Примерный зачётный материал по математике

10 класс

Темы для зачета:

Числовые и буквенные выражения. Свойства степени. Свойства функции. Решение неравенств с помощью метода интервалов. Модуль. Все о квадратном трехчлене.

Методические рекомендации к подготовке зачета:

Предлагается материал о квадратном трехчлене, состоящий из теоретического материала и практических заданий трех уровней, данный материал необходим для любого зачета, зная все о нем можно успешно сдать зачет.

Теоретический материал

Выражение Зх2 -2x-5 является многочленом второй степени с одной переменной. Такие многочлены называют квадратными трехчленами.

Определение. Квадратным трехчленом называется мно­гочлен вида ах2 + bх + с, где х — переменная, а, Ь и с — не­которые числа, причем а не равно 0.

Значение квадратного трехчлена Зх2 - 2х - 5 зависит

от значения х. Так, например: если х = 5, то Зх2 - 2х - 5 = 60; если х = 1у то Зх2 - 2х - 5 = -4;

если х = -1, то 3x2 - 2х -5 = 0;

если х = 2, то Зх2 - 2x - 5 = 3.

Мы видим, что при х - 1 квадратный трехчлен

Зх2 - 2х - 5 обращается в нуль. Говорят, что число - 1 является корнем этого трехчлена.

Корнем квадратного трехчлена называется значение пере­менной, при котором значение этого трехчлена равно нулю.

Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена

ах2 + bх + с, надо решить квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Теорема

Если х1 и х2 — корни квадратного трехчлена ах2 + bх + с, то

ах2 + bх + с = а (х - х1) (х - х2).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Доказательство:

Вынесем за скобки в многочлене ах2 + bх + с множитель а.

Получим:

ах2 +bх + с =а(x2+(b/a)x +c/a)

Так как корни квадратного трехчлена ах2 + bх + с являются также корнями квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, то по теореме Виета

x1+x2=-b/a, x1*x2 = c/a

Отсюда

b/a , = -(x1+ x2), а c/a=x1*x2

Поэтому

х2 + b/a х + c = х2 -(x1 + х2)х + х1 *х2 =x2 - x1x -x2x +x1x2 =x (x - x1)-x2(x-x1)=(x-x1)(x -x2)

Итак,

ах2 + bх + с = а (x - х1) (x - х2). ч. и.т. д.

Заметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами пер­вой степени.

Практические задания

1 уровень сложности

№1. Выделим из трехчлена Зх2 - 36х + 140 квадрат дву­члена.

Решение: Вынесем за скобки множитель 3:

Зх2 -36х + 140 = 3(х2 -12х + 140/3 ).

Преобразуем выражение в скобках. Для этого представим 12x в виде произведения 2 • 6 • х, а затем

прибавим и вычтем 62. Получим:

Зх2 -36х + 140 = 3[ х2-12х + 140/3 ) = = 3[x2 -2*6*х + 62 -62 +140/3) = 3((х-6)2 + 32/3 ) =

= 3(х-6)2 +32.

Значит, Зх2 - 36х + 140 = 3 (х - 6)2 + 32.

Ответ: 3 (х - 6)2 + 32.

№2. Докажем, что из всех прямоугольников с перимет­ром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.

Решение: Пусть одна сторона прямоугольника равна х см. Тогда другая сторона равна 10-х см, а площадь прямоугольника равна х (10 - х) см2.

Раскрыв скобки в выражении х (10 - х), получим 10х - х2. Выражение -х2 + 10х представляет собой квадратный трехчлен, в котором а = -1, b=10, с = 0. Выделим квадрат двучлена:

-х2 + 10х = -(х2 - 10х) = = -(х2 - 10х + 25 - 25) = -(х - 5)2 + 25.

Так как выражение -(х - 5)2 при любом х не равном 5 отрицательно, то сумма -(х - 5)2 + 25 принимает наибольшее значение при х = 5. Значит, площадь будет наибольшей, когда одна из сторон прямо­угольника равна 5 см. В этом случае вторая сторона также равна 5 см, т. е. прямоугольник является квадратом.

№3. Разложим на множители квадратный трехчлен 2х2 + 7х - 4.

Решение:

Решив уравнение 2х2 + 7х - 4 = 0, найдем корни трехчлена:

x1=1/2, x2= -4

По теореме о разложении квадратного трехчлена на множители имеем:

2х2 +7x - 4=2 (x-1/2)(x=4)

Полученный результат можно записать иначе, умножив число 2 на двучлен х - 1/2. Получим:

2х2 + 7х - 4 = (2x - 1) (х + 4).

Ответ: (2x - 1) (х + 4).

№4. Сократим дробь: (3x+2/(3x2-13x-10)

Решение:

Разложим на множители квадратный трехчлен Зx2 - 13x - 10. Его корни равны -2/3 и 5. Поэтому Зx2 - 13x – 10 = 3(x+2/3)(x-5) = (3x+2)(x-5)

Значит, (3x+2/(3x2-13x-10) = (3x+2/(3x+2)(x-5) = 1/(x-5)

Ответ: 1/(x-5)

2 уровень сложности

№ 5. Найдите все пары квадратных трехчленов x2 + ax + b , x2 + cx +d такие, что a и b – корни второго трехчлена, c и d – корни первого.

