Министерство образования и науки
Федеральное государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ»
Институт информационных систем
Кафедра математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
по учебной дисциплине " Прикладная Математика"
Вариант № 35
Выполнила(а)............................................................................
Институт.................................................................................................Экономики и Финансов
Направление подготовки...........................................Российско-Германо-Финская программа
Группа............................................................................................................................................2
Руководитель курсовой работы
.......................................... ............................... (ученая степень, звание) (подпись) (инициалы, фамилия)
1.1 Теория вероятностей и математическая статистика
Задача № 1
При перевозке 135 деталей, из которых 36 были забракованы, утеряна 1 стандартная деталь. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется стандартной.
Решение:
Искомую вероятности определим по классической формуле:
,
где - общее число элементарных исходов опыта;
- число благоприятных элементарных исходов опыта.
Для этой задачи общее число элементарных исходов опытa, при учете утерянной детали при перевозке, равно:
N=135−1=134
Число благоприятных элементарных исходов опыта, интересующих нас, равно: N(A)=134−36=98
Следовательно, искомая вероятность будет равна:
P(A)= = 0,7313
Ответ: 0,7313
Задача № 2
На один ряд, состоящий из 39 мест, случайно садятся 39 учеников. Найти вероятность того, что 3 определенных ученика окажутся рядом.
Решение.
Искомую вероятность определим по классической формуле:
,
где - общее число элементарных исходов опыта;
- число благоприятных элементарных исходов опыта.
Для этой задачи общее число элементарных исходов опытa, при учете утерянной детали при перевозке, равно перестановке из 39 элементов:
N= P39 =39!
Благоприятными исходами являются те, в которых 3 конкретных ученика окажутся рядом. Число таких исходов можно определить так: тройка учеников, сидящих рядом, имеет 37 вариантов своего размещения среди 39 учеников, поскольку «самый левый» из этой тройки может сидеть на местах с 1-ого по 37-ое. Внутри этой тройки число вариантов размещения учеников равно:
P3= 3! = 6
Остальные 36 учеников могут размещаться на оставшихся 36 местах числом способов, равным:
P36= 36!
Тогда число благоприятных элементарных исходов равно:
N(A)= P3∙ P36
Следовательно искомая вероятность равна:
P(A)= = == = 0,00010942
Ответ: 0,00010942
Задача № 3
Из урны, содержащей 45 белых и 5 черных шаров, вынимаются два шара.
а) Найти вероятность того, что шары разных цветов.
б) Найти вероятность того, что шары одного цвета.
Решение.
а) Искомую вероятность определим по формуле:
P(B)= ,
где - общее число элементарных исходов опыта;
N(B) - число благоприятных элементарных исходов опыта, где событие
Рассмотрим событие В - вынуты шары разных цветов.
Всего в урне находится 45+ 5 = 50 шаров.
Общее число элементарных исходов испытания «из урны вынимаются два шара» равно числу сочетаний из 50 элементов по 2:
N= .
Число способов выбора одного белого шара из 45 равно: .
Число способов выбора одного черного шара из 5 равно: .
Число благоприятных исходов равно:
N(B)= ∙.
Следовательно, искомая вероятность P(B) равна:
P(B)= = = = = 0,1837
Ответ: 0,1837
б) Для решения задачи воспользуемся формулой из предыдущего случая:
P(B)= ,
где - общее число элементарных исходов;
N(B) - число благоприятных элементарных исходов опыта.
Как и в предыдущем случае, общее число всевозможных элементарных исходов испытания «из урны вынимаются два шара» равно:
N= .
Но в данном случае исход испытания будет благоприятным, если произойдет событие В – «оба шара одного цвета», т. е. оба шара белые либо оба шара черные.
Следовательно число благоприятных исходов для данного случая равно:
N(B)= .
Искомая вероятность P(B) равна:
P(B)= = = = = 0,8163
Ответ: 0,8163
Задача № 4
Имеются две урны. В первой лежат 40 белых и 45 черных шаров; во второй находятся 5 белых и 42 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают один шар.
