операции над множествами. Отображения множеств. Образы и прообразы отображений. Взаимно однозначные отображения. Отношения на множествах. Отношение эквивалентности. Фактор-множество. Дискретная сумма двух множеств. Декартово произведение двух множеств. График отображения.	4
8.9–12.9	Мощность множества. Счетные множества. Доказать, что множество всех рациональных чисел счетно. Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств данного множества. Мощность континуума. Теорема Кантора-Берн­штей­на.	4	Мощность множества. Счетные множества. Построение графиков функций.	4
15.9–19.9	Натуральные числа. Аксиомы Пеано. Сложение в множестве натуральных чисел. Свойство сложения. Ассоциативность сложения. Коммутативность сложения. Умножение в множестве натуральных чисел. Свойство умножения. Ассоциативность умножения. Коммутативность умножения. Дроби. Рациональные числа. Сложение и умножение в множестве рациональных чисел. Доказать, нет рационального числа, квадрат которого равен 2. Сечения в области рациональных чисел. Свойства сечений.	4	Построение графиков функций.	4
22.9–26.10	Положительные действительные числа: рациональные и иррациональные числа. Сложение и умножение в множестве положительных действительных чисел. Множество действительных чисел. Модуль действительного числа. Сложение и умножение. Разбиения в области действительных чисел. Теорема Дедекинда. Полнота. Множества ограниченные сверху. Множества ограниченные снизу. Ограниченные множества. Верхние и нижние грани. Точная верхняя и точная нижняя грани. Свойства точной верхней и точной нижней граней. Теорема о существовании точной верхней и точной нижней грани.	4	Построение графиков функций. Контрольная работа № 1 «Теория множеств. Построение графиков функций»	4
29.09–3.10	Числовая последовательность и ее предел. Бесконечно малая величина и ее связь с пределом числовой последовательности. Свойства сходящихся числовых последовательностей: ловушки, знакопостоянство, свойство модуля, ограниченность, единственность предела. Бесконечно большие величины. Их связь с бесконечно малыми величинами. Предельный переход в равенстве и неравенстве. Леммы о бесконечно малых величинах. Арифметические действия над сходящимися последовательностями. Неопределенные выражения: неопределенности вида	4	Нахождение пределов числовых последовательностей. Бесконечно малые величины. Бесконечно большие величины. Неопределенные выражения: неопределенности вида	4
6.10–10.10	Монотонные последовательности и их пределы. Число e. Лемма о вложенных промежутках. Принцип сходимости Больцано-Коши. Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичных пределов. Верхние (наибольшие) пределы. и нижние (наименьшие) пределы. Свойства . Теорема о совпадении верхнего и нижнего пределов.	4	Монотонные последовательности и их пределы. Принцип сходимости Больцано-Коши. Частичные пределы. Верхние (наибольшие) пределы. и нижние (наименьшие) пределы. Свойства .	4
13.10–17.10	Коллоквиум № 1 «Элементы теории множеств, построение натуральных, рациональных и действительных чисел. Пределы числовых последовательностей». Прелел функции в точке. Предел функции справа и слева. Предел функции на бесконечности. Бесконечный предел функции. Сведение предела функции к обычному пределу последовательности. Предел по Коши и по Гейне; их эквивалентность. Первый замечательный предел.	4	Предел функции в точке. Предел функции справа и слева. Предел функции на бесконечности. Бесконечный предел функции. Сведение предела функции к пределу последовательности. Предел по Коши и по Гейне. Первый замечательный предел.	4
20.10–24.10	Второй замечательный предел. Распространение теории пределов с последовательностей на функции (свойства пределов). Неопределенности вида Предел монотонных функций. Общий признак сходимости Больцано-Коши. Сравнение бесконечно малых. Шкала бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Замена бесконечно малых в отношениях. Классификация бесконечно больших.	4	Второй замечательный предел. Неопределенности вида Предел монотонных функций. Общий признак сходимости Больцано-Коши. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные функции. Замена функций при нахождении пределов. Классификация бесконечно больших.	4
27.10–31.10	Непрерывность функции в точке; непрерывность функции на отрезке. Непрерывность по Коши и по Гейне и их эквивалентность. Свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов. Непрерывность и разрывы монотонных функций. Суперпозиция непрерывных функций.	4	Непрерывность функции в точке; непрерывность функции на отрезке. Непрерывность по Коши и по Гейне. Свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов. Непрерывность и разрывы монотонных функций. Суперпозиция непрерывных функций. Понятие равномерной непрерывности.	4
3.11–7.11	Первая и вторая теорема Больцано-Коши. Существование обратной функции. Первая и вторая теорема Вейерштрасса. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора. Лемма Бореля. Новые доказательства основных теорем о непрерывных функциях.	4	Первая и вторая теорема Больцано-Коши. Существование обратной функции. Первая и вторая теорема Вейерштрасса. Контрольная работа № 2 “Предел числовой последовательности и функции. Непрерывность”.	4
10.11–14.11	Производная и ее свойства. Ее геометрический смысл. Таблица производных. Производная обратной функции. Производная суммы, произведения, частного. Производная сложной функции. Односторонние производные. Бесконечные производные. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Его геометрический смысл. Связь между производной и дифференциалом. Инвариантность формы первого дифференциала.	4	Производная и ее свойства. Ее геометрический и физический смыслы. Таблица производных. Правила нахождения производных. Производная сложной функции. Односторонние производные. Бесконечные производные.	4
17.11–21.11	Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма, теорема Дарбу, Теорема Ролля, Теорема Лагранжа, Теорема Коши.	4	Дифференцируемость функции. Дифференциал. Техника дифференцирования.	4
24.11–28.11	Их геометрическая трактовка. Предел производной. Разрывы производной. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Нарушение формы высших дифференциалов. Параметрическое дифференцирование. Коллоквиум № 2 «Предел функции, непрерывные и дифференцируемые функции».	4	Параметрическое дифференцирование. Производная обратной функции. Основные теоремы дифференциального исчисления.	4
1.12–5.12	Формула Тейлора для многочленов. Формула Тейлора для функций. Остаточные члены формулы Тейлора в виде Пеано, Лагранжа, Коши (без доказательства). Исследование хода изменения функции. Постоянство, монотонность.	4	Производная и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.	4
8.12–12.12	Экстремумы. Локальные максимумы и минимумы. Необходимые условия экстремума. Стационарные точки. “Подозрительные” точки. Достаточные условия экстремума. Первое и второе правило. Использование высших производных для нахождения экстремума. Разыскание наибольших и наименьших значений.	4	Экстремумы. Достаточные условия экстремума. Разыскание наибольших и наименьших значений.	4
15.12–19.12	Выпуклость и вогнутость. Геометрическая трактовка. Необходимое условие. Достаточные условия выпуклости. Точки перегиба. Необходимые условия перегиба. Достаточные условия перегиба. Привлечение высших производных. Построение графиков функций. Общая схема. Асимптоты – горизонтальные, вертикальные и наклонные.	4	Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и перегибы. Построение графиков функций с полным исследованием.	4
22.12 – 26.12	Раскрытие неопределенностей : три теоремы Лопиталя. Неопределенность типа . Теорема Лопиталя. Другие неопределенности типа и их раскрытие.	4	Раскрытие неопределенностей, теоремы Лопиталя. Контрольная работа № 3 “Дифференциальное исчисление. Формула Тейлора ”.	4
30.12	Обзорная лекция.	2

Лектор ст. преподаватель

Заведующий кафедрой профессор