Решение

x2 + ax , x2 - ax , a – любое число; x2 + x - 2 , x2 + x - 2 . По теореме Виета a = -(c + d) , b = cd , c = -(a+b) , d = ab . Получили систему уравнений

a + b + c = 0, a + c + d = 0, b = cd, d = ab,


которая равносильная системе

a + b + c = 0, b = d, b = bc, b = ab,


Если b = 0 , то d = 0 , c =- a , a – любое. Если же b 0 , то a = c = 1 , b = d =- 2 .

Ответ: x2 + ax , x2 - ax , a – любое число; x2 + x - 2 , x2 + x - 2 .

№6. Про действительные числа a, b,c известно, что (a+b+c)c<0. Докажите, что b2-4ac>0

Решение

Рассмотрим квадратный трехчлен f(x)=x2+bx+ac. Из условия следует, что f(c)=c2+bc+ac=(a+b+c)c<0, т. е. в точке x=c функция f(x) принимает отрицательное значение. Так как коэффициент при x2 положителен, то дискриминант данного квадратного трехчлена положителен (иначе бы трехчлен f(x) принимал бы только неотрицательные значения) . А это и означает, что b2-4ac>0. Неотрицательность дискриминанта также ясна и из графика: парабола с ветвями вверх, проходящая через точку с отрицательной ординатой, обязана пересечь ось абсцисс.

3 уровень сложности:

№ 7. Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.

Решение

Первый способ. Рассмотрим квадратный трехчлен f (x) = ax2 + bx + c. Выделим полный квадрат, для этого обозначим t = x + b/2a и D = b2 - 4ac. Тогда

$ \le$ax2 + bx + c = at2 – (D/4a2)

При D 0 положим p $ { \frac{ \sqrt{-D}}{2a}}$= . Тогда искомое представление

a(t2 – D/4a2) = a/2((t - p)2 + (t + p)2) =
= a/2(x+(b-√-D)/2a)2+a/2(b+√-D)/2a )2.

При D > 0 положим q = $ { \frac{ \sqrt{D}}{2a \sqrt2}}$. Тогда

a(t2 – D/4a2) = a(2(t + q)2 - (t + 2q)2) =
= 2a(x + (b+√D/2)/2a)2-a(x+(b+√2D)2

Второй способ. Если квадратный трехчлен f (x) можно представить в виде суммы двух трехчленов с нулевыми дискриминантами, то в таком же виде можно представить и трехчлен Af (ax + b), где A, a и b -- константы (A$ \ne$ 0, a$ \ne$ 0).

Когда таким преобразованием можно перевести трехчлен f (x) в трехчлен g(x)? Нетрудно видеть, что это можно сделать тогда и только тогда, когда их дискриминанты имеют один и тот же знак.

Дадим набросок доказательства: выделяя полный квадрат, любой трехчлен можно привести к виду $ \alpha$x2 + $ \beta$, затем, подбирая A и a, приведем трехчлен к виду x2 или x2±1. Осталось заметить, что если трехчлены f (x) и g(x) можно перевести в трехчлен h(x), то трехчлен f (x) можно перевести в g(x).

В силу вышесказанного, нам осталось представить в виде суммы двух трехчленов с нулевыми дискриминантами по одному трехчлену для каждого знака дискриминанта. Например:

x2 + x2 (D = 0), x2 + (x + 1)2 (D < 0) и (2x + 1)2 - x2 (D > 0).

Примерные задания для зачета

В1

Больному прописан курс лекарства, которое нужно пить по 0,5 г три раза в день в течение трех недель. В одной упаковке содер­жится 10 таблеток по 0,5 г. Какого наименьшего количества упа­ковок хватит на весь курс?

В2

На рисунке изображен график среднесуточной температуры в г. Саратове в период с 6 по 12 октября 1969 г. На оси абсцисс от­кладываются числа, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Определите по графику, какая была средняя температу­ра 8 октября. Ответ дайте в градусах Цельсия.

В3

В Сентябре 1кг винограда стоил 50 рублей, в октябре подорожал на 20%, в ноябре еще на 40%.Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

В4

В треугольнике ABC АС = ВС, АВ = 6, cos А =. Найдите высоту АН.

В5

Для изготовления книжных полок требуется заказать 40 одинако­вых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла равна 0,15 м2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

Фирма

Стоимость стекла

(руб. за 1 м2)

Резка стекла

(руб. за одно стекло)

А

100

20

Б

90

25

В

170

Бесплатно

В6

Маша и Настя могут вымыть окно за 20мин. Настя и Лена могут вымыть это же окно за 15 мин, а Маша и Лена за 12 минут. За какое время девочки вымоют окно, работая втроем. Ответ дайте в минутах.?

В7

Найдите корень уравнения. .

В8

Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, укажите наибольший из них.

В9

Найдите значение выражения. При х=7.

В10

Камень подбросили вверх. Его высота над землей (в метрах) вычислять по формуле h(t)=19t-5t², где t-время в секундах. Сколько секунд камень будет находиться на высоте более 12 метров.

В11

Решить неравенство |х+4|<2х.

В12

Магазин открывается в 10 часов утра, а закрывается в 10 часов вечера. Обеденный перерыв длится с 15 до 16 часов. Сколько ча­сов в день открыт магазин?

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

B11

B12

7

6

84

4,8

1020

3

Х=1

343

2,2

(4 ;+)

11