Какова вероятность после этого вынуть:
а) белый шар из I урны
б) белый шар из II урны.
Решение:
а) Рассмотрим событие А – из первой урны вторым извлекли белый шар
H1 - из 1—ой урны переложили белый шар
H2 - из 1-ой урны переложили черный шар
Применим формулу полной вероятности:
Р(А)= Р(H1) (А) + Р(H2) (А)
P(H1)= – вероятность того, что переложили белый (40 белых, всего 85), то есть осталось в урне 39 белых и всего 84.
P(H2)= - вероятность того, что переложили черный ,то есть по прежнему 40 белых и всего 84 осталось.
(А)= – вероятность извлечь белый шар в случае, если наступила гипотеза В1.( 39 белых и 45 черных).
(А)=
Подставим:
P(A)= *+*===0,3168
б) Рассмотрим событие B –белый шар извлекут из 2-ой урны.
H1, H2- как и в предыдущем случае, P(H1)= , P(H2)=
При наступлении гипотезы H1 во 2-ой урне становится 41 белых и 45 черных, то есть (B)= при наступлении гипотезы H2 во 2-ой урне становится 39 белых и 46 черных. (В)=
Подставим:
Р(B)= Р(H1) (B) + Р(H2) (B)=*= ==0,4644
Задача № 5
На I складе имеется 45 изделий, из которых 3 бракованных; на II складе находятся 31 изделий, из которых 5 бракованных. Из каждого склада выбирается по одному изделию случайным образом. После чего из этой пары отбирается одно изделие, которое оказалось не бракованным. Какова вероятность, что это изделие из I склада?
Решение:
Искомую вероятность того, что изделие будет выбрано из I склада, найдем по формуле Бейеса:
.
Вероятность того, что изделие выбрано из I склада:
Р(В1) = 0,5.
Вероятность того, что изделие выбрано из II склада:
Р(В2)= 0,5.
Вероятность того, что изделие выбрано из I склада не бракованное:
(А)=
Вероятность того, что изделие выбрано из II склада не бракованное:
(А)=
Искомая вероятность:
РА(В1)== = 0,5055
Ответ: 0,5055
Задача № 6
Среди 19 часов, поступивших в ремонт, 2 с поломками оси. Наудачу взяты 3 часов. Составить ряд распределения числа часов с поломками оси среди взятых трех. Найти функцию распределения дискретной случайной величины. Построить ее график.
Решение:
Вероятность того, что из п взятых часов т с поломкой оси находиться по формуле:
,
где N = 38; M = 2; n = 3.
Р(Х=2) = = = = 0,0043
Р(Х=1) = = = = 0,1494
Р(Х=0) = = = = 0,8464
Закон распределения случайной величины:
Х | 0 | 1 | 2 |
р | 0,8464 | 0,1494 | 0,0043 |
Функция распределения случайной величины:
0, х < 0;
F(x) = 0,7 , 0x 1;
0,98 , 1< x 2;
1, x > 2.
График функции
Задача № 7
Даны независимые случайные величины X и Y заданы своими рядами распределений:
х | 2 | 4 |
|
р | 0,7 | 0,3 |
|
y | -1 | 0 | 36 |
p | 0,4 | 0,1 | 0,5 |
Составить закон распределения их суммы - случайной величины Z=X+Y и проверить выполнение свойства математического ожидания:
М(X+Y)=M(X) + M(Y).
Решение:
Возможные значения есть сумма каждого возможного значения со всеми возможными значениями :
z1=1
z2=2
z3=38
z4= 3
z5=4
z6=40
Вероятность совместного наступления событий X и Y равна их произведению:
Р(1)= 0,7 0,4 = 0,28;
Р(2) = 0,7 0,1 = 0,07;
Р(38) = 0,7 0,5 = 0,35;
Р(3) = 0,3 0,4 = 0,12;
Р(4) = 0,3 0,1 = 0,03;
Р(40) = 0,3 0,5 = 0,15.
