Темы (задачи) для научных исследований по математике (стр. 6 )

  XIII.  Утверждение XII доказано для многочленов над числовыми полями. Для каких полей останется верным это утверждение? (Внимательно проанализируйте доказательство утверждения VIII).

  XIV.  Сравните понятия симметрического и кососимметрического многочленов для полей, характеристика которых равна 2.

  XV.  Верно ли утверждение задания VI для многочленов над полем Z2?

Задача 3. Треугольник и уравнение третьей степени

Пусть a, b, c – стороны треугольника; a, b, g – соответственно противолежащие им углы; р – полупериметр; r и R – соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей; S – площадь; ha , hb , hc – соответствующие высоты.

I.  Используя основные факты элементарной геометрии, докажите справедливость следующих равенств:

II. С помощью теоремы Виета выведите следствия из того, что стороны произвольного треугольника являются корнями уравнения

Сформулируйте полученные результаты, не используя математической символики.

III.  Исследуйте результаты II на правдоподобие, т. е. попытайтесь найти аргументы, которые свидетельствуют о верности (или, наоборот, о ложности) полученных выше утверждений.

IV.  Докажите, учитывая предыдущие результаты, что в любом треугольнике справедливы равенства:

V.  Используя II и известную связь между стороной и соответствующей высотой треугольника, получите уравнение, корнями которого являются высоты данного треугольника. Получите следствия, выразив значения каких-либо симметрических функций от высот треугольника через R, r, p.

VI.  Продолжите самостоятельно поиск равенств, связывающих симметрические функции от элементов треугольника (например, синусов углов, тангенсов половинных углов и т. д.) с полупериметром и радиусами описанной и вписанной окружностей.

Задача 4. Воробей и кузнечик

I.  Воробей погнался за кузнечиком, находящимся в 30 см от него. Они скачут в одном направлении вдоль прямой. Скачок воробья равен 5 см, скачок кузнечика – 10 см. Воробей делает 5 скачков, в то время как кузнечик делает 2 скачка. Какое расстояние в сантиметрах проскачет воробей к тому моменту, как но поймает кузнечика?

II.  Найдите обобщение этой задачи.

Задача 5. Волк и собаки

I.  Волк окружен собаками, расположенными в точках M, N, P и Q на сторонах квадрата ABCD, MÎ[A; B], NÎ[B; C], PÎ[C; D], QÎ[D; A], так, что
AM : MB = BN : NC = CP : PD = DQ : QA = 1 : 3. Волк, находящийся внутри квадрата в точке пересечения прямых MP и NQ, может бежать со скоростью vB по прямой в любом направлении. Собаки бегают только по сторонам квадрата со скоростью, не превосходящей vС. Волк может вырваться из окружения, если на границе квадрата встретит не более одной собаки. При каких значениях отношения vС / vB волк имеет шанс спастись?

II.  Найдите обобщение этой задачи.

Задача 1. Частота возникновения конечных подпоследовательностей в бесконечной последовательности

Джим Хокинс и Джон Сильвер при решении вопроса о праве на карту с сокровищами решили бросить жребий. В связи с отсутствием монеты на острове жеребьевка проводится при помощи попугая. Попугай произвольно поднимает левую или правую лапу. Джим Хокинс предположил, что бросить жребий с одного раза слишком рискованно. И предложил следующий вариант: участники задумывают последовательности из нескольких букв. Например, Джим Хокинс задумывает последовательность ЛП (разумеется, выбранные последовательность не должны совпадать, поэтому Джим Хокинс сообщает о своем выборе Джону Сильверу) Джон Сильвер в свою очередь задумывает какую-нибудь последовательность такой же длины, например, ПЛ. После этого игроки начинают записывать результат каждого поднятия лапы. Например, после 6 поднятий с исходами: правую, левую, левую, правую, левую, левую, будет записана последовательность ПЛЛПЛЛ. Игра прекращается в тот момент, когда в записываемой последовательности букв возникнет слово, выбранное Хокинсом или Сильвером. Таким образом, побеждает тот, чья последовательность появится раньше.
Хокинс отдал право первого хода Сильверу.

