Математическое моделирование сферической линзы люнеберга из кубиков
Российский университет дружбы народов, *****@***com
Целью данной работы является оценка погрешности фокусировки сферической линзы Люнеберга, состоящей из из кубиков с различными коэффициентами преломления. Рассматривается модель линзы Люнеберга из кубиков на основе геометрической оптики. Находятся пути лучей, падающих на линзу, определяется степень фокусировки в зависимости от угла падения.
Ключевые слова: линза Люнеберга, геометрическая оптика
Введение
Особенностью линзы Люнеберга является то, что диэлектрическая проницаемость в ней не остаётся постоянной, а зависит от расстояния до её центра. Для сферической линзы Люнеберга справедлива формула:
| (1) |
Здесь r – расстояние от рассматриваемой точки до центра, R – радиус линзы. Данная линза фокусирует пучок параллельных световых лучей в точке на поверхности. Сферическая линза Люнеберга находит применение в радиолокации, радионавигации и связи. Однако широкому распространению подобных линз препятствуют технические сложности при изготовлении. Одним из способов упрощения данного процесса является изготовление линзы из однородных кубиков с различными диэлектрическими проницаемостями, причем в каждой точке такого кубика диэлектрическая проницаемость имеет то же значение, что и в его центре. Встает вопрос, насколько отличается качество фокусировки в линзе, изготовленной подобным образом, от линзы с непрерывно меняющимся коэффициентом преломления.
Нахождение пути луча в линзе
Рассматривается линза, состоящая из кубиков, центр которой находится в начале координат. Диэлектрическая проницаемость в кубике c координатами центра x, y, z рассчитывается по формуле:
| (2) |
Где p - корректировка в силу того, что линза имеет не гладкую поверхность. На линзу падает параллельный пучок лучей. Необходимо проследить путь каждого луча до фокальной плоскости. Пусть даны координаты лучей на входной плоскости и их направляющие косинусы. Процесс нахождения точек пересечения луча с гранями кубиков производится следующим образом:
1. Уравнения граней куба решаются совместно с параметрическим уравнением луча. Таким образом находится следующая точка преломления и грань, в которой преломление происходит.
2. Находятся направляющие косинусы в следующем кубике. Для этого решается система трех уравнений:
| (3) |
3. Вычисляются координаты центра нового кубика. Если найденные координаты лежат в линзе, процесс повторяется, в противном случае находится точка пересечения луча с фокальной плоскостью.
4. Точка пересечения луча с выходной фокальной плоскостью находится решением уравнения луча совместно с уравнением фокальной плоскости.
После того, как найдены все точки пересечения лучей с выходной фокальной плоскостью, рассчитывается среднее расстояние по всем лучам от этих точек до фокуса. Для непрерывной линзы это расстояние равно нулю.
Выводы
Построена математическая модель сферической линзы Люнеберга из кубиков. Создана программная реализация модели. Проведен численный эксперимент. Рассмотрен вопрос адекватности изготовления такой линзы.
Литература
1., Линза Люнеберга из кубиков. Геометрооптический расчет. - Журнал технической физики.-1998.- Т.24.№15.-С.69-72
2. Численное моделирование линзы Люнеберга. М.,2012.-42c.
3. Основы оптики. М.: Наука, 1973. -720с.
mathematical simulation of spherical Luneburg lens made of cubes
Sharapova A. A.
Peoples' Friendship University of Russia, *****@***com
The purpose of this study is to estimate optical aberration of spherical Luneburg lens made of cubes with different refractive indexes. The mathematical model of the lens is based on geometrical optics. The tracks of rays is found, results are compared with those of continuous lens.
Кеу words: Luneburg lens, geometrical optics