Z=X+Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 38 | 40 |
Р | 0,28 | 0,07 | 0,12 | 0,03 | 0,35 | 0,15 |
Проверим выполнение свойства математического ожидания:
М(X+Y)=M(X) + M(Y)
MZ = 0,28 + 0,14 + 13,3 + 0,36 + 0,12 + 6 = 20,2
MX = 1,4 + 1,2 = 2,6
MY = -0,4 + 18 = 17,6
MX + MY= 17,6 + 2,6 = 20,2
Отсюда следует, что MX + MY = MZ.
Задача № 8
Задана функция распределения непрерывной случайной величины Х:
0, х< 0;
F(x) , 0 x 16;
1, x>16.
Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина Х примет значение, большее 16,3, но меньшее 16,7. Найти плотность вероятности распределения случайной величины Х и ее дисперсию.
Решение.
Для определения вероятности, что случайная величина Х примет значение, большее 35,3, но меньшее 35,7, используем формулу:
Р(35,3 Х 35,7) = F(35,7) - F(35,3) = = 1,0114
По определению плотность распределения:
.
Следовательно:
0 , х < 0
f(x)= , 0
0, x > 35
Для нахождения дисперсии случайной величины, воспользуемся формулой:
DX=( ) (MX)2.
При этом: MX = .
MX = = = = 17,5
DX = ( ) 306,25 = 306,25 = 306,25 = 102,08
Ответ: P=1,0114 ; DX = 102,08
Задача № 9
Производится телефонный опрос потребителей некоторой продукции. Каждый потребитель не зависимо от других может дать положительный отзыв о продукции с вероятностью. Составить закон распределения случайной величины Х - числа положительных отзывов среди 3-х опрошенных потребителей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа положительных отзывов среди 3-х опрошенных.
Решение:
Вероятность положительного отзыва р = = 0,875. Вероятность отрицательного отзыва q = 1 р = 0,125 .
Определим вероятности событий для закона распределения случайных величин по формуле Бернулли:
р3 (0) = = 0,1253 = 0,0019
р3 (1) = = 0,8751 0,1252 = 0,0410
р3 (2) = = 0,8752 0,1251 = 0,2871
р3 (3) = = 0,8753 = 0,6699
x | 0 | 1 | 2 | 3 |
p | 0,0019 | 0,0410 | 0,2871 | 0,6699 |
Тогда математическое ожидание будет равно:
МХ = 0 1 0,0410 + 20,2871 + 3 0,6699 = 2,6249
Дисперсия числа находится по формуле:
DX = M(X)2 - (МХ)2 = 0 1 0,0410 + 40,2871 + 9 0,6699 – 6,8901 = 0,3284
Ответ: DX = 0,3284; МХ = 2,6249
Задача № 10
В большой партии телевизоров 35% бракованных. При продаже телевизоры проверяются по одному до тех пор, пока не будет найден качественный телевизор. При этом бракованные телевизоры отправляются обратно на завод. Какова вероятность того, что на завод будет отправлено: а) более 3 телевизоров; б) от 4 до 6 телевизоров. Найти м. о. и с. к.о. числа проверенных телевизоров.
Решение.
Рассмотрим событие А – «среди проверяемых телевизоров найден качественный». По условию задачи вероятность q его не наступления в каждом испытании:
q= 0,35
Вероятность р наступления в каждом испытании события А:
р= 0,65
Вероятность того, что случайная величина Х примет значение k, равна:
P(X=k)= p∙ qk-1.
а) Вероятность того, что на завод отправят более 3 телевизоров равна:
Р(X>3)= 1 - Р(Х3);
Р(Х3)= Р(Х=3) + Р(Х=2) + Р(Х=1).