Найти вероятность того, какая последовательность символов конечной подпоследовательности в бесконечной последовательности встретится раньше.

Например: 1)пп или лп.

2)ппл или лпл

—  1.​ Найти вероятность получения карты каждым в случае последовательности из двух символов.

—  2.​ Найти вероятность получения карты каждым в случае последовательности из трех символов.

—  3.​ Пусть нашелся игральный кубик, и загадывается последовательность из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какова вероятность получения карты каждым при двух символах.

—  4.​ Какова вероятность получения карты каждым при трех символах и игральном кубике.

—  5.​ Если символов больше трех (в случае, когда, жеребьевку проводит попугай).

—  6.​ Если символов больше трех (в случае использования игрального кубика).

Задача 2. Японский сад камней.

Японский сад камней устроен таким образом, что двигаясь по периметру сада, всегда один из камней не виден.

1.  Построить сад различной формы в плане квадратной, прямоугольной, треугольной, круглой и так далее…

2.  Камни могут быть квадратными, круглыми и так далее…

3.  Рассмотреть различное количество камней.

1.  Квадраты в различных системах счисления. Для данного числа N, записанного в десятичной системе счисления, определить существует ли такая система счисления, в которой число, записанное теми же цифрами, что и N, будет полным квадратом. Определить условия, когда не существует такой системы счисления. Если она существует, то определить единственна ли она.

2.  Числа в различных системах счисления. Существуют числа, которые в различных системах счисления записываются одинаковым набором цифр. Например . Попытайтесь найти еще такие числа и системы счисления. Получите условия их существования.

3.  Угадывание чисел. Двое играют в игру: один задумывает некоторое число, второй называет k чисел из промежутка от 1 до n. Первый прибавляет к задуманному числу одно из них и говорит результат и т. д. Найти минимальное число ходов, за которое второй игрок сможет определить задуманное число. Та же задача, но первый игрок проводит другую операцию над числами (вычитает, умножает, делит, возводит в степень и т. д)

4.  Способы задания многоугольников. Есть различные способы задать многоугольники на плоскости. (Системы линейных неравенста, уравнения с модулями, параметрические уравнения). Найти взаимосвязь между этими формами.

5.  Фигуры наибольшей площади. 1. Найдите геометрическое место точек, удовлетворяющее условию для любых двух точек множества с координатами , выполняется равенство .

2. На координатной плоскости задать множество точек наибольшей площади, удовлетворяющее условию: для любых двух точек множества площадь треугольника с вершинами в начале координат и в. этой точке не превосходит .

3. Рассмотреть подобную задачу в пространстве.

6.  Крестики-нолики. Двое играют в игру на бесконечном листе бумаги. За ход один ставит N крестиков в любом месте. Другой – M ноликов. Последующими ходами можно ставить крестики и нолики только в клетки с уже помеченными. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Исследовать выигрышные стратегии. (Квант 1971)

7.  Разложение многочленов на множители.

а) Найти различные между собой целые числа a, b, c, чтобы многочлен можно было разложить на множители с целыми коэффициентами.

б) Определите при каких условиях многочлен можно разложить на множители с целыми коэффициентами.

в) Рассмотрите многочлены более высокого порядка.

8.  Разложение на простейшие дроби. Рассматриваются дроби вида . Можно ли представить произвольное число в виде суммы таких дробей с различными знаменателями.

9.  Графики с модулем. Известно, что графиком фукции, содержащей модули от линейных выражений, является ломанная. 1. По ломанной восстановить функцию или уравнение ее задающее. 2. Определить наименьшее количество знаков модуля для задания этой ломанной. 3. Всякую ли ломанную можно задать с помощью линейного выражения с модулями.

10.  Рекуррентные и аналитические последовательности. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента. Существует два основных способа задания числовых последовательностей 1. Аналитический. Каждый элемент последовательности задается в явном виде как функция натурального аргумента. Например . 2. Рекуррентный. Каждый последующий элемент задается через несколько предыдущих. Например , . Для определенного вида последовательности установить возможность перехода от одного вида задания к другому.