Отсюда следует, что:
Р(Х=1)= 0,65
Р(Х=2)= 0,35 0,65 = 0,2275
Р(Х=3)= 0,352 0,65 = 0,0796
Р(Х3)= 0,65 + 0,2275 + 0,0796 = 0,9571
Тогда:
Р(X>3)= 1-0,9571 = 0,0429
Ответ: 0,0429
б) Вероятность того, что на завод отправят от 4 до 6 телевизоров равна:
Р(4 ≤ Х ≤ 6) = Р(Х = 4) + Р(Х = 5) + Р(Х =6).
Р(Х=4)= 0,353 0,65 = 0,0279
Р(Х=5)= 0,354 0,65 = 0,0097
Р(Х=6)= 0,355 0,65 = 0,0034
Тогда: Р() = 0,0279+ 0,0097 + 0,0034 = 0,041
Ответ: 0,041
в) МХ= = = 1,5385
= .
DX = = = 0,8284
= 0,9102
Ответ: = 0,9102; МХ = 1,5385
Задача № 11
К киоску в среднем подходят 16 покупателей в час. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что за 2 часа к киоску подойдет: а) менее 2 покупателей; б) хотя бы 1 покупатель. Найти м. о. и с. к.о. числа покупателей за 1 час.
Решение.
Рассмотрим случайную величину X – количество покупателей, подходящих к киоску за 2 часа. Поскольку поток покупателей является простейшим, то случайная величина X имеет распределение Пуассона. Найдем его параметр. Интенсивность потока: . Параметр распределения Пуассона: a== = 0,125.
Используя формулу Пуассона, найдем искомые вероятности:
Р(Х< 2)= Р(Х=0) + Р(Х=1);
Р(Х) = 1- Р(Х).
По формуле Пуассона:
Р(Х=k) = .
Тогда:
Р(Х=0) = = e-0,125= 0,8825;
Р(Х=1) = = e-0,125= 0,125 0,8825 = 0,1103.
Теперь:
Р(Х< 2)= 0,8825+ 0,1103 = 0,9928;
Р(Х) =1 - 0,8825 = 0,1175.
Используем формулы для числовых характеристик распределения Пуассона:
МХ= DX = а = 0,125; = 0,35.
Ответ: а) 0,9928; б) 0,1175; в) МХ= 0,125; ; 0,35.
Задача № 12
Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002. Определить вероятность того, что в партии из 960 изделий окажется не более двух бракованных.
Решение:
Событие А - появление бракованного изделия. Согласно закону Пуассона, вероятность появления k раз события А в n независимых испытаниях нходится по формуле:
= ,
где = np.
Событие А произойдет не более 2 раз:
Pn(k) = Pn(2) + Pn(1) + Pn(0).
Получаем:
=960 0,002= 1,92;
= = 1;
= = = 0,706;
= = = 0,249.
Тогда искомая вероятность равна:
P960(k)= 1 + 0,706 + 0,249 = 1,955.
Ответ: 1,955.
Задача № 13
При измерении большого земельного участка его длина округляется до ближайшего целого числа метров. Какова вероятность того, что возникающая при этом ошибка а) не превысит 26 см; б) будет лежать в пределах от 21 см до 60 см. Найти м. о. и с. к.о. ошибки округления.
Решение:
Пусть случайная величина Х - ошибка округления до ближайшего целого числа метров при измерении длины участка. Областью ее значений является отрезок [а; b] = [-0,5; 0,5]. Предположим, что случайная величина Х на этом отрезке распределена равномерно. Тогда запишем ее функцию
распределения F(x):
0, x< a; 0, x< -0,5;
F(x) = , a < x < b; = (х + 0,5), -0,5 < х < 0,5;
1, x > b. 1, x > 0,5.
а) Вероятность того, что ошибка округления не превысит 26 см или 0,26 м равна:
Р(Х0,26) =F(0,26) = 0,26 + 0,5 = 0,76.
Ответ: 0,76
б) Вероятность того, что ошибка округления будет лежать в пределах от 21 см до 60 см или от 0,21 м до 0,6 м равна:
Р(0,21 Х ≤ 0,6) = F(0,6) − F(0,21) = 1 − (0,21 + 0,5) = 0,29.
Ответ: 0,29.
в) Математическое ожидание можно рассчитать по формуле:
MX = .
Следовательно:
МХ = = 0.
Среднее квадратическое отклонение можно рассчитать по формуле:
.
Следовательно:
= = 0,29.
Ответ: МХ = 0; = 0,29.
Задача № 14
К киоску покупатели подходят в среднем через каждые 16 минут. Киоск начинает работу в 9 часов утра. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что между 3 и 4 покупателем (от начала рабочего дня) пройдет: а) не менее 18 минут; б) от 17 до 19 минуты. Найти м. о. и дисперсию времени от 10 часов утра до первого после этого времени покупателя.
Решение:
F(x) = 0; х 0;
; х ≥ 0;
где = .
а) Вероятность того, что время ожидания превысит заданное время, можно вычислить по формуле:
Р(Х ≥ 18) = 1 − Р(Х < 18) = 1 − F(18) = 1 − (1 − ) = 0,68.
Ответ: 0,68.
б) Вероятность того, что время ожидания между двумя покупателями лежит в пределах от 17 до 19 минутах, можно вычислить по формуле:
Р(17 ≤ Х ≤ 19) = F(19) − F(17) = 0,7 − 0,65 = 0,05.
Ответ: 0,05.
в) МХ = = 16.
= 16.
Ответ: МХ = = 16.
Задача № 15
Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 32 и средним квадратическим отклонением 16. Найти вероятность того, что ее значение:
а) будет отрицательным;
б) будет лежать в пределах от -1 до 3;
в) будет отличаться от среднего не более чем на 2.
Решение:
а) Вероятность того, что нормально распределенная величина Х лежит в заданных пределах α < Х < β определяется по формуле:
,
где, = 0, а = 32, .
Тогда:
Р( < Х < 0) = Ф () − Ф() = − Ф( 2 ) + Ф() = −0,4772 + 0,5 = 0,0228.
Ответ: 0,0228.
б) В этом случае: , = 3, а = 32, .
Тогда:
Р( < Х < 3) = Ф () − Ф() = − Ф( 1,8 ) + Ф(2,06) = −0,4641 + 0,4803 = 0,0162.
Ответ: 0,0162.
в) Вероятность того, что случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, будет отличаться от среднего значения а не более, чем на положительное число δ, находится по формуле:
.
В этом случае: = 2, а = 32, .
Тогда:
Р(│Х− а│< 2) = 2Ф() = 0,0517 ∙ 2 = 0,1034.
Ответ:0,1034.
Задача № 16
В результате измерения массы большого числа яблок некоторого сорта установлено, что масса одного яблока лежит в пределах от 116 до 360 граммов. Считая, что масса яблока - случайная величина, имеющая нормальное распределение, и используя правило "Трех сигм", найти математическое ожидание и с. к.о массы яблока. Найти вероятность того, что масса случайно выбранного яблока больше 216 граммов.
Решение:
У нормального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием МХ = а, следовательно:
МХ= а = = = 238.
Согласно правилу трех сигм, вероятность того, что отклонение нормально распределенной величины Х от математического ожидания а не превышает значения 3σ, равна 0,9973:
.
Тогда можно считать практически достоверным равенство:
.
Откуда находим среднее квадратическое отклонение σ:
= = = 40,67.
Вероятность того, что нормально распределенная величина Х лежит в заданных пределах α < Х < β определяется по формуле:
,
где = 216, = 360, а = 238, = 40,67.
Тогда:
Р(216 < Х < 360) = Ф() - Ф() = Ф(3) + Ф(0,54) = 0,49865 + 0,2054 = 0,70405.
Ответ: МХ = 238, = 40,67, Р(216 < Х < 360) = 0,70405.
Задача № 17
Проведена серия из 15 экспериментов со случайной величиной Х. По результатам наблюдений получена выборка значение этой случайной величины. Для = 1 (первый вариант курсовой работы) эта выборка имеет вид: х = (х1, х2, ..., х15) = (6;4;5;3;3;5;5;6;3;7;4;5;2;4;5). Для любого варианта с номером выборка выглядит так ( х1 + - 1; х2 + - 1;..... х15 + - 1), т. е к каждому элементу выборки прибавляется число, равное номеру варианта, уменьшенному на единицу. Например, если =10, то выборка выглядит так: (15;13;14;12;12;14;14;15;12;16;13;14;11;13;14).
По данной выборе требуется определить: 1) построить дискретный вариационный ряд; 2) определить численное значение моды и медианы; 3) построить ряд распределения частот 4) построить выборочную функцию распределения и ее график; 5) найти несмещенную оценку генеральной средней; 6) найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии (т. е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения.
Решение:
1) Для =16, выборка выглядит так: (21;19;20;18;18;20;20;21;18;22;19;20;17;19;20).
Следовательно дискретный вариационный ряд для данной выборки будет выглядеть:
х | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
n | 1 | 3 | 3 | 5 | 2 | 1 |
2) = 20; = = 8.
3) Ряд распределения частот для данной выборки будет иметь вид:
х | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
w | 0,07 | 0,2 | 0,2 | 0,33 | 0,13 | 0,07 |
4)
0; x ≤ 17;
0,07; 17 < x ≤ 18;
F(x) = 0,27; 18 < x ≤ 19;
0,47; 19 < x ≤ 20;
0,8; 20 < x ≤ 21;
0,93; 21 < x ≤ 22.
График:
5) = = 19,47.
6) = - = 380,67 - 379,08 = 1,5891.
= - 1,5891 = 1,7026.
= = 1,2606.
= = 1,305.
Задача № 18
Проведена серия из 30 экспериментов со случайной величиной X. По результатам наблюдений получена выборка значений этой случайной величины. Для = 1(первый вариант курсовой) эта выборка имеет вид: х=(х1,х2,...х30) = (2;12;5;14;7;2;8;10;3;6;10;8;3;13;11;8;8;2;9;8;5;14;4;10;12;6;8;2;8;7).
Для = 16 эта выборка имеет вид: (16;21;17,5;22;18,5;16;19;20;16,5;18;20;19;16,5;21,5;20,5;19;19;16;19,5;19;17,5;22;17;20;21;18;19;16;19;18,5).
По данной выборке требуется: 1) построить интервальный вариационный ряд, определив количество групп по формуле Стерджесса; 2) определить численное значение моды и медианы; 3) дать графическое изображение ряда в виде гистограммы частот, полигона и кумуляты; 4) построить выборочную функцию распределения; 5) найти несмещенную оценку генеральной средней; 6) найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии (т. е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения.
Решение:
1) Строим интервальный вариационный ряд, определив шаг интервала по формуле Стерджесса:
.
= = 1.
Вариационный ряд выборки:
X | 16 | 16,5 | 17 | 17,5 | 18 | 18,5 | 19 | 19,5 | 20 | 20,5 | 21 | 21,5 | 22 |
n | 4 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 7 | 1 | 3 | 1 | 2 | 1 | 2 |
Интервальный вариационный ряд:
[16-17) | (17-18] | (18-19] | (19-20] | (20-21] | (21-22] | |
k | 7 | 4 | 9 | 4 | 3 | 3 |
2) = 19; = = 15,5.
3) Гистограмма частот
Полигон
Кумулят
4)
0; x ≤ 16,5;
0,1; 16,5 < x ≤ 17,5;
0,23; 17,5 < x ≤ 18,5;
F(x) = 0,53; 18,5 < x ≤ 19,5;
0,66; 19,5 < x ≤ 20,5;
0,76; 20,5 < x ≤ 21,5;
0,86; 21,5 < х ≤ 22;
1; х 22.
График:
5) = = 18,7.
6) = - = 354,74 - 349,69 = 5,05.
= ∙ 5,05 = 5,22.
= = 2,25.
= = 2,